“双减”政策下打造高中数学高效课堂的教学设计——以“集合的概念”为例

文| 温树礼

在高中数学课堂中，教师应聚焦学生全面发展，适当引导学生探索知识，使学生探索知识的兴趣与综合学习能力得到进一步提升，成功构建高效的数学课堂。

一、创设情境，揭示课题

（一）情境创设

以情境为载体，带领学生思考与探讨集合。教师会借助多媒体等设备展示非洲大草原的图片，同时又播放角马群吃草、奔跑与休憩的视频内容，引导学生观察并了解集合。

教师设计如下问题：①观察这张非洲大草原图片，列举你知道的集合。②思考“到定点的距离等于定长的点，它们组成的图形一定是圆吗？”引导学生回顾所学数学知识，重温获取知识的过程并懂得如何验证想法。

针对问题①，学生认真观察并独立思考，认为斑马群、角马群为同一类型，是角马与斑马集中在一起形成的，同时凭借发散思维拓展知识，认为马群隶属非洲动物，是非洲动物的一部分。所以学生列举出自己认为的集合是斑马群与角马群等。针对问题②，学生从平面与空间的角度入手，明确动点轨迹不同，也理解研究特定对象或者确定研究范围时会用到的集合语言与工具。

（设计意图：通过直观图片让学生看到什么是集合，使学生对所学内容有大致的了解，保证学生的学习质量与效率。）

（二）揭示课题

教师讲述《三国志》中记载的内容“布有良马曰赤兔”，思考下面几句话里的“是”表示什么意思：①关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马；②赤兔马是红色的马；③红马是马。①中“是”表示“=”，请问②③中“是”表示什么？

学生从不同角度思考，感受“是”表示等于，又对比后两句并回答出“属于关系”，红马属于马。

教师追问：小学和初中我们接触过与集合相关的知识，你能举出一些集合的例子吗？

学生思考并回顾小学和初中的自然数的集合、整数集合和负数集合等知识。

教师提问：这些集合的研究对象是什么？

学生结合所学知识，明白负数集合研究的是小于0 的所有数，整数集合研究的是所有正整数、零与负整数。

（设计意图：通过旧知回顾引入新知，借助回忆帮助学生快速理解知识，提高学习效率。）

二、列举实例，总结含义

（一）列举实例

通过丰富的例子去探索数学知识，引导学生运用数学知识解决实际问题，从而轻松发现与学习数学。

教师给出思考题：①在单词element 中出现的字母能否组成一个集合？e 是集合中的什么？②太阳系里有八大行星，它们也组成一个集合，那么地球是集合中的什么？

学生在问题的指引下明白e 实际上是集合中的一个元素，通过类推明白，地球也是集合中的一个元素，发现集合论中的关系是集合与它的元素，它们之间是一种属于关系。

教师出示表达归属关系的符号∈，读作“属于”。

（设计意图：通过实际案例帮助学生理解集合与元素的关系，看到数学知识中的集合是抽象概括所得到的，培养其抽象思维能力。）

（二）总结含义

理解集合的真正含义，鼓励学生尝试用严谨的数学语言去总结简单集合的含义。

教师提出思考问题：“我们在思考问题的时候，需要把特定对象放在一起进行整体考虑，这些对象就是我们所了解的什么？”

学生马上思考并明确这些对象就是集合，是这些对象的总称。

教师：请用严谨的数学语言去表达你所知道的集合，引导学生正确使用数学语言，让其概括出集合的概念。

学生尝试表达，把一些对象放在一起考虑，这些对象组成的是一个集合，其中的每一个对象就是集合的元素。

教师随之提出新问题，知道了集合的概念，那你知道它有什么属性吗？比如，在同一集合中的元素相同还是不同？集合中的元素是按顺序排列的吗？

学生根据教师提示总结出：①同一集合中的元素是互不相同的；②集合中的元素没有顺序，同时也发现集合中的元素是确定的，这也是它的一个属性，从而总结出第三个属性，即集合中的元素是确定的。

（设计意图：通过思考问题，减轻学习难度与压力，让学生快速掌握所学知识，透彻理解集合的概念与基本属性，提高整体教学质量，实现真正的“提质”与“增效”。）

三、探究知识，实际运用

（一）知识探究

教师设计相应的问题，饭店里的菜单、班级学生成绩名单、计算机文件夹里的所有文档等，它们的相同之处是什么？引导学生思考集合与元素的关系，感受列举法。

学生认识到这些在生活中较为常见，而且都是展示出集合中的每一个元素，思考并推测这是一种方法。

教师引入列举法，即把集合中的元素交代清楚，用图文的方式让学生看到列举法的格式，注意大括号里是每个元素的名字，用逗号进行分隔，如{2，4，6，}8 ，同时布置例题让学生学习使用列举法，如用列举法表示由方程的所有实数解构成的集合S。

学生结合刚才了解的列举法的格式，思考注意事项，写出集合S，即S= {1，-1 }。教师设问，刚才的情况是可以展示出集合中的所有元素，那么如果遇到无限集，还可以使用列举法吗？如果元素非常多，根本没有办法叫出每一个元素的名字，那么你会使用什么办法描述这个集合？通过问题引导学生学习描述法。

学生尝试用列举法表示无限集的元素，发现列举法并不适合，从而思考其他办法，考虑将集合元素中的一部分相同元素进行组合，再确定集合。

教师纠正学生的表述，加入“集合中共有元素”“也只有该集合中元素才有的属性描述出现”，用严谨的语言总结描述法的概念。

（设计意图：依托实例分析与探讨，让学生了解与学习列举法与描述法两种方法。在该过程中，学生积极探索、思考、尝试与总结。）

（二）实际运用

基于对集合概念与列举法、描述法的理解，引导学生灵活运用所学知识。

教师引导学生用正确的方式表示集合，给出例题，由方程的所有整数解组（x、y）构成的集合S。

学生回顾列举法与描述法的异同，分析例题中的已知条件，认为可以用描述法与列举法表示：①用描述法表示S，即S={（x，y）|x2+y2=100，x∈Z，y∈Z }；②用列举法表示，S={（0，10），（0，-10），（10，0），（-10，0），（6，8），（-6，8），（6，-8），（-6，-8），（8，6），（-8，6），（8，-6），（-8，-6）{，灵活运用两种不同方法。

（设计意图：通过实际问题引导学生巩固集合概念与列举法、描述法，使学生准确与快速地写出集合。）

四、布置作业，巩固知识

（一）设计作业，控制题量

作业是对课堂练习的一种延伸，教师需要结合“双减”改变传统作业内容，精简必做内容，控制好题量。

教师设计巩固练习、常规作业，丰富作业类型，减少作业总量。其中巩固练习有填空、选择等内容，如填空题：①把集合中的元素一一列举出来表示集合的方法叫列举法；②对于无限集，一般采用描述法。巩固练习题为用自然语言描述下列集合：①{1，3，5，7，9 }，（答：由数1，3，5，7，9 组成的集合）；②{x∈R│3x＞2}（答：满足不等式3x＞2，即x＞的全部实数x的集合），通过填空题帮助学生快速巩固知识，再用巩固练习发散学生思维，高效完成作业。

（设计意图：通过多种题型满足学生不同需要，同时控制作业总量，使用经典题型来帮助学生巩固与运用知识，减轻学生作业负担，实现减负与增效。）

（二）及时点评，举一反三

通过点评帮助学生了解自身优势与不足，激励学生持续探索与学习。

在点评时，教师对学生答案进行讲解与评价，如在上述巩固练习②中，生1 描述的是满足不等式3x＞2 的实数x的集合，存在描述不全面的问题，忽略了x＞和“全部”两字。教师引导学生思考如果没有“全部”这两个字，会出现什么情况，使学生明白如果没有“全部”，那么就可能是任意的实数，并不是一个完整的集合，从而懂得用严谨的数学语言描述，帮助学生正确运用所学知识。

在完成点评后，教师设计变式题型，平面E上以点A为圆心，半径为6 的圆上所有点的集合C，请用适当的方法和符合表示C 的集合。学生思考并选择使用描述法，即C= {P∈E││PA│=5 }。

（设计意图：基于学生对基础知识的理解，设计高效作业，引导学生举一反三，提升作业完成效率与质量，满足“双减”，落实需要。）

五、教学反思

（一）运用信息技术，激发学习兴趣

信息技术教学可以有效调动学生探索知识的积极性。因此，教师在导入新知识时，应合理运用信息技术，让情境创设更加真实与立体，帮助学生快速理解与掌握知识，提高教与学的有效性。例如，在创设情境，揭示课题这一环节，教师用短视频让学生看到更多内容，让集合的概念呈现出动态化与立体性，刺激学生感官，使学生集中注意力思考当中的集合是什么，主动探索集合的内涵，由知识学习上升到能力提升。学生明白人们常使用集合表示部分与整体的关系，结合实例快速与准确地总结出集合的概念。

（二）优化课堂提问，促进思维发散

在课堂提问环节，教师要围绕“双减”政策落实需要，引入并优化问题，让知识讲解过程有序进行，提高教学效率，同时学生思维也在问题探索中得到拓展，通过主动学习掌握知识。那么，在列举实例，总结含义这一环节，教师不仅要根据思考题进行提问，还应设计其他问题：①思考什么情况下必须使用列举法，引导学生回顾之前所学的列举法概念，思考列举法的特点；②在不适宜用列举法的情况下，探讨描述法的重要性。教师通过问题引导学生真正理解集合、列举法和描述法。在问题指引下，学生高效习得集合的概念和重要性，节省理论知识理解与学习的时间，让课堂学习更加高效。

（三）借助小组合作，构建高效课堂

在知识探究环节，教师应巧用小组合作的方式，让学生在探讨过程中自主分析、判断、学习、交流，将学生讨论获得的内容与教师讲解内容有机结合，高效完成新知识学习。例如，在探究知识，实际运用中，教师采用小组合作，由学生在小组方式下探讨怎样表示不等式x-7＜3 的解集？各小组开始回顾所学的不等式相关知识，通过探讨发现解集中元素的特点，共同验证x是实数，同时x＜10，组员分享解集表示的看法，最终统一答案，即解集表示为{x∈R│x＜10 }。学生通过小组合作轻松掌握知识并能够在后续阶段合理运用。

（四）组织实践活动，实现减负增效

在“双减”政策背景下，教师一方面要做好作业内容选择，另一方面要创新作业形式，如采用实践作业帮助学生巩固与运用知识，让作业更加有探究意义，不再采用题海战术达到巩固目的。教师可以布置如下作业：请你阅读相关资料，用简单的报告阐述你对集合的认识。学生会利用资料完成学习，借助互联网、自主学习、小组合作等方式提高数学学习能力，真正实现减负与增效。