循序渐进 螺旋上升

卢红兰

［摘  要］ 好的数学教学不是机械强化，也不是越俎代庖，而是顺应和促进学生自然发展. 在实际教学中，教师要以学生为出发点，寻找学生最易于接受的方式将知识讲给他们听，让他们听懂、学会，乃至拓展，以此提升教学有效性. 文章以解析几何中的“定点、定值问题”为例，从学生实际学情出发，通过循序渐进的引导逐渐揭示数学本质，从而消除学生的畏难情绪，增强学生学习数学的信心，提高学生的数学素养.

［关键词］ 自然发展；循序渐进；数学素养

数学教学应遵循数学知识的内在逻辑体系，遵循学生认知能力的形成规律，通过由浅入深、循序渐进的原则来激发学生的数学学习兴趣，提高学生的数学学习能力［1］. 不过在实际教学中，部分教师认为高考题目难，综合性强，于是在平时练习时常常追求“新”、追求“难”，忽视了学生的最近发展区，使得学生因屡屡受挫而影响了学习数学的信心. 其实，高考题目表面上比较复杂，然其本质都是基础题的变形，只要能够抓住问题的本质，厘清问题的来龙去脉，掌握解决问题的通性通法，问题即可迎刃而解. 因此，在实际教学中，教师要结合教学实际，通过由浅入深的方式夯实学生“双基”，通过由表及里的方式揭示问题的本质，从而让学生的数学思维螺旋上升.

笔者以解析几何中的“定点、定值问题”为例，针对学生解决综合性较强的问题时，常感觉手足无措的现状，谈几点教学建议，供参考！

基础填空——重基础抓落实

好的基础决定着好的发展. 我国的数学教学一向有注重培养学生“双基”的传统，这一传统是值得继承和发扬的. 数学知识是环环相扣的，若学生的基础知识掌握不牢，知识体系常常会漏洞百出，从而在解题时出现“一看就懂，一做就错”的情况. 数学学习其实是一个循序渐进的过程，要让学生知道基础知识是重难点知识延伸的根基，只有能够解决“小问题”，才能实现“大发展”.

填空题中涉及的题设信息较为简单，易于激发学生解题的热情. 以上三个问题是笔者精心设计的，从不同角度唤醒学生解决“定点、定值问题”的基本思路. 例1为恒过点问题，可令参量“系数”为0来解决；例2考查的是“中心弦”的性质，引导学生复习整体代换法；例3让学生体验如何用赋值法来优化运算，顺利解决定点问题. 这样通过“小题”既帮助学生巩固了基础知识，提升了解题信心，又为下面重难点的突破做好了铺垫.

精选例题——重方法树信心

在数学教学中，例题的选择将直接影响着课堂的教学质量. 在例题的选择上不同的教师有着不同的认识，有的教师认为以难为好，这样学生解决简单的问题时能够得心应手，殊不知过难将直接影响学生的参与度，影响学生学习积极性；有的教师认为以多为好，只有多才能实现知识点的全覆盖，殊不知这样不仅难以突出重难点，而且过多的重复练习容易让学生产生消极情绪，容易出现思维定式，等等. 因此，教师在例题的选择上要做到精挑细选，既要服从课堂教学目标，又要突出教学重难点，还要关注学生发展. 同时，教师讲解例题时要放慢速度，将题目讲懂讲透，要引导学生从不同角度寻找解决问题的方法，以此拓展学生思维，优化认知结构，提升解题效率.

（1）求椭圆C的方程.

（2）以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由.

本题难度不大，解决方法多，易上手. 在解题教学中，笔者引导学生尝试应用不同的方法求解，以此丰富学生的解题经验，发散学生的数学思维. 通过交流学生得到了多种解法，如方法1，设点F；方法2，设直线AF；方法3，先猜想，后验证，等等.

另外，对于一些典型问题，解题后教师要引导学生小结，通过适度的形式化引导学生感受问题的本质. 如例4，学生解题时应用了多种方法，那么这些方法背后是否能够体现解决此类问题的基本方法和步骤呢？其实纵观以上解法，基本分为三步：①选择适当的参量；②整理规划；③化簡证明，得到定点. 对于基本方法和步骤学生是了然于心的，但是题设信息中涉及那么多点，那么多线，如何选择才是最佳的呢？仔细分析不难发现，步骤①为解题的关键，是解题的难点和突破口. 因此，在选取参量前，教师要引导学生厘清整个动态图形的生成过程，找到一个动因，从而顺藤摸瓜，探寻解题的突破口，形成解题思路.

因此，例题的选择不在于多、难、新，而在于典型、方向、延伸. 在解题教学中，教师应充分发挥例题的典型示范功能，培养学生举一反三的能力.

变式探究——重合作提能力

在数学教学中，要遵循学生的思维发展规律，通过循序渐进使学生的思维得到稳步提升. 为了实现这一目标，教师可以认真分析学生，基于学生最近发展区设计一些变式问题，从而让学生在变式探究中实现推理论证、运算能力、数据处理等综合能力和数学素养的提升［3］.

比如例4小结结束后，笔者将例4“变一变”，使之转化为新问题，通过对新问题的深度剖析提升学生的解题技能，提升学生的学习信心.

变式1：将例4中的“直线AE，AF分别交y轴于M，N点”改为“与右准线相交于M，N点”，其他条件不变，求例4中的结论是否成立.

变式1是在例4基础上的简单变形，虽然条件变了，但是解题思路和过程并没有改变，以此通过简单的变形提升学生的解题士气，巩固学生的解题技能. 解题时，教师可以将主动权交给学生，鼓励学生交流展示. 通过交流，学生不仅可以完善认知体系，优化解题过程，减少复杂运算带来的错解风险及时间损耗，而且可以实现知识、方法的融会贯通.

改编例4后容易发现，M，N的横坐标由x=0变成了x=4，但以MN为直径的圆依然过定点. 在此基础上，笔者继续追问：以MN为直径的圆过定点，一定是与y轴的交点或右准线的交点吗？由此引发学生进行一般猜想. 通过由浅入深、从易到难的逐层探究，学生最终发现：只要和与x轴垂直的任一直线相交即可得出定点. 为了让学生获得更加直观的感受，笔者利用几何画板动态展示，以此深化学生理解.

在变式探究中，教师要为学生提供一个和谐的学习氛围，鼓励学生进行互动交流，集大家之所长，通过循序渐进的引导，让学生的学习能力稳步提升.

自主改编——重探索提兴趣

在数学教学中，应让过程与结果并行. 不过在功利教育的影响下，数学教学中常常出现重结果轻过程的现象，忽视了学生的思维过程，这样不仅影响着学生数学学习水平的提升，而且影响着学生情感和价值观的培养，使数学课堂空洞、乏味，难以激发学生的数学学习兴趣. 为了改变这一现状，不妨引入一些探究活动，让学生在探究中逐渐找到学习数学的乐趣.

经历以上的例题精讲和变式探究后，教师可以鼓励学生改编题目，通过变化题设信息或更改已知和结论的位置，将“旧题”变成一个“新题”，让学生通过合作探究共同验证题目改编的科学性，使学生在改编、探究、验证的过程中认清问题的本质. 基于例4和变式，学生又做了如下改编：“椭圆焦点在x轴”改为“椭圆焦点在y轴”；椭圆的“左顶点为A”改为“右顶点为A”，等等. 这样通过改编形成了无数“新题”，学生通过对这些“新题”的探究逐渐升华了认知.

另外，自主改编为学生提供了更为开放的学习氛围，相信通过以上活动，学生的数学学习兴趣、创新意识、合作能力都会有所提升.

总结提升——重本质提素养

在数学教学中，常常会出现这样的现象：课堂表面上热热闹闹，学生参与度极高，但学生的学习能力并没有得到真正提升. 究其原因就是课堂充斥着太多形式化表达，失去了问题本真，忽视了对数学本质的思考，使学生生动活泼的思维淹没于形式化的“繁荣”之中. 因此，在数学教学中，教师要引导学生追根溯源，努力揭示概念、定理、结论等知识的发展过程和本质，只有这样才能让学生拥有以不变应万变的能力，实现知识的融会贯通.

经过以上探究后，笔者引导学生思考“探究以上不同类型的题目，最终得到的过定点的结论的本质是什么”，其目的是让学生通过回顾、思考挖掘问题本真：之所以过定点，是因为与“参量”无关. 如例1中令参量“系数”为0，例2中做整体代换，都体现了这一本质. 如果学生能够抓住这个问题本质，解决定点问题自然也就水到渠成了.

数学题目虽然千变万化，但是万变不离其宗，只要能够抓住问题本质就能“动中取静”，以不变应万变. 因此，解题后教师要预留时间让学生进行总结反思，引导学生从不同类型的题目中寻找“不变”的规律，挖掘问题本质. 其实，无论数学形式多么复杂，其中总有它简单的思想本质，因此在实施过程中，教师要注重数学思想方法的渗透，要重视揭示数学本质，使数学问题简单化，消除学生对数学的畏惧感，提升学生的数学学习兴趣和信心.

拔高拓展——重拓展讲创新

在数学教学中，练习是必不可少的，它是帮助学生巩固知识、强化技能的必经之路. 当然这里所说的练习并不是“题海战术”，而是引导学生将问题发散出去，带着探索的精神去思考和解决问题，让学生能够将相关的知识串联起来，从而达到触类旁通的效果.

如以上探究活动是以椭圆为背景开展的，是否可以将问题拓展至以双曲线和抛物线为背景的问题呢？又如例4所研究的是定点问题，若将其改为定值问题呢？再如，题目给出的定点为椭圆的左顶点，若改为上顶点又能得到什么结果呢？之前的变式探究中，师生只是改变了一个条件，若两个條件同时改变又能得到什么结论呢？……这样学生带着问题去思考、去探索，自然可以激发其学习热情，更加主动地去学习. 让探究活动变成一种自发行为，不仅能取得拓展知识、发散思维的效果，而且能避免“题海”所带来的枯燥乏味，有效提升学生的学习能力. 不过，虽然拔高拓展对培养学生学习能力、思维能力、计算能力、建模能力等综合能力十分重要，但是教学中还要让学生“量力而行”. 众所周知，学生的学习能力和认知水平存在着明显差异，对于一些基础相对薄弱的学生，应以基础为主，适当提升. 这样既不会为学生带来额外的心理负担，又能让学生解决个体发展区间内的问题后自然进入下一个发展区间，以此培养学生的学习信心，实现“教”与“学”的可持续发展.

总之，在数学教学中，教师要认真地研究课程标准，认真地研究学生，认真地研究教学内容，以学生的最近发展区为起点，精心设计教学活动，通过由浅入深、循序渐进的引导揭示数学本质，提高学生的数学学习悟性，提升学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］ 任云.步步推进——初中数学教学中循序渐进地培养学生的数学素养的策略［J］. 数学学习与研究，2016（14）：39.

［2］ 李中国，惠连晓. 思维导图与课堂教学融合的问题、原则及策略［J］. 教育与教学研究，2019，33（06）：25-34.

［3］ 雷沛瑶，胡典顺，孔凡祥. 提升学生的数学核心素养：教学设计的视角［J］. 数学通讯，2018（06）：5-9.