深度学习下的“二面角”概念教学策略

李刚　杨军

［摘  要］ 文章以“二面角”的相关知识为例，探讨基于深度学习的高中数学概念的教学策略，促进概念的理解性学习.

［关键词］ 高中数学；概念教学；深度学习；教学策略；二面角

问题提出

随着信息化时代的发展，为落实立德树人这个根本任务，培养现代社会需要的人才，教育势必会在学习方式及教学方式上发生变革. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出，要发展学生的核心素养，使学生具有科学文化素养和终身学习能力，具有自主发展能力和沟通合作能力. 而深度学习的提出，被认为是促进学生核心素养养成和全面发展的重要途径之一［1］. 数学作为思维的科学，结合学科特性，教师需要引导学生从知识符号的学习转向学科本质和学科思想方法的理解与掌握，帮助学生实现“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，这不仅符合深度学习的内在需求，也是对数学教育的更高要求.

什么是深度学习

深度学习的概念源于对人工智能的研究，对于学生而言，深度学习是一种基于理解的学习［2］.

首先，数学深度学习围绕数学核心问题展开，把学习置于有意义且真实的问题情境中，并且引领学生经历数学核心问题的探究过程，走向数学意义的深刻理解，优化数学认知结构，提升数学核心素养.

其次，数学深度学习重视学生的学习过程，在整个过程中，教师为学生创设深度探究的情境，开发具有挑战性的学习主题，带领学生全身心参与，体验成功、获得发展，最终实现有意义的学习.

最后，数学深度学习注重挖掘知识背后的意义来培养学生的数学思维，帮助学生把握知识的本质，帮助学生学会学习.

二面角的深度教学探究

深度学习的主要目的是通过对核心知识的理解与掌握，培养学生的高阶思维和关键能力，实现有意义的学习. 因此，二面角的深度教学需要分析二面角这个知识点中所蕴含的高阶思维和关键能力是什么，从而确定深度学习的目标.

二面角是人教A版《普通高中教科书·数学（必修第二册）》第八章“立体几何初步”第六节的知识内容，其包括“二面角的定义”“二面角的平面角”等知识点. 二面角是高中空间立体几何的基础知识，重点研究空间角的关系，从结构上来说是从线面关系到面面关系的过渡，在本章起着承前启后的作用. 本节内容蕴含了丰富的转化思想，有关二面角的大多数问题可以空间问题平面化进行解决，并且可以总结出“空间化平面—几何化代数—解决代数问题—分析结果完成几何问题”的空间几何基本思想.

因此，深度学习下的二面角概念教学，不仅需要培养学生的思维能力和空间想象能力，而且需要深挖知识点的整体架构，并帮助学生建立知识脉络，通过对二面角的不断探究，给学生提供解决二面角问题的一般思路.

确定深度教学环节，设置教学目标

根据对深度学习的分析论述，笔者比较赞同郑毓信教授对深度教学环节的观点：一般地，深度教学包括四个教学环节，（1）从学生已有的知识出发，联系学生的生活经验，做到知识的纵向迁移；（2）学科知识是深度教学的载体，通过问题的引领方式，使学生主动思维，推动知识的深度理解；（3）设置充分交流与互动环节，调动学生学习的积极性，激活学生对问题的思考，联系新旧知识，实现有意义的学习；（4）总结学习过程，帮助学生学会学习，使深度学习真正发生.

因此，深度学习下的二面角概念教学，应从学生已有的经验出发，即联系角的相关知识，利用知识的发生发展过程创设真实的情境，通过问题引导学生层层深入，生成知识点，用具有挑战性的问题，促使学生思考“为什么产生二面角”“为什么这样定义”“二面角的价值是什么”，由此实现二面角的深度学习.

导向深度学习的数学教学目标要求在思维维度上指向高阶思维，内容维度上聚焦学科本质，方法维度上强化问题解决，评价维度上凸显实践创新. 所以本节课的教学目标设置如下：

（1）类比角的概念，探究生成二面角相关知识点，通过对二面角的平面角定义的再探究，对二面角进行深度思考；通过总结，正确认识二面角在立体几何中的地位，帮助学生达到知识纵向和横向的建构.

（2）从有意义的情境出发，让学生积极参与到课堂学习中来，通过对二面角的逐步探究，培养学生解决一般问题的能力，然后通过问题的解决，锻炼学生运用类比、化归等数学思想方法的能力，最后通过本节课的教学，培养学生发现问题、提出问题的能力，促进学生深度学习，落实核心素养.

教学过程设计

1.创设符合学生认知特点的问题情境，引入二面角概念

引导语：在前面一节课，我们学习了直线与平面的关系，那么本节课自然而然就要学习平面与平面的关系. 本节课，请同学通过折纸，看看能有什么发现.

问题1：对折一张纸，再把纸从重合展开至水平（如图1所示）. 在此过程中，同学们观察纸的形状发生了什么变化？观察翻纸产生的图形，同学们能联想到二维平面的什么图形？

教师引导：对于这样一个开放性问题，学生可能摸不着头脑. 本节课开始旨在用纸的张口引出角的概念，因此教师可以指着纸的张口有引导性地把学生的思绪集中到本节课的知识内容上来.

设计意图 温故知新，通过具体的生活情境引导学生关注本节课的知识内容. 在纸的翻折过程中，最直观的就是纸的张口发生了变化，因此可对纸的张口大小变化这一生活经验进行提炼，引导性地提问：“当纸没有闭合时，同学们从不同角度观察，能发现什么吗？”当有学生提出从侧面看像一个角时，教师就要抓住这个闪光的想法加以引导，把纸的“张口”这一非数学语言转化成数学语言，通过具体情境带领学生逐步深入本节课知识点的学习.

小组讨论：观察纸的张口所形成的“角”，同学们能发现它与普通的角有什么不同吗？

小结：类比平面角概念，发现平面角与二面角的不同之处. 第一，平面角是由两条射线及其一个交点组成的，而二面角是由两个平面及其一条公共直线组成的；第二，直线上的一点可以将这条直线分割成两条射线，而平面则被一条直线分割成两个半平面. 通過以上类比，可以得到二面角的定义：

定义1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（如图2所示），这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β. 有时为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q. 如果棱记作l，那么这个二面角还可以记作二面角α－l－β或二面角P－l－Q.

设计意图 通过对本节课学习的“角”与之前学习的角进行异同类比，促使新旧知识发生了链接，从而得到二面角的定义，帮助学生对本节课知识建立了结构性认识，并且感悟到几何知识从一维到二维、从平面到空间的整体性和连贯性.

2. 搭建递进式思维过程，引入二面角的平面角概念

问题2：知道了二面角的存在，那么当纸闭合时，二面角的大小是多少度？把对折的纸打开至垂直和水平时，二面角的大小又分别是多少度？

追问：同学们能指出0°，90°，180°的角在哪里吗？

教师引导学生思考：观察图1对折的纸，当纸重合时，从侧面（左视图）看，发现其像0°的角（垂直和水平类似）. 因此通过观察我们找到，0°，90°，180°的角好像就在“折纸的横截面”上.同学们想象一下，如果把“横截面”所形成的角当作二面角来测量大小的话，那么这个“横截面”所形成的“角”与所在平面、棱有什么位置关系呢？

设计意图 认识往往是逐步明朗与不断深入的过程，教师通过折纸的张口引入二面角，结合一般探究思路，持续引导学生对核心问题的明朗化与再聚焦，即怎么找出二面角的大小，所谓不愤不启，不悱不发，从而促进学生深入思考.

通过思考与发现，得到了二面角的平面角的定义：

定义2：在二面角α－l－β（如图3所示）的棱l上任取一点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.

设计意图 对概念知识的教学，如果采用“告诉式”，学生日后回想概念时，往往是记忆模糊的，究其原因就是學生没有参与到概念的生成过程中来.类比之前学习角的过程，从角的构成元素到角的大小，通过有引导性的提问，使学生认识到问题2的本质是找到二面角的平面角.教师应给学生一定的思考空间，让学生自主发现二面角的平面角，然后再给出定义，加深学生对二面角的平面角定义的理解与记忆.

3. 对二面角的平面角定义的再思考

问题3：根据定义，请大家思考，为什么要用与棱垂直的两条射线定义二面角的平面角呢？换言之，用与棱不垂直的两条射线能否定义二面角的平面角呢？

追问：（1）用之前学习的特殊角，如与棱成30°，45°，60°夹角的射线可否定义二面角的平面角呢？

（2）回顾问题2，我们能发现二面角的取值范围是多少吗？

（3）用不与棱垂直的两条射线定义二面角的平面角会产生什么结果？

设计意图 对于一般的二面角教学，可能在引出相应概念后就结束了，而深度学习下的二面角教学则在学生掌握了一个新概念后，应继续引导学生深入思考这一概念的本质，进一步思考相关概念的合理性，真正弄清为什么这样定义. 通过一系列追问，由一般到特殊、由浅入深，潜移默化地帮助学生建立解决问题的一般思路.

问题4：我们发现与棱成60°夹角的射线不能定义二面角的平面角，类比推理出与棱成30°，45°夹角的射线也不行，于是把问题由特殊推广到一般：与棱成γ角的两条射线（0°≤γ<90°）是否可以定义二面角的平面角呢？

教师引导：先弄清问题，即在二面角α－l－β中（如图5所示），在半平面α和β内分别作两条射线OA，OB，它们与二面角的棱l所成的夹角均为γ（γ≠90°），记新定义的“平面角”为θ′，如果能计算出θ′的取值范围，那么问题就得以解决.

设计意图 虽从直观经验上验证了概念的准确性，但仍应促使学生深入思考，对概念做出必要的检验，从特殊推广到一般. 经过从简到难、循序渐进的教学过程，使学生对二面角的概念有了一个更加清晰、更加深刻的认识.

对二面角深度教学的思考

1. 从表层教学向深度教学转变

从二面角概念的深度教学来说，教师应打通知识壁垒，启发学生积极思考，把脑海中的零散知识条理化，帮助学生建立知识间的纵向联系，促进知识间的正迁移，形成按照逻辑顺序由简单到复杂、由低维到高维的结构性认识，把握二面角相关内容，更好地认识二面角与角的内在联系，建立关于几何的整体性认识.

从数学概念的深度学习来说，应强调学生多思考数学概念，利用数学概念解决问题和实现创新，养成数学素养，实现终身发展. 因此笔者认为，在深度教学数学概念前，教师应深度理解课标要求、教材意图、概念本质、学生现实、教学程式，从而在教学中落实学生的“四基”，提高学生的数学能力，促进学生深度学习的发生.

2. 注重概念的理解性学习，促进数学深度学习，落实课标要求

在深度教学数学概念中，教师应注重学生对数学概念的理解性学习，通过深度教学设计，力求将“冰冷死寂”的数学转化为“充满活气”的数学. 教师应在理解教材、学生、教法的基础上，通过真实有效的问题情境，引导学生由浅入深地开展思维探究活动，深挖概念的教育价值，使学生不仅理解概念，还会用概念，并且体会概念中蕴含的丰富的数学思想. 在及时有效的提问与追问下，不断激活学生思维，达到举一反三的课程效果. 深度学习必然引发学生对数学更深层次的理解，建构更新认知结构，逐步形成正确的数学观，最终养成用数学去理解实际生活、理解世界万物的良好素养.

参考文献：

［1］ 郑毓信. “数学深度教学”的理论与实践［J］. 数学教育学报，2019，28（05）：24-32.

［2］ 刘月霞，郭华. 深度学习：走向核心素养（理论普及读本）［M］. 北京：科学教育出版社，2018.