更新教学理念，实现自主建构——由“函数的单调性”教学引发的思考

储利明

⦿云南省西双版纳州教育研究所

每门学科都是一个有机的整体，各个知识点则是组成这个整体的细胞，学习就是将“细胞”系统地整合在一起的过程[1].如何从大局出发，用科学、高效的手段进行教学，让学生自主地将互相关联的要素整合成完整的知识体系呢？这与教师的教育理念与教学方式有很大的关系.本文中笔者以两位教师执教“函数的单调性”这节课为例，通过类比谈一谈自己的看法.

1 案例描述

心理学研究发现，随着年龄的增长，高中学生已经能从多个具体事物中，抽象概括出一类事物的特征，思维也从感性认识逐渐过渡到理性认识的模式[1].函数的单调性这部分内容，学生在初中阶段就有所接触，高中阶段是对原有知识的深化与拓展.学生从对函数图象感性认识的层面，深化到抽象的数学语言表达的阶段，这也是学生实现思维自我突破的过程.

1.1 教学片段一

这位教师的教学设计是从一个个小知识点出发，让学生先精准掌握各个小知识点，再以小见大，最终达到整体把握的目的.具体教学过程如下.

(1)数形结合，提取概念

教师首先展示了函数f(x)=x的图象，让学生通过观察分析图象从左到右呈现怎样的变化趋势(上升或下降)，并用数学语言描述这种变化趋势，要求分区域表达，即在哪个区间内随着x的变化y增大或减小；然后展示了f(x)=x2的图象，同样要求学生用数学语言进行描述，描述方法同上.

在学生能熟练表达后，以f(x)=x2为例，鼓励学生描述增函数的概念，并从中抽象出一般性概念.

(2)概念分析，理解内涵

引导学生从定义域的某个特定区间来分别观察变量f(x1)，f(x2)的大小情况，在分析中获得概念的内涵：函数的单调性展现的是函数的局部特征，它是对于某个区间而言的；从多角度来看，变量之间存在着一定的区别.

为了考查学生对概念的辨析与理解，教师设计了以下几道练习题.

判断：1)如果函数f(x)满足f(2)小于f(3)，那么函数f(x)在区间[2，3]上为增函数；

3)定义在R上的函数f(x)，满足f(-1)小于f(2)，则函数f(x)在R上必定是增函数；

通过几道判断题的练习，学生一致认为可应用直接法、定义法和图象法来判断函数的单调性，并总结出以下几点：①单调性不得离开相应区间和定义域；②具体函数的单调区间有它的特点，如一次函数是整个定义域，二次函数是某个区间，而常函数则不单调；③所谓的单调性是相对于定义域的某区间上的整体性质，不可以用特殊值来表示；④在定义域内两个区间(A，B)上均为增函数或减函数，通常不可直接认为函数在A∪B上为增函数或减函数.

(3)讲解例题，强化应用

在学生完成以上几道练习题后，教师认为学生对函数单调性的概念已经基本掌握，此时引入教材中的经典例题，与学生一起探讨概念在实际问题中的应用(过程略).

此教学片段中，教师从细枝末节与特殊情况着手，让学生从单个的易错点中总结一般情况下的共性特征，最后带领学生在例题分析中进行整体训练，达到灵活应用的目的.

1.2 教学片段二

这位教师采取的是先整体后细节的教学方法.学生先对整个知识体系有了初步的认识，在此基础上再逐个突破小知识点，达到融会贯通的目的.

(1)数形结合，提取概念

此过程与教学片段一没有太大差异，都是让学生从“形”上初步建构数量关系，以判断函数的增减性.

(2)合作探究，把握整体

新课标提出：“教学中应关注学生的主体性地位，让学生在合作交流、自主学习与探究中建构新知”[2].自主学习与合作探究，是实现思维能力增长、创新意识形成与发展的主要途径，该教师在此教学环节分了以下三步进行.

第一步：让学生通过观察图象，书写自己所看到的函数单调性的内容，特别强调“在区间……上是增或减函数”的书写格式，此过程对并集的使用不作要求，关键在于格式与内容的准确性.

第二步：判断并证明函数f(x)=x2的单调性.要求学生通过小组合作学习的方式，先画图，再判断，最后运用定义来证明.此环节的要求依然是重点强调书写格式，让学生在合作探究中对函数单调性的证明步骤产生初步的整体认识.

(3)练习训练，剖析细节

2)对于函数f(x)，因f(1)小于f(2)，所以函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，判断这种说法是否正确.

2 案例分析

2.1 目标维度

不论是第一位教师从细节到整体的教学方式，还是第二位教师从整体到细节的教学方式，他们的教学目标都是一致的，对学生能力与情感态度的培养也高度相似.但不同的教学方式，到达目标的速度却有一定的区别.教师若模糊了教学细节，那么学生对于目标的达成也处于迷糊的状态.因此，教师应在充分了解学生的基础上，谨慎选择教学技巧.

2.2 知识维度

从知识的系统性角度来看，一个个细小的知识点犹如一条条溪流，最终还是要汇入汪洋大海.如果教师过多地关注知识的细枝末节，则会分散学生的注意力，学生很难将零碎的知识汇聚成一个系统的知识网；而过分地强调知识的整体性与系统性，则会让学生无法精确掌握知识的细枝末节，从而影响知识的实际应用[3].

因此，我们应清楚地认识到，正确处理好整体与部分的关系是教学的关键，该细致的方面细致，该模糊的地方模糊，这样才能让学生在精细掌握知识的基础上，建构完整的认知体系.如本节课最值得关注的细节为：①任意x1，x2，当x1小于x2时，存在f(x1)

第二个教学片段，就很好地抓住了这两个关键性的细节，使得学生在数形结合思想的启发下，对函数的单调性形成了较好的整体认识.

2.3 认知维度

新课标倡导的“因材施教、因势利导”的教学方法，应贯彻到教学的各个环节.由于学生的认知水平存在差异，教师在备课时，应从学生的实际情况出发，根据学情选择教学方式.如，第一种教学方法，更适合基础好、自学能力强的学生；第二种教学方法则适用于基础较弱，需要更多引导的学生.

总之，在新课改的背景下，教学手段真可谓精彩纷呈，越来越丰富.作为教师，不仅要紧跟时代的步伐，及时更新自己的教育理念，还要拥有自己的主见，立足于“以生为本”，让学生在各种教学方式的引导下，感受学习带来的乐趣，提升数学核心素养.