“画板”作支架 思维可视化

【摘 要】几何画板可以为学生学习数学知识提供观察、探究、归纳的有力保证。利用几何画板制作与数学知识相关的图形，可以很好地弥补教师、学生手动画图的不足。在“二次函数的最值问题再研究”的教学中，可以引入几何画板辅助教学，促进学生深度学习，让学习真正发生。

【关键词】初中数学；几何画板；教学支架；思维可视化

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）11-0048-03

几何画板是一种常见的、比较受欢迎的可视化工具。利用几何画板制作与数学概念相关的图形，可以很好地弥补教师、学生手动画图的不足。在学习数学概念时，恰当、合理地使用几何画板，不仅可以激发学生对数学概念学习的积极性和主动性，而且可以让学生更直观、生动地感受、理解、掌握一些较为抽象、难以解释的概念，有利于学生清晰、直观、积极地学好数学。

“二次函数的最值问题再研究”的教学内容在学生学习完二次函数这一章之后，是一堂针对二次函数最值问题的巩固复习课。由于其抽象程度较高，学生在学习时可能会遇到一定的困难。因此，在教学中，教师可以利用几何画板的动画效果，促进思维可视化，帮助学生突破知识重难点。同时，教师可利用小组合作，让学生交流讨论、碰撞思维；安排全班展示，让学生充分整合思路、发表见解。以此激发学生数学学习的主动性，提高学生学习数学的自信心。

一、教学目标及重难点

1.教学目标

（1）会结合二次函数的图象和性质进行分类讨论，求解二次函数的最值问题，培养学生良好的思维习惯，提高学生的综合分析能力，并进一步加深学生对数形结合、分类讨论等数学思想方法的认识、理解和掌握。

（2）经历从“轴定区间动”到“轴动区间定”的类比推理，培养学生的类比推理能力、独立思考习惯和小组合作精神。

2.教学重难点

（1）重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴动区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴定区间动的闭区间上二次函数最值问题。

（2）难点：轴动区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴定区间动的闭区间上二次函数最值问题。

二、教学过程再现

1.引导先学，再现知识

问题1：二次函数y=x2-2x+3的最小值是_____________   ，最大值是_____________   。

【设计意图】问题1列举具体的二次函数，让学生复习回顾二次函數的图象和性质，并利用二次函数的图象和性质求得其最大值和最小值。

2.组织互学，知识巩固

问题2：二次函数y=x2-2x+3（-1≤x≤0）的最小值是_____________，最大值是_____________。

问题3：二次函数y=x2-2x+3（-1≤x≤2）的最小值是_____________，最大值是_____________。

问题4：二次函数y=x2-2x+3（-1≤x≤4）的最小值是_____________，最大值是_____________。

问题5：二次函数y=x2-2x+3（2≤x≤4）的最小值是_____________，最大值是_____________。

【设计意图】问题2到问题5的设计是利用自变量取值范围的改变，并依据此自变量的取值范围来得出这个二次函数的最大值和最小值。如果仅从二次函数性质的角度来解决问题，学生可能不易看得清楚、想得明白。为此，实际教学时，教师可利用几何画板进行演示，让思维可视化、思路清晰化（限于版面，演示过程略），从而顺利解决二次函数的最大值和最小值问题。

3.提升研学，综合知识

问题6：二次函数y=x2-2x+3，当1≤x≤a（a>1）时，函数值2≤y≤2a，求实数a的值。

【设计意图】问题6基于二次函数的增减性，学生思考时及时画出相应的二次函数图象进行观察（见图1），便容易找到解题思路。

问题7：二次函数y=x2-2ax+3，当0≤x≤a时，函数值2≤y≤6，则a的取值范围是         。

【设计意图】问题7以“轴定区间动”为载体设计问题。学生可借用二次函数图象变化特征（见图2）进行推理论证，即可得出a的取值范围。

4.迁移再学，深化知识

问题8：二次函数y=x2-2ax+3（a是常数），当-1≤x≤1时，函数值y的最小值是1，求实数a的值。

【设计意图】问题8与问题7的设计思路有所不同，问题8以“轴动区间定”为载体。教师预先准备好二次函数图象的几何画板（见图3、图4、图5），让学生观察、感受、类比，以此培养学生的类比推理能力、独立思考习惯和小组合作精神。

三、课后反思

本课教学中，教师从“自变量取值范围内的函数最值问题”入手，精心构思，巧妙设计，精准施教，合情释理。主要体现在以下四个方面。

1.以已知探未知，让问题拾级而上

“二次函数”是初中函数学习的一个重点，其包含的二次函数图象、性质及思想方法非常丰富和饱满，但其抽象性让函数的一些相关性质及思想方法不易被学生理解。为此，教师应基于学生学情及时进行教学前的准备和教学过程中的调整，从学生耳熟能详的二次函数问题入手（问题1），立足二次函数的基本性质，以自变量取值范围的变化为抓手（问题2到问题5），以已知探未知，让问题拾级而上，逐步升级（问题6、问题7、问题8）。此时附上图形会使问题的思路渐渐明晰，让学生的思维更具层次感和可见度。

2.以画板作支架，让思维触手可及

随着问题的不断深入，纯粹用代数方法来解题，尤其是问题6、问题7、问题8的求解，学生可能会感到不理解。此时教师要善于挖掘资源，以几何画板为支架，利用几何画板让二次函数图象动起来，以动画演示精准阐释数的概念，促使学生的思维渐渐跟进，使原本抽象的二次函数性质和特征清晰可见。

3.以合作为手段，让方法落地生根

问题的解决不能仅依靠教师的引导和讲解，更需要学生们的主动参与。小组合作学习就是一种很好的学习方式，本课利用小组合作的方式，以问题串为载体，以几何画板作支架，如问题6、问题7、问题8的研究，尤其是问题8教师可安排学生就如何划分区间进行讨论。教师作为课堂的组织者，应始终凸显学生的主体地位，将理解、思考、解决问题的主动权交给学生，让学生个体之间、团队之间进行多方位的合作、研讨、交流、碰撞，不断迸发出思维的火花。

4.以动手成习惯，让算理自然显现

整个课堂中，教师的铺垫虽然非常重要，但离开了学生的亲身感受，课堂的效率也会大打折扣。比如问题2到問题5的研究，教师用几何画板演示，然后将二次函数图象定格，由于有了具体范围，对学生来说还是比较容易理解和接受的。而对于问题6、问题7、问题8，尤其是问题8，教师同样借助几何画板演示，看上去似乎很清楚，但一离开几何画板，学生又会不明所以。为此，教师要不断地引导学生积极动手操作，在纸上画出几何画板动态下的几个定格的二次函数图象，使动态慢慢转化为静态，以动思静。

综上所述，搭建教学支架、促使思维可视化成为数学概念学习的一个很好的切入口，我们在使用可视化工具时，要提前谋划、精心设计，恰当、合理、有效地选择视觉化呈现的方式及时机，让学生积极参与动手操作和动脑思维的活动；课型要灵活、生动、有趣，引发学生思考，将数学概念学习与生活实际相结合，让学生自觉用数学知识去解决实际问题。同时，教师还要树立大教学观，积极构建思维可视化环境，充分利用好数学思维可视化工具，以人人可动手操作的实验让学生参与数学概念的形成过程，努力培养学生的数学学习能力、科学精神和创新意识。

*本文系江苏省中小学教学研究第十四期课题“发展初中生几何直观的深度学习支架构建研究”（2021JY14-ZA07）阶段性研究成果。

【作者简介】陈冬，江苏省张家港市妙桥中学（江苏张家港，215615）教师，正高级教师，江苏省数学特级教师，苏州市数学学科带头人。