大单元主题教学结构化实践研究之“化错主题—结构完善课”

兰久和 肖倩

摘  要：在大单元主题教学结构下，遵循“化错主题—结构完善课”的“三段八环”教学模式，以区统考试题中圆锥曲线中的最值问题为载体，开展试卷讲评课的教学实践活动. 通过研究课程标准把握高考、分析考情专题纠错、针对练习反馈效果三个教学阶段，探索如何针对学生的考试情况确定试卷讲评的主题，设计寻找错因、探索正解和总结措施等独立思考或合作教学活动，让学生经历完善知识结构、形成解题策略和规范书写解答等学习过程，丰富学习活动经验，提高分析和解决问题的能力，提升数学核心素养.

关键词：试卷讲评；结构完善；最值问题

北京市朝阳外国语学校顺应国家教改要求，提出“高中数学大单元主题教学结构化”的课堂教学模式. 把新授课、复习课和试卷讲评课分别整理为“探究主题—结构初建课”“整合主题—结构重建课”“化错主题—结构完善课”三种课型，并进行了教学实践活动. 其中，“化错主题—结构完善课”的“三段八环”教学模式，如图1所示.

“化错主题—结构完善课”的“三段八环”课堂教学模式是把测试获得的“差错资源”作为课堂教学资源，通过学生自我反思、小组合作等学习形式，充分暴露学生思维的偏差或不足，帮助他们寻找产生差错的根源，从而找到化错的策略和方法.“三段”包括试题介绍、数据分析、专题纠错三个时段，“八环”则是镶嵌在三个时段中落实单元主题教学的几个要素.

试题介绍包含命题意图、目标达成两个环节. 通过命题意图及建立在双向细目表基础上的目标达成度分析，让学生更清楚该主题的知识架构及重点和难点分布，同时知道自己相对于教师预期要求的达成情况，进而调整学习重心.

数据分析能显示出个别错误和倾向错误两类错误，为教师确定化错微专题提供数据支撑，也为学生明确自己出现的错误属于个别性错误还是倾向性错误提供依据，然后进行策略性化错，缓解焦虑情绪.

专题纠错主要针对倾向性错误，以微专题的形式进行纠错. 先后经历“错在哪里、错因分析、正解探索、措施探索”四个环节. 这种微专题纠错方式既可以解决逐题讲评的低效问题，也可以规避“针对错题，就题讲题”缺乏系统性的问题，切实提高学生通过考试检测自身学习效果并从试题分析中完善知识结构的能力.

本文将以高三二模试卷讲评课为例对“化错主题—结构完善课”课堂教学模式进行实践教学研究.

一、明确课程标准要求，把握考试方向

1. 课程标准要求

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中关于“圆锥曲线”的学业要求第五条是“了解椭圆、抛物线的简单应用”，没有明确直线与圆锥曲线的位置关系的要求.

2. 历年高考试题情况

纵观北京卷历年高考试题，在考查圆锥曲线的综合试题中，主要以直线与椭圆、抛物线的位置关系为背景，以定值定点问题、范围最值问题、定格探索问题等形式呈现，突出考查数形结合、逻辑推理和数学运算能力. 其中，2001年、2007年、2008年、2010年、2011年、2014年都是考查最值问题，具体包括求面积、线段长、数量积、参数的最值等问题. 另外，有些难度较大的选择题和填空题中也会出现最值问题. 为此，在结构完善课中更要突出强化和完善此类问题的解决.

二、遵循“三段八环”，展开教学实践

高三的试卷讲评课容易因逐题讲解而导致效率低下. 在大单元主题教学中的结构完善课中，把重点知识模块分散到几次试卷讲评课中来完成讲解，不盲目追求数量，重视以提高学生能力为目标，构建了基于“三段八环”的“化错主题—结构完善课”教学模式. 此教学模式先分析考试数据，争取精确到个人，了解每名学生的错误和需要提升的点，在上课时选择典型问题进行呈现并讨论纠错，然后进行针对性训练，達到每个人都有所提高的目的.

1. 试题介绍

第一阶段，试题介绍，主要包括两个环节：明确试题的命题意图，了解测试的目的；根据双向细目表和学生的答题情况分析目标的达成度. 该试卷是北京市朝阳区高三第二次模拟试卷，考试范围是高考范围，包括复数、函数与导数、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面向量、数列、计数原理与概率统计.

（1）命题意图.

北京市朝阳区高三下学期有两次重要的模拟考试，基本按照高考标准执行，目的都是让学生熟悉考试流程，了解考试形式和考试难度，同时诊断前期复习效果，为后期教师的教与学生的学提供改进和提高的依据. 这套试卷形式规范，题目也常规，难度适中且螺旋上升，学生做起来相对顺利.《标准》提出教学评价要关注学生的发展，要多样化，既要重视学生知识、技能目标的实现，更要重视学生数学核心素养水平的达成. 高三统一的模拟考试就是从各个方面去检测学生的发展水平. 同时，学生在学习甚至考试中也能提高自我学习的技能，养成良好的学习习惯.

（2）目标达成.

该套试卷的双向细目表，如表1所示.

2. 数据分析

第二阶段，数据分析，包括两个环节：根据考试数据，分析学生的个性错误和共性错误；确定化错的主题，明确化错专题教学的目的.

用直方图和条形图给学生展示考试整体结果，帮助学生了解各题得分率，直观形象，给学生强烈的视觉冲突，提高学生的注意力，找到共性问题，挖掘问题出现的原因，为今后教学提供改进方向. 同时，学生也能从中发现自己与集体的差异，了解自己所处的位置和学习情况，为制订和实施日后的复习目标提供依据.

本次考试，笔者所任教班级的平均分是118.54分，最高分是136分，130分以上有4名学生，年级平均分是116.3分. 从整体得分率来看，大多数题目做得稍好. 涉及解析几何的第10题和第19题，涉及导数的第15题和第20题，还有涉及新定义的第21题得分率较低. 另外，涉及双曲线的第3题，涉及函数的第14题，涉及解三角形的第16题，涉及立体几何的第18题都有部分学生失分，需要课下进行个性化辅导. 从知识模块来看，笔者发现得分率低的题目主要属于解析几何与函数综合模块. 结合数学核心能力来看，得分率低的题目对能力要求都比较高，如创造迁移的能力，综合分析、解决问题的能力和发现创新的能力. 为此，在分析综合问题时要多进行提升学生思维能力的训练，使学生能从多角度观察同一数学对象，会从不同角度思考和分析问题.

总体来说，经过近一年的复习，高三学生已经基本熟悉了考试的范围和考查形式，对基础题型和问题的解答比较理想，只有个别对思维层次要求更高的问题出现解答不太理想的状况. 具体来说，像函数综合题、解析几何题等承载着对学生高阶思维能力的考查，学生的解答不是很理想. 为此，笔者将此次试卷讲评课的化错主题放在解析几何和函数上，分为3个课时：第1课时聚焦圆锥曲线最值问题（第10题），第2课时聚焦圆锥曲线定格问题（第20题），第3课时聚焦恒成立问题（第19题）.

第1课时，聚焦第10题，具体考试数据如表2所示.

此题难度较大，从全校答题情况来看，总体得分率只有0.32，多数学生错选C. 而本班学生主要错选A，差异很大. 给学生展示答题情况，直观了解班级情况，数据对比明显，突出重点讲解此题的必要性.

（1）个别错误.

此题是选择题，不易通过卷面情况来分析学生的错因. 于是，考试后让学生重现考试时的解答思路，并把思考和解答过程写出来，方便分析错因. 从解答过程和对学生的访谈发现：有超过60%的学生觉得这是最后一道选择题，没有时间和信心思考，直接战略性放弃，随意选择一个选项完成求解；有10%的学生有思路但是没有时间完成求解；也有些学生通过直观选择特殊位置进行计算，再进行估算，然后得到正确结果；只有不到10%的学生能正确算出结果. 对于个别学生出现的抛物线画错、计算出错等错误，可以后续单独解决，不必在课堂上进行分析和讲解. 具体了解了学生的答题情况，为上课时有针对性地提问提供了依据，使得课上提问更有的放矢.

（2）倾向错误.

本课时主要落实对圆锥曲线最值问题的分析和研究，我们在课堂上展示几种典型错误（即倾向性共性错误）并分析，然后找到修正错误的方法和路径，接着让学生自己规范书写，课后再对应两个同类型题练习反馈，以评价试卷讲评课的效果. 通过这一系列活动，提高考试的检测功能，促进学生提高学习效率.

3. 专题纠错

第三阶段，专题纠错，主要针对倾向性错误以微专题的形式进行纠错. 先后经历四个环节：错在哪里，错因分析，正解探索，措施探索. 本专题主要设计以下几个问题，让学生经历化错主题的全过程，提高测试后的反思能力，提升学习能力和效果.

问题1：回顾第10题，认真审题，该怎么做这道题呢？

追问：怎么处理条件可以使问题形象具体？是否需要画图帮助思考？

第10题如下：已知抛物线[C]的焦点[F]到准线[l]的距离为2，点[P]是直线[l]上的动点．若点[A]在抛物线[C]上，且[AF=5]，过点[A]作直线[PF]的垂线，垂足为[H]，则[PHPF]的最小值为（    ）.

（A）[25] （B）[6]

（C）[41]   （D）[213]

活动1：学生再次熟悉题目，明确研究对象，易知抛物线位置的任意性. 不妨设焦点在[x]轴上，得抛物线标准方程[y2=4x]，进而得焦点[F1，0]，再根据条件[AF=5]和抛物线定义取一个点[A4，4]，接着再画出垂线[AH]，如图2所示，进入化错状态.

（1）错在哪里.

问题2：看以下三名学生的解答，你能发现错误吗？

追问：有哪些类型的错误？这些错误是共性的还是个性的？你能跟同伴交流做题时遇到的障碍吗？

活动2：学生查看典型错误，发现错误点，交流做题时遇到的障礙.

【设计意图】通过学生交流，发现学生问题，有利于针对性地解决问题.

错解1：当[AF⊥PF]时，直线[AF：y=43x-1]，直线[PF：y=-34x-1]，此时[P-1， 32，H1，0]. 所以[PHPFmax=22+3222=254]. 无选项，但是可以排除选项C和选项D，故选B.

错解2：当[P-1，0]时，[H4，0]，得[PHPF=][5×2=10]. 无选项.

当[AP⊥l]时，[AF=AP]，[H]为[PF]中点，则[P-1，4]. 得[PHPF=12PFPF=12×25×25=][10]. 无选项.

由对称性，当点P的坐标为[-1，2]时，直线[PF：][y=-x+1]，所以直线[AH：y=x]. 此时[H12， 12]，[PH ·]

[PF=322+322×22+22=6]，故选B.

错解3：设[P-1，t]，[t≠0]，则[PF=t2+4]，直线[PF]的方程是[y=-t2x-1].

所以[kAH=2t].

所以直线[AH]的方程是[y-4=2tx-4].

联立方程，得[y=-t2x-1，y-4=2tx-4.]

解得[x=t2-8t+16t2+4，y=4t2-6tt2+4.]

所以[Ht2-8t+16t2+4， 4t2-6tt2+4].

则[PH=t2-8t+16t2+4+12+4t2-6tt2+4-t2=…]，

所以[PFPH=t2+4×t2-8t+16t2+4+12+4t2-6tt2+4-t2=….]

（2）错因分析.

问题3：大家已经找到相应错误了，你能分析出错的原因吗？

追问：对错误原因进行归类，是知识型错误还是能力型错误呢？

活动3：学生交流错误原因. 例如，错解1想当然地认为垂直的时候取得最大值，在没算出选项时随意选择一个答案，属于逻辑推理问题；错解2直接猜想特殊位置取得最值，但是一开始没有选项，接着再取一个特殊位置，发现两个错误值一样，于是大胆猜想对称性，确定点P的位置，进而得到正确结果，属于有一定的解题经验，会用特殊值法解决选择题和填空题，但是逻辑推理不够严谨；错解3可以看出思路比较清晰，但是因为计算量过大而放弃，属于计算能力不足.

【设计意图】这个活动中，让学生对错误进行归类，提高其逻辑推理能力，提高学生对数学中分类讨论思想方法的认识.

（3）正解探索.

问题4：分析条件和结论的联系，确定已知和目标，你能尝试制订解题方案吗？

追问1：根据条件，你能推出什么结论？

由抛物线方程，以及点F和点A的坐标，设点P的纵坐标，根据垂直可以表示出点H的坐标.

追问2：要得出结论，需要什么条件？它与已知条件怎么联系在一起的？

要算线段长的乘积，需要计算点F，P，H的坐标，从而计算长度.

追问3：怎么求[PFPH]的最值呢？

由于两条线段的长都随点P的运动而变化，为此乘积可以表示成关于点P的纵坐标的函数，进而求函数的最小值.

于是有思路1，同错解3的思路，发现可以利用点H的坐标计算线段的长. 运算量比较大，考试时间紧张，应该进行优化. 考虑避免使用两点间的距离公式，结合垂直关系，可以把[PH]转化为点P到直线AH的距离，于是有了思路2，具体如下.

当点P的坐标为[-1，0]时，容易得到[PHPF=][5×2=10].

设[P-1，t]，[t≠0]，则[PF=t2+4].

因为[kPF=-t2]，所以[kAH=-1kPF=2t].

所以直线[AH]的方程是[y-4=2tx-4]，

即[2x-ty+4t-8=0].

因为[PH]为点[P]到直线[AH]的距离，

所以[PH=-2-t2+4t-8t2+4].

所以[PFPH=t2+4×|-2-t2+4t-8|t2+4=t2-4t+10=]

[t-22+6≥ 6].

所以[PHPF]的最小值为[6].

这种思路比较直接，但是计算量较大.

追问4：上面的解法运算量较大，你有办法减少运算量吗？

想法1：点P的位置变化还可以用直线PF的斜率来刻画，同思路1也可以求出最值（过程略）.

想法2：可以把线段的长度看作向量的投影，进而把线段长之积转化为向量的数量积，减少运算量.

由于[PFPH=PF ? PA]，

设[P-1，t]，则[PF=2，-t， PA=5，4-t].

所以[PFPH=PF ? PA=10-t4-t][=t-22+6].

当[t=2]时取得最小值[6].

想法3：由同一条直线上两个线段之积，以及垂直关系，想到平面几何的切割线定理.

设[P-1，t]，由题可知[A，F，H]在以[AF]为直径的圆上，圆心为[B52，2]. 如图3，过点[P]作圆[B]的切线，切点为[C]，则[PFPH=PC2].

因為[△PCB]是直角三角形，

所以[PC2=PB2-BC2].

因为圆[B]的半径为[52]，

所以[PB2-BC2=2-t2+722-522=t-22+6].

所以当[t=2]时，[PFPH]取得最小值，最小值为[6].

【设计意图】在这个问题后设置几个追问，方便教师进行解题指导. 分析已知条件和结论的关系，重点关注条件和结论的差异，思考用什么知识、公式、定理能把它们联系起来，就形成了解题思路，培养学生分析和解决问题的能力. 同时，经过具体方案的实施，提升学生的数学运算能力和数学表达能力.

（4）措施探索.

问题5：经过对第10题的分析和解决，你觉得解决圆锥曲线最值相关问题有哪些策略？

活动5：学生总结解题反思（如图4），如怎么用特殊值法，没有选项怎么办，怎么结合条件和结论多角度思考，怎么以形助数、以数表形，怎么优化计算，等等.

追问：你能总结圆锥曲线最值相关问题的解答流程吗？

活动6：学生总结的流程，主要有两种：审题—把条件图形化—研究几何图形—发现轨迹—确定最值位置—计算；审题—把条件坐标化—运用坐标表示几何关系—代数运算—得到代数结果—原问题结论.

【设计意图】针对第10题展开研究、讨论和展示，让学生从不同角度认识这道题，争取把握最值问题的本质，最后形成程序化思维，以思维导图的形式展现，形象直观，使学生的印象更加深刻.

三、依据“针对练习”，反馈教学成效

及时进行针对练习，检测学生对该类型问题的理解是否有所提高. 根据反馈，教师可以反思自己的设计、教学和实施，为今后改进教学提供直接依据.

1. 针对练习

针对本节课所提炼的方法，解决两道类似题目.

练习1：已知椭圆C：[x24+y23=1]的左、右焦点分别为[F1]，[F2]，椭圆C上的点A满足[AF2⊥F1F2.] 若点P是椭圆C上的动点，则[F1P ? F2A]的最大值为________.

答案：[332].

练习2：已知抛物线[y2=4x]及点[A-2，0，B2，0]，点[P]为该抛物线上的动点，则[PAPB]的最大值为______.

答案：[3].

2. 针对练习反馈

练习反馈如表3所示.

从反馈的数据来看，练习1正确率较高，但是也有错误，通过访谈发现错误的原因有：点A的坐标求错，即椭圆基本性质不清楚；没有想到用投影求数量积，导致计算困难. 练习2正确率较低，有的学生不知道如何将其转化成几何问题，不知道什么位置取最大值；有的学生没有想到可以直接运用坐标运算解答；有的学生写出了表达式，但是不会求最值，也就是不会运用基本不等式.

限于篇幅，此处省略第2课时和第3课时的教学过程.

经过这样的试卷讲评课，使试卷讲评更有针对性，重点更突出. 虽然每次试卷讲评课没有全面覆盖错题，但是可以调动学生的积极性，使其按照此类化错主题课的流程进行自主纠错改正，然后生生互助检查，提高时效性. 另外，如果在高中阶段的统考中，每次都重点突破两三个重点问题，几次考试下来，高中数学的重点内容和方法应该就覆盖得差不多了，也达到了复习不遗漏的要求.

参考文献：

［1］施海燕. 探索高中数学试卷讲评课的有效性［J］. 数学教学通讯，2018（3）：57，61.

［2］张林森. 浅谈高中数学试卷讲评课的有效性［J］. 数学通报，2012，51（12）：18-21.

［3］臧洪君. 浅谈数学试卷讲评的教学［J］. 数学通报，2008，47（9）：21-23.