大单元主题教学结构化实践研究之“探究主题—结构初建课”

刘嘉 富艳姿

摘  要：以“椭圆的概念及标准方程”为例，从三个方面对大单元主题教学结构化实践研究之“探究主题—结构初建课”进行说明：落实“八个围绕”，完善教学设计；遵循“三段八环”，展开教学实践；依据“目标检测”，进行教学反思.

关键词：大单元；主题教学；结构初建；椭圆的概念；椭圆的标准方程

为了全面贯彻国家教育方针，落实立德树人根本任务，发展学生的数学核心素养，北京市朝阳外国语学校高中数学组以“主题”和“结构”为特色，对普通高中数学国家课程进行了必要的统整，将大家熟知的新授课整合为“探究主题—结构初建课”，并构建了相应的“三段八环”教学模式，如图1所示.

[探究主题—结构初建课][课前][课中][课后] [三段八环] [讲出来] [展示][交流][学进去][诱思][导学][灵活用][示范][模仿][迁移][创新][知识结构图] [知识结构图] [图1 “探究主题—结构初建课”的“三段八环”教学模式]

在探究主题单元课时教学的过程中，“三段”指“学进去、讲出来、灵活用”三个时段，而“八环”则是镶嵌在三个时段中落实单元主题教学的相关要素.

“学进去”包含诱思和导学两个环节. 诱思是通过创设学生感兴趣的，与学习主题相关的情境诱发学生思考，目的是让学生的思维进入课堂，此时创设“好的情境”是关键；导学是通过设计和实施问题串引导学生课堂跟进，目的是让学生的思维留在课堂. 为了使设计更清晰、精细，我们要求问题串的设计要遵循“大问题、小追问、双逻辑”的原则. 设计“大问题”要遵循数学逻辑：根据单元大问题形成单元结构并划分课时，根据课时大问题形成课时结构并呈现其数学学科逻辑. 设计“小追问”要遵循教育逻辑：针对大问题，基于学生认知规律预设“脚手架”，根据课堂实际生成情况有选择地抛出若干“脚手架”让学生拾级而上，最终解决问题.

“讲出来”包含展示和交流两个环节. 展示是学生以擅长的方式阐述对所学主题内容的理解；交流是学生结合自己的理解对其他学生表达的观点进行补充、质疑和研讨，目的是促进不同认知水平的学生充分交流，在教师的参与下形成正确的结构化认知.

“灵活用”包含示范、模仿、迁移和创新四个环节. 示范是教师通过典型例题引领学生进行科学分析、解答与总结，通过语言、板书等方式给学生留下规范的解题程序与格式，是“灵活用”的基础；模仿是通过设计与例题同类的练习题让学生再现例题的解题程序与格式，实现程序化模式识别；迁移是通过设计与例题相关但又有明显差别的、对思维要求相对更高的变式习题让学生跳出定式、发散思维去分析求解，实现既能模式识别又能灵活变通；创新是通过设计与例题相关且具有挑战性的思考题让学生探究解题路径，揭示问题本质，发展高阶思维. 下面以“椭圆的概念及标准方程”新授课为例对“探究主题—结构初建课”予以说明.

一、落实“八个围绕”，完善教学设计

“八个围绕”对实现“四个理解、两个针对、三位一体”的有机融合有极强的实操意义，是教师进行教学设计的一个有力抓手.

1. 围绕课程标准备教材

（1）课程标准的要求.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）对“圆锥曲线与方程”内容的要求是：① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ② 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. ③ 了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质. ④ 通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. ⑤ 了解椭圆、抛物线的简单应用.

（2）教材的结构.

人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“人教A版教材”）第三章“圆锥曲线的方程”包括“椭圆”“双曲线”“抛物线”三个部分. 这三个部分的知识结構具有相似性，研究方法具有一致性. 教学中，教师可以先精讲椭圆，然后让学生类比椭圆的学习过程和研究方法自主研究双曲线和抛物线.

2. 围绕教材备主题

“大单元主题”可以是教材中的自然单元，也可以是围绕某一素养目标或某一任务开发出来的跨章节、跨书册、跨媒介的主题学习单元. 教师在进行教学设计时要先建构本单元的结构框架，然后将其拆分为小的单元，再将小单元拆分为若干小主题. 所谓“结构化”就是指每一个小主题结构都可以无痕地镶嵌在它的上一层单元主题结构中. 通过对《标准》和人教A版教材的分析，可以对“圆锥曲线的方程”单元进行主题拆分，如图2所示.

结合《标准》和人教A版教材，可以将“圆锥曲线的方程”单元划分为4课时. 第1课时是“椭圆的概念及标准方程”，第2课时是“椭圆的简单几何性质”，第3课时是“椭圆的简单应用”，第4课时是“椭圆的小结”.

3. 围绕主题备结构

以主题“椭圆的概念及标准方程”为例，结合《标准》的要求和人教A版教材的内容，依据知识的发生发展过程，确定该主题第1课时的内容结构如图3所示.

4. 围绕结构备问题

教学中，教师应该设计和实施问题串引导学生在课堂上跟进，把学生的思维留在课堂. 问题串设计遵循“大问题、小追问、双逻辑”原则，即大问题遵循数学逻辑，小追问遵循教育逻辑. 根据该主题的内容结构，可以设计如下问题串推进课堂教学.

问题1：取一条细线，一张纸板，在纸板上取两点分别标上[F1，F2]，把细线两端分别固定在[F1，F2]两点，用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动绘出图形，仔细观察，绘出的是什么曲线？

问题2：用自己的语言给椭圆下定义，什么是椭圆？

追问1：画图过程中，笔尖所对应的动点[M]满足什么限制条件？

追问2：满足这个限制条件的动点轨迹一定是椭圆吗？

问题3：椭圆的标准方程是什么？

追问1：如何建立平面直角坐标系比较好？

追问2：如何計算两点之间的距离？

追问3：如何化解方程[x+c2+y2+x-c2+y2=2a]？

问题4：在平面内，满足条件“到定点[F1-c，0]，[F2c，0]距离之和为定值[2a2a>2c]”的椭圆的标准方程是什么？

追问1：椭圆的焦点坐标是什么？

追问2：图4中哪些线段的长度是[a，b，c]？

5. 围绕问题备素养

问题1需要学生动手操作，经历椭圆图象生成的过程，对学生的直观想象素养有一定的要求. 问题2需要学生经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，使学生会用数学眼光观察，会用数学语言表达，对学生数学抽象素养有较高要求. 问题3需要学生根据椭圆的几何特征建立平面直角坐标系并导出椭圆的标准方程，蕴含着数形结合思想和转化与化归思想. 椭圆的概念需要对常数的范围进行限制，椭圆的标准方程本身就有两种情况，其中蕴含着分类与整合思想. 求椭圆的标准方程主要利用待定系数法，它有基本的解题程序，蕴含着程序化思想. 这个问题对学生的数学运算素养有较高要求. 问题4需要学生运用新习得的椭圆的相关知识进行推理，对学生的逻辑推理素养有较高要求.

6. 围绕素养备学情

从数学抽象素养的角度来看，在之前的学习过程中学生已经积累了大量从实际情境中抽象出数学概念的经验，但是由于椭圆的限制条件较多，在从生活中的椭圆到数学中的椭圆的抽象过程中，学生可能存在一定的困难. 从数学运算素养的角度来看，在之前的学习过程中，学生几乎没有化简两个根式的和的经历，因此对椭圆方程的化简必然会成为该主题教学中的一个难点. 从逻辑推理素养的角度来看，学生在之前的学习经历中已经有大量的逻辑推理练习，但是该主题需要用到新接触的椭圆的概念进行推理，可能也会对学生的学习产生一定影响.

7. 围绕学情备例题，围绕例题备迁移

根据学生学情，例题设置应该由易到难，即从学生熟悉的情境切入. 教师设计如下题目及对应变式.

题目1  已知点[M]到两个定点[A-1，0]和[B1，0]的距离之和是定值[4]，则动点[M]的轨迹是（    ）.

（A）一个椭圆

（B）线段AB

（C）线段AB的垂直平分线

（D）直线AB

该题目学生易于上手，设计此题是对椭圆定义的巩固.

变式：已知点[A]为圆[O]内的定点（不与圆心重合），点[Q]为圆周上的动点，线段[AQ]的中垂线和半径[OQ]交于点[P]，则动点[P]的轨迹是什么？

这个变式是对题目1的迁移，从简单熟悉的情境迁移到综合的情境中，学生需要分析变化中的不变量，利用椭圆的定义判定动点[P]的运动轨迹是椭圆.

题目2  已知椭圆的两个焦点坐标分别为[-2，0，][2，0]，并且经过点[52，-32]，求它的标准方程.

对于该题，学生可以利用待定系数法求解，也可以利用定义直接求出[2a]的值，得到标准方程.

变式1：在圆[x2+y2=4]上任取一点[P]，过点[P]作[x]轴的垂线段[PD]，[D]为垂足. 当点[P]在圆上运动时，线段[PD]的中点[M]的轨迹是什么？为什么？

变式2：设[A，B]两点的坐标分别为[-5，0，] [5，0]. 直线[AM，BM]相交于点[M]，且它们的斜率之积是[-49]，求点[M]的轨迹方程.

这两个变式都是对题目2的迁移. 题目2是通过椭圆来确定方程，而这两个变式都是通过方程来判定动点的运动轨迹是椭圆. 设计这两个变式，不仅可以巩固学生对椭圆性质的理解，使他们认识到椭圆和圆之间的关系，也可以让学生感受求动点轨迹方程的一些常用方法，积累运用代数方法解决几何问题的经验，提升直观想象和数学运算等素养.

以“八个围绕”为抓手，完善教学设计，能够实现“四个理解、两个针对、三位一体”的有机融合，达到大单元主题教学结构化实践的要求，有利于学生对单元整体知识的建构，增强自主探究能力，发展高阶思维，提升数学核心素养.

二、遵循“三段八环”，展开教学实践

为了在教学实践中完成对单元主题内容的结构初建，实现教学设计中的预定目标，我们构建了基于“三段八环”的“探究主题—结构初建课”教学模式.

1. 学进去

（1）诱思.

问题1：拿出准备的工具，按下面指令操作. 取一条细线，一张纸板；在纸板上取两点，分别标记为[F1，F2]；把细线的两端分别固定在[F1，F2]两点；用笔尖把细线拉紧（细线长度大于[F1，F2]两点间的距离），在纸板上慢慢移动画出图形. 你画出的图形像什么？

这个活动的设计能充分调动每名学生参与的积极性，激发学生的思考兴趣. 课堂上，学生通过动手实践，一致得到“像椭圆”的结论.

（2）导学.

追问1：如果把笔尖记作动点[M]，你能写出动点[M]运动过程中满足的条件吗？

这个追问引导学生对椭圆的认识从生活中的模糊印象逐步过渡到数学中的标准定义. 实践中，学生从情境中抽象出[MF1+MF2=2a].

追问2：满足[MF1+MF2=2a]的动点[M]的运动轨迹一定是椭圆吗？如果动点[M]的运动轨迹一定是椭圆，则需要满足什么条件？调整细线的长度画画看，得出结论后分组进行交流.

学生通过调整细线的长度，得到动点M的运动轨迹不一定是椭圆. 如果是椭圆，需要满足三个条件：[MF1+MF2=2a]；[2a>F1F2=2c]；点M在线段[F1F2]所在的平面内运动.

问题2：你能据此用自己的语言给椭圆下个定义吗？

通过一系列追问，学生逐渐完成椭圆概念的建构. 平面内到两个定点[F1，F2]的距离的和等于常数[2a]（大于[F1F2]）的點的运动轨迹叫做椭圆. 在这个大问题解决的过程中，学生从具体情境中抽象出椭圆的概念，提升了数学抽象素养.

追问1：观察椭圆的形状，你认为怎样建立平面直角坐标系可以使所得的椭圆方程形式更简单？

课堂上，大多数学生考虑到椭圆的对称性，都以两个焦点所在的直线为横轴建立平面直角坐标系. 教师启发学生，也可以以两个焦点所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系.

追问2：如何表示两点间的距离？

这个追问帮助学生将[MF1+MF2=2a]代数化. 学生得到[x+c2+y2+x-c2+y2=2a]或者[y+c2+x2+][y-c2+x2=2a].

追问3：如何简化上述方程？

学生在这里发生了一些争论，大多数学生的想法是直接平方，也有学生认为先将一个根号移项到等号另一侧再平方比较好，还有学生认为可以对等式左侧进行分子有理化.

问题3：椭圆的标准方程是什么？

学生经历一系列运算后，得到焦点在[x]轴上的椭圆的标准方程[x2a2+y2b2=1 a>b>0]，以及焦点在[y]轴上的椭圆的标准方程[y2a2+x2b2=1 a>b>0]. 在这个过程中，学生的数学运算素养得到了有效提升.

至此，经过三个问题和五个追问，学生完成对椭圆的概念及标准方程主题的结构初建.

2. 讲出来

如果说学进去是信息的输入，那么讲出来就是信息的输出.

（1）展示.

教师让学生谈一谈对椭圆的概念及标准方程的理解. 学生基本上脱离了过去对椭圆是“扁圆”的直观认知，能够用自己的语言描述椭圆的定义.

（2）交流.

对于学生对椭圆的概念及标准方程的理解，教师引导学生进行补充、质疑和交流. 学生能相互补充在描述椭圆的概念及标准方程时丢失的一些关键词，如“平面内”“两定点不能重合”等.

3. 灵活用

灵活用包括示范、模仿、迁移、创新四个环节. 根据具体教学情况，四个环节不一定面面俱到.

例1  已知平面内的点[M]到两个定点[A-1，0]和[B1，0]的距离之和是定值[4]，则动点[M]的轨迹是（    ）.

（A）一个椭圆

（B）线段AB

（C）线段AB的垂直平分线

（D）直线AB

练习：你能进一步求出动点[M]的轨迹方程吗？

变式：已知点[A]为圆[O]内定点（不与圆心重合），点[Q]为圆周上动点，线段[AQ]的中垂线和半径[OQ]交于点[P]，则动点[P]的轨迹是什么？

上述教学活动是对椭圆概念的灵活运用. 教师通过例题进行示范；学生通过练习进行模仿，通过变式进行迁移，巩固对椭圆定义的理解.

例2  已知椭圆的两个焦点坐标分别为[-2，0，][2，0]，并且经过点[52，-32]，求它的标准方程.

变式1：在圆[x2+y2=4]上任取一点[P]，过点[P]作[x]轴的垂线段[PD]，[D]为垂足. 当点[P]在圆上运动时，线段[PD]的中点[M]的运动轨迹是什么？为什么？

追问：如果点[P]在某已知曲线上运动，且点[P]的运动引起点[M]的运动，如何求动点[M]的轨迹方程呢？

变式2：设[A，B]两点的坐标分别为[-5，0，] [5，0]. 直线[AM，BM]相交于点[M]，且它们的斜率之积是[-49]，求点[M]的轨迹方程.

追问：如果点[P]在运动过程中始终保持某个几何条件成立，那么如何求其轨迹方程呢？

你能根据椭圆的定义证明“用一个平面截圆锥的侧面，当截面与圆锥的轴所成角大于圆锥的母线与轴所成角且与轴不垂直时，得到的封闭的几何图形是椭圆”吗？

上述教学活动是对椭圆的标准方程的灵活运用，同样通过例题进行示范.

在例2中，学生可能会有以下两种解法.

解法1：由题意，知

[2a=52-22+-32-02+52+22+-32-02=][210].

解得[a=10].

所以[b2=a2-c2=6].

所以椭圆的方程为[x210+y26=1].

解法2：设椭圆的方程为[x2a2+y2b2=1 a>b>0].

由题意，可得[522a2+-322a2-4=1].

解得[a2=10].

所以椭圆的方程为[x210+y26=1].

对比两种解法，学生认识到运算策略的选择有时对运算难度有较大的影响，由此提升数学运算素养.

通过变式进行迁移，解决变式1的关键是找到点[P]与点[M]坐标的对应关系，用点[M]的坐标表示点[P]的坐标，代入点[P]所在曲线的轨迹方程. 变式2直接将几何约束条件代数化得到点[M]的轨迹，但是容易忽略[x≠±5]的限制条件. 这个活动使学生思维的严谨性和推理的准确性得以提升.

这是一个具有挑战性的学习任务，通过思考创新指向高阶思维的培养和数学核心素养的提升. 学生可以查阅资料，了解数学家是如何证明这条封闭曲线是椭圆的. 教师也可以鼓励学生小组合作，借助信息技术共同突破难点.

三、依据“目标检测”，进行教学反思

1. 目标检测设计

目标检测的题目应该针对该主题的目标，不宜过多、过难.

练习1：某椭圆的焦点坐标为[-3，0， 3，0]，且经过点[0，1]，求该椭圆的标准方程.

练习2：[△ABC]的周长为[6]，且[B-1，0，] [C1，0]，则顶点[A]的轨迹是什么？

2. 目标检测反馈

目标检测情况如表1所示.

从检测数据来看，练习2正确率较低. 经过访谈，分析学生错误原因，发现学生基本都能分析出顶点[A]到[B，C]两个定点的距离之和为[4]，且[AB+AC>BC]，从而得出动点[A]的轨迹为椭圆. 也就是说，通过本节课的学习，学生已经知道了椭圆的概念，以及椭圆定义中常数的取值要求，但是忽略了当[A，B，C]三点共线时[△ABC]不存在，因此动点[A]的轨迹是椭圆扣除其与直线[BC]的交点后的图形.

3. 教学反思

本节课基于“四个理解、两个针对、三位一体、八个围绕”理念进行设计，遵循“学进去、讲出来、灵活用”三段八环进行实施. 在教学中引导学生从整体看局部，有助于厘清知识间的内在关联，从宏观角度完成单元结构初建；从局部看整体，有助于形成解决问题的一般规律，体会如何利用代数方法研究动点轨迹，提升数学核心素养.

通过本节课的学习，学生对椭圆的认知从已有的“扁一点的圆”等感性、直观的认识过渡到严谨的轨迹定义，并推导出椭圆的标准方程，基本达成课时教学目标. 在这个过程中，学生积累了数学抽象的经验，提升了数学抽象、逻辑推理和数学运算等素养. 同时，学生通过参与一系列课堂学习活动，提升了语言表达能力、科学探究能力和团队协作能力，体会了精益求精的数学学习精神.

在完成椭圆的概念的建构后，通过“讲出来”活动，让学生用自己的语言描述对椭圆的概念的理解，能够将学生内在的认知外显，便于教师掌握学情. 而通过其他学生的评价，能够巩固、强化学生对新概念的正确理解，尤其是对一些关键词的理解. 这样的展示交流活动在概念建构中的效益非常明显，在今后的设计中应该予以坚持.

参考文献：

［1］史寧中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［2］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.