大单元主题教学结构化实践研究之“整合主题—结构重建课”

陶哲 郭峰

摘  要：以“直线与椭圆的位置关系”为载体，在大单元主题教学结构下，针对“整合主题—结构重建课”进行了教学实践. 从教学准备、教学实施、教学评价三个方面，探索如何精准定位复习课的成长点，设计具有挑战性的活动来优化和完善知识结构，落实模式识别和程序操作，激发学生的高阶思维，提升学生的数学核心素养.

关键词：整合主题；结构重建；直线与椭圆

随着新课程标准、新教材、新高考的逐步推进，通过教学改进提升学生的数学核心素养已然成为业界共识. 在传统教学的复习课中，教师往往面临着一种尴尬的处境：学生课后仍然是“会的还会，不会的还不会”. 为了打破这种僵局，北京市朝阳外国语学校高中数学组以“主题”和“结构”为特色，将传统的复习课演变为“整合主题—结构重建课”，并构建了相应的“三段六环”教学模式，如图1所示.

在整合主题单元的课时教学的过程中，“三段”指“两个针对、三位一体、巩固拓展”三个时段，而“六环”则是镶嵌在三个时段中落实单元主题教学的相关要素.

“两个针对”就是“针对课程标准与高考试题”“针对学情找共性与个性”. 课程标准告诉我们学业内容和学业要求，而高考试题告诉我们高考考查的方向和方式；学情告诉我们本班学生对上述内容的掌握程度，课堂上只针对班级共性问题设计集中讲解，个性问题则可以通过个别答疑辅导处理.“两个针对”可以确保教学设計是对路、到位的.

“三位一体”包含三个环节：结构与系统，策略与方法，整合与创新. 结构与系统主要针对学生课前绘制的思维导图进行主题结构体系的优化与完善. 策略与方法主要针对主题基本问题的模式识别与程序落地. 整合与创新主要针对主题内容设计有层次的挑战性问题，激活学生的高阶思维，提升学生的数学核心素养.

“巩固拓展”就是围绕本课时的教学内容设计一些能体现选择性、挑战性及“教—学—评”一致性的随堂练习和课后作业，对本课时的学习效果进行诊断与反馈，同时为下一课时的教学设计做好铺垫.

本文将以“直线与椭圆的位置关系”为例，对“整合主题—结构重建课”这种大单元主题教学结构进行说明.

一、教学准备

1. 课程标准与高考试题

（1）课程标准的要求.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出，学生在平面解析几何单元能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题.

（2）高考试题分析.

近年来，涉及“直线与椭圆的位置关系”的高考试题（北京卷）分布如下：2018年理科第19题的定值问题；2018年文科第20题的弦长、求参数取值；2019年理科第18题的定点问题；2019年文科第19题的定点问题；2020年第20题的求值问题；2021年第20题的求参数取值范围；2022年第19题的求参数取值；2023年第19题证明直线平行.

在考查直线和圆锥曲线的相关问题时，近三年的高考试题全部用到了根与系数的关系寻找两个交点的联系. 其中，定点、定值问题是重点考查内容，突出考查了几何分析、代数证明、等价转化、函数与方程等数学思想和方法，要求学生通过分析问题引入变量（代数）来刻画运动变化（几何），并通过代数运算来证明运动变化中的不变量或不变关系，解决问题的过程对学生数学运算素养的要求较高，是区分度很高的题目.

2. 学情分析

在课前，我们选择了如下前测题目. 该题目从三个方面来反馈学情：首先，需要对几何条件进行等价转化；其次，需要引入变量刻画动直线和相关量；最后，通过代数运算来判定是否存在符合条件的定点.

题目  已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1][a>b>0]的一个焦点为[F3，0]，且该椭圆经过点[P3， 12]．

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）过点[F]作直线[l]与椭圆[C]交于不同的两点[A]，[B]，试问在[x]轴上是否存在定点[Q]，使得直线[QA]与直线[QB]关于[x]轴对称？若存在，求出点[Q]的坐标；若不存在，说明理由．

通过分析学生的作答情况，我们发现学生的表现与日常教学反馈结果和教学经验相符，学生在解决直线与圆锥曲线位置关系的相关问题时存在两大困难. 首先，学生在用坐标法表示相关几何要素的过程中存在困难. 具体地，有约三分之一的学生无法将“两条直线关于[x]轴对称”的几何表述准确转化为“两条直线的斜率互为相反数”的数量关系，即转化困难. 其次，学生在运算过程中存在困难. 具体地，能将几何关系代数化的学生中，又有一半的学生无法通过坐标运算求出点[Q]的坐标，即运算困难.

二、教学实施

1. 结构与系统

本环节通过回顾梳理，厘清知识间的逻辑关系，师生共同从单元知识的完备性、各模块的关联性、模块内知识的逻辑性、应用单元知识解决的典型问题、知识结构图的观赏性等维度自主建构有机的知识体系. 这个环节有利于学生从整体上把握整章的知识结构，也有利于促进学生对每一个细微知识点的理解.

活动课前，学生已经绘制了本章的知识结构图，教师让几名学生对自己的结构图进行展示和说明. 针对这几名学生的知识结构图，让其他学生进行评价和补充，然后师生共同完善知识结构图如图2所示.

【设计意图】在学完本章全部知识后，学生对于本章知识的理解存在较大差异，主要体现在：对个别知识要素的认知水平存在差异，对整体知识结构框架存在差异，对知识与知识之间的联系存在差异. 通过展示知识结构图、生生互评，优化和完善知识结构图，形成网络式的认知结构，有助于信息的记忆和提取；同时突出本单元重点，即解析几何研究的基本方法，无论是研究曲线的性质还是研究平面几何元素间的位置关系和度量大小的过程，都是解析几何五步曲，如图3所示.

问题1：如何判定直线与圆锥曲线的位置关系？

预设：（1）代数法：联立圆锥曲线方程[C]与直线方程[l]，代入消元消去[y]，整理得到方程[ax2+bx+c=0].

若[a=0]，[b=0]，则方程[ax2+bx+c=0]无实根，[l]与[C]无公共点.（[l]是双曲线的渐近线.）

若[a=0]，[b≠0]，则方程[ax2+bx+c=0]有一个实根，[l]与[C]有一个公共点.（[l]与抛物线的对称轴平行、重合，或[l]与双曲线的渐近线平行.）

若[a≠0]，[Δ>0]，则方程[ax2+bx+c=0]有两个不等实根，[l]与[C]有两个公共点.

若[a≠0]，[Δ=0]，则方程[ax2+bx+c=0]有两个相等实根，[l]与[C]有一个公共点.

若[a≠0]，[Δ<0]，则方程[ax2+bx+c=0]无实根，[l]与[C]无公共点.

（2）几何法：在平面直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用圆锥曲线和直线的性质来判定它们的位置关系.

追问：在用代数法得到关于x的方程后，需要注意什么？

预设：因为方程的类型和根的个数由方程的参数决定，所以要注意分类讨论.

【设计意图】联立直线方程与圆锥曲线方程，组成的方程组的根是直线与圆锥曲线的公共点的横坐标，因此可以根据方程组的根的个数判定直线与圆锥曲线的位置关系. 这是用坐标法研究解析几何问题的重要思想方法，但在研究方程组解的个数的过程中，要注意各参数对方程的影响，即对直线与圆锥曲线位置关系的影响，引导学生体会数形结合思想，提升直观想象和逻辑推理素养.

问题2：在直线与圆锥曲线的位置关系的探索过程中，我们特别研究过哪一类问题？

預设：与弦长有关的问题，定点、定长问题，最值问题，存在性问题，等等.

追问1：你认为研究这些问题的基本思路是什么？

预设：明确几何问题—用坐标表示几何要素—利用代数运算求解—回归几何得出结论.

追问2：你自己在解决上述问题中遇到的最大困难是什么？

预设：用坐标表示几何要素存在困难，利用代数运算求解存在计算错误，等等.

【设计意图】通过问题2及追问，使学生经历“明确问题”“确定方法”“发现难点”三个环节，在这一环节中发现自身的优势和不足，并在后续学习过程中加以注意和提升.

2. 策略与方法

本环节对单元的核心主题进行题组的设置和编排，题目与题目之间、题组与题组之间都应该由易到难、由单一到综合逐步展开，从而循序渐进地促使学生巩固本单元的基础知识、基本方法及其程序，有利于揭示证明或求解某类问题的一般规律，引导学生体会数学学科解决问题的一般思路，提高学生分析和解决问题的能力.

主题1：直线与圆锥曲线的位置关系.

例1  在平面直角坐标系[xOy]中，已知椭圆[C1： x2a2+][y2b2=1 a>b>0]的左焦点为[F1-1，0]，且点[P10，1]在[C1]上．

（1）求椭圆[C1]的方程；

（2）设直线[l]同时与椭圆[C1]和抛物线[C2：y2=4x]相切，求直线[l]的方程．

【设计意图】通过例1，让学生体会判定直线与圆锥曲线的位置关系的问题本质上是研究方程组解的个数问题．

主题2：定量问题的求解策略.

例2  如图4，已知抛物线[C：x2=4y]，过点[M0，2]任作一条直线与[C]相交于[A，B]两点，过点[B]作[y]轴的平行线与直线[AO]相交于点[D]（[O]为坐标原点）．

（1）证明：动点[D]在定直线上；

（2）作[C]的任意一条切线[l]（不含[x]轴），与直线[y=2]相交于点[N1]，与（1）中的定直线相交于点[N2]，证明：[MN2 2-MN1 2]为定值，并求此定值．

【设计意图】通过例2，学生总结圆锥曲线中定值问题的特点及两种解法. 特点：特征几何量不受动点或动直线的影响，从而有固定的值．两种解法：从特例入手求出定值，再证明所求量为该定值；引入变量法，其解题流程如图5所示.

[变量][选择适当的动点坐标或动直线系数作为变量] [函数][把要证明为定值的量表示成上述变量的函数] [定值][把得到的函数化简，消去变量得到定值] [图5  解题流程]

3. 整合与创新

本环节既是对“策略与方法”环节中研究题型的拓展与延伸，又是对解题过程的反思、总结与迁移. 对于同一个问题，通过从不同角度考虑，运用不同的方法和知识解决问题，有助于模型的识别，以及在解决问题的过程中建立数学知识间的联系，形成整体性认知. 同时，通过对不同的方法进行分析、比较和整合，有利于促使学生体会学科的本质，促进学生对知识和方法的灵活应用，进而培养学生分析和解决问题的能力及优化解题思路的意识.

例3  已知椭圆[E]的长轴的一个端点是抛物线[y2=45x]的焦点，离心率是[63].

（1）求椭圆[E]的方程；

（2）过点[C-1，0]的动直线与椭圆相交于[A，B]两点.

① 若线段[AB]中点的横坐标是[-12]，求直线[AB]的方程；

② 在[x]轴上是否存在点M，使[MA ? MB]为常数？若存在，求出点[M]的坐标；若不存在，说明理由．

【设计意图】通过例3，找到存在性问题的解答策略：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在. 同时，通过探究多种可能的解题思路，在生生、师生、生本的交流中对不同的方法进行分析、比较和评价. 积累从多角度探索不同思路的经验，明确每种思路的运算方向，体会不同思路对应的计算量的区别，有意识地优化解题思路，提升学生的数学运算素养.

三、诊断反馈

本环节既是对教学目标是否有效达成的反馈，也是对学情分析中体现出来的难点的检测. 其中，我们仍然重点关注两个问题：一是几何问题到代数问题的转化是否正确，二是运算准确性是否有所提升. 另外，通过完善知识结构图进一步完整地构建本单元知识体系，进一步提升学生解决综合问题的能力. 相应作业安排如下.

作业1：已知椭圆[C： x2a2+y2b2=1a>b>0]过点[P2，1]，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点[F1]，[F2]为等腰直角三角形的三个顶点.

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）设直线[l]不经过点[P]且与椭圆[C]相交于[A]，[B]两点. 若直线[PA]与直线[PB]的斜率之积为1，证明直线[l]过定点.

作业2：完善课前的知识结构图，尤其注意结合自身优势和不足进行设计.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建跃，刘春艳. 关于新课程、新教材教育教学中面临的主要问题和困难调查报告［J］. 中国数学教育（高中版），2020（5）：3-19.

［3］傅秋平. 高中数学函数性质复习课的教学思考［J］. 中国数学教育（高中版），2022（11）：24-27.

［4］孔志文，李柏青，王秀彩.“直线与椭圆的位置关系”教学实践与反思［J］. 中国数学教育（高中版），2023（6）：60-64.

［5］王鹏，巩乃运. 高中数学复习课教学模式初探：以“函数的零点”微专题教学为例［J］. 中学数学教学参考（下旬），2021（9）：65-68.