采用点差法解答中点弦问题的步骤

胡海侠

在解答圆锥曲线问题时，我们经常会遇到中点弦问题，题目中往往会要求根据直线与圆锥曲线相交的位置关系，求直线与圆锥曲线交点的坐标、相交弦的中点坐标、相交弦所在直线的斜率、圆锥曲线的方程.

若 直 线 与 圆 锥 曲 线 ：x 2 a2 + y2 b 2 = 1 相 交 于 两 点 A（x1，y1）、B（x2，y2） ，且弦所在直线的斜率为 k ，AB 的中 点M （x0，y0），运用点差法解答中点弦问题的步骤为： 第一步，将A、B两点的坐标代入圆锥曲线的方程 得：x1 2 a2 + y1 2 b 2 = 1，x2 2 a2 + y2 2 b 2 = 1；

设出相交弦的两端点的坐标后，将其代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，可得到含有 x1＋x2，y1＋y2，的式子，这样就将弦中点的坐标和直线的斜率联系起来，利用线段的中点坐标公式，即可求得相交弦所在直线的斜率；或由直线的斜率公式求出弦的中点坐标.

例1.

解：

由题意可知直线 AB 为双曲线的中点弦，于是用 点差法求解.先设出弦端点A、B的坐标；然后将A、B两 点的坐标代入双曲线的方程中，并作差，即可得出 （x1 + x2）（x1 - x2） = （y1 + y2）（y1 - y2） 2 ；再将中点 P 的坐标 代入，即可求得 y1 - y2 x1 - x2 的值，进而根据直线的斜率公 式求得相交弦AB的斜率 kAB 以及直线 AB 的方程；最 后还需利用一元二次方程的判别式检验直线 AB 与双 曲线是否有两个交点.

例2

解；

由題意可知 M 为线段 AB 的中点，而 AB 为直线 与椭圆的交点，所以本题为中点弦问题，需运用点差 法求弦的中点的轨迹方程.先设出相交弦的端点A、B 的坐标；然后将A、B两点的坐标代入椭圆的方程中， 并作差，得出 （x1 + x2）（x1 - x2） 5 + （y1 + y2）（y1 - y2） 4 = 0 ； 再将中点M点的坐标代入，即可求得线段 AB 的中点 M 的轨迹方程；最后将其与椭圆的方程联立，即可求 得P、Q两点的坐标，进而求得 M 的轨迹长度.

例3

解：

一般来说，若已知相交弦的中点坐标，则可利用 点差法求出弦所在直线的斜率.若点 A（x1，y1），B（x2，y2） 为椭圆 x 2 a2 + y2 b 2 = 1 上的点，A（x1，y1），B（x2，y2） 的中点坐 标为 P（x0，y0） ，点 O 为坐标原点，则 kAB?kOP = - b 2 a2 .

例4

解：

解答本题的关键在于：（1）根据线段的对称性，求 得线段 MN 中垂线的方程以及 MN 中点的坐标； （2）利用点差法建立 MN 中点的坐标、椭圆的方程、弦 所在直线的斜率之间的关系，从而求出 b 2 的值.

可见点差法是解答圆锥曲线中点弦问题的“好帮 手”.当遇到与相交弦、相交弦的中点、相交弦所在直线 的斜率问题时，同学们要将问题与点差法关联起来， 通过设而不求，运用整体代换思想，快速求得问题的 答案，提高解题的效率.

（作者单位：江苏省南京市天印高级中学）