核心素养视野下计算教学的问题与对策——以《100以内加减法》的“画计算”教学为例

文|陈 昱（特级教师）

计算教学的价值何在？我们一般认为计算教学有四个主要目标：算法掌握、算理理解、计算技能形成以及计算策略的选择。如果以《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）的理念来审视，笔者认为还有一点非常重要，那就是在落实以上四个主要目标的过程中实现以计算育人，即将计算教学指向学生数学核心素养的培育和学生健康成长的滋养。而计算教学的实际状况怎样？其实存在诸多问题。现以《100 以内加减法》的教学为例来谈一谈。

一、计算教学存在的问题

1.有些计算教学停留于“会算”层面

笔者听过一节《两位数加两位数进位加法》，由复习不进位加法导入，然后师生问答式推进笔算进位加法，很快就完成主体环节即例题的教学，得出进位加法的算法，随即课堂进入较长时间的练习，学生参与度高，一节课下来大多数学生“算得又对又快”。

“会算”就可以了吗？如果是这样，买台计算机就好了，机器比人厉害。计算教学之所以在人工智能飞速发展的信息时代仍然有其存在价值，绝不只是指向“会算”层面。比“会算”更重要的是理解算理，“满十进一”不应该只是存进学生大脑的一个程序，而应该是学生深刻领悟的一个道理。只有理解基础上的掌握才是牢固的。

2.有些计算教学浅浮于“计算”层面

很多计算课“眼里只有计算”，教加法就盯着加，教除法就只有除，而不能够在知识上融会贯通。还以《两位数加两位数进位加法》为例，要做到融会贯通不仅仅是由不进位加向进位加螺旋上升，也不仅仅是从20 以内进位加向100 以内进位加迁移，更要关注运算对象即两位数的特征。

我们知道，计算的基础有两个，一是深刻理解运算的含义，比如理解加法的含义，是合并，是计数单位的累加；二是深刻理解运算对象的含义，比如两位数的含义，23 不仅表示23 个一，它还表示2 个十和3 个一。算法也好，算理也罢，都是以运算及运算对象的内涵特征为基础来构建的。对算理的理解首先包括对运算对象的理解，缺乏理解运算对象的算理理解注定是肤浅的。

3.还有些计算教学局限于“教学”层面

正如前文所述，计算教学关注到了“算法、算理、算技、计算策略”就够了吗？如果这就够了，未免太浪费计算课，因为它可以承载更多的价值。

回到《两位数加两位数进位加法》这节课，算法探究的过程中学生可以学会推理，感悟理性精神；算法多样化的呈现中学生可以学会交流欣赏、认识他人和自我；算法优化中学生可以学会比较、学会取舍；算式书写中学生可以认识到简化和规范化的作用，增进规则意识；对加数和加法的深刻理解基础上的计算操作过程可以帮助学生感悟到十进位值制计数法的特点和建立在此基础上的加法运算的算法逻辑和算法之美；计算在现实生活中的广泛应用则可以促进学生对算理的理解，还可以让学生感受到数学与生活的紧密联系和实际作用，等等。

像其他教学一样，计算教学不仅仅是教学，更是教育。我们说“以数学育人”包括“以计算育人”。

二、以“画计算”落实“计算育人”

“画计算”作为笔者领衔的研究团队坚持八年多的教学探索，是在计算教学中引导学生画图探究算法、表征算理，也就是把计算的推理过程与结果画出来。新课标凸显“素养为纲、综合育人、实践育人”的理念，“画计算”正好契合其“计算育人”的价值取向。

“画计算”其实并不难，只要能处理好以下四对关系。

1.“画计算”与“画数”：体现数与运算的一致性

任何运算法则及其道理的基础都是运算对象的特征，比如小学阶段数的运算，无论整数、小数、分数，都是计数单位的累计，所以其加减法计算的法则都有“相同单位才能相加减”的规定，于是有了“相同数位对齐”“小数点对齐”“分母相同”诸规则，追根究底指向的是数概念的内涵。

因此，“画计算”的关键是“画数”，而“画数”的前提是“懂数”。笔者曾面对从未接触过“画数学”的二年级学生执教过一节《画加法》。

师：（指5+7，23+18）请观察加法算式，加法是把什么加起来？

生：加数（数）。

师：要想画好加法，得先懂这些加数，请说一说5 表示什么意思？

生：5 就是5 个一。

师：画出你心目中的5 和7。

师：“+”是什么意思？

生：是把两个数合起来的意思。

师：5 和7 合起来是多少？

生：12。

师：数和数相加，和还是一个数。你懂12 吗？

生：12 就是12 个一。

师：（指5 和7 图）真正懂12的人不但会看出12 与5、7 的共同点，还会看出它们的不同点。

生：12 表示1 个十和2 个一。

师：你是怎么想到的？

生：12 与5、7 不一样，5、7 是一位数，而12 是两位数，多了一个十位。

生：12 是个两位数，个位上的2 表示2 个一，十位上的1 表示1个十。

师：你能看出1 个十和2 个一吗？你可以圈一圈、画一画，让别人也看懂吗？

（学生圈画，指名展评，如图1）

图1

师：这样一圈，把10 个一换成了1 个十，这就是“满十进一”。我们画出了5+7 的过程和结果，那23+18 呢？你懂23 和18 吗？

生：23 表示2 个十和3 个一。

生：18 表示1 个十和8 个一。

师：你会画23+18 的过程和结果吗？试一试！

（学生画图表征，教师选择典型作品展评、改进，如图2）

图2

不难看出在以上教学中，“懂数——画数——画计算”一脉相承，环环相扣，教学行为指向的是数学理解，理解数和计数法，理解运算和运算法则。有了这样的学习，学生会感悟到数与运算的一致性：“满十进一”不仅仅是运算法则，也是计数法则；之所以加法计算时要“满十进一”，是因为计数时是“满十进一”的。

2.算法探究与算理理解：指向运算能力的培育

运算能力是新课标中数学核心素养的主要表现之一，怎样培养学生的运算能力？除了“明晰运算的对象和意义”，还需要“理解算法与算理之间的关系”。

上例《画加法》是在学生已经会算时教学的，意在画图表征其算理，这是“画计算”的一种情况；另一种情况，是在学生不会计算的时候画图探究算法，比如笔者面向有“画数学”基础的二年级学生执教的另一节课《画减法》。

师：92-38 你会算吗？（停顿）怎么了？有困难吗？

生：个位不够减，怎么办？

师：看来这与上节课学习的减法不太一样，该怎么算呢？今天不巧，咱们都没有带小棒和计数器，不能摆一摆、拨一拨了……

生：我们还可以画图！

师：那就请不会算的同学画图帮助计算，会算的同学画图说明自己是怎么算的。

（学生画图，教师巡辅，选取典型作品展评，出示图3）

图3

生1：（边指边说）我先画92，减38，3 个十减去，2 不能减8，就从剩下的十里拿出1 个十，把它变成10 个一，加上2 个一，就是12 个一，12 减8 剩下4 个一；这样一共还剩64，所以92-38=64。

生2：这个方法很好，但多画了1 个十，92 是9 个十和2 个一，他画了10 个十，结果应该是54。

（生1 改进作品）

师：（出示图4、5）仔细观察，与上一幅作品比一比，有什么发现？和同桌说一说。

图4

图5

生：它们都是拿出1 个十，变成10 个一，个位就够减了！

生：比上一幅多了一个竖式。

师：是呀，仔细观察，竖式与图画之间有没有联系？

生：竖式和图是一个意思。

师：你的意思是竖式与图画是可以对应起来的？

生：是的，92 是9 个十和2 个一；减38，先算个位，2-8 不够，就从9 个十里拿出1 个十给个位，这时个位变成12，12-8=4；再算十位，9 个十减去3 个十是6 个十，刚才拿走了1 个十，所以还剩5个十；一共就是54。

师：说得真好！个位不够减，从十位借1 个十就够减了。为了记住十位已经借走了1 个十，就在9 上面作个标记（板书竖式并添上点），这样算起来就不容易出错。

生：这个点就好像是借别人钱，打个借条。

师：这个比方好！

在上例中，画图不只是表征的工具，可以把心里的思路、想法表达出来，还是计算的工具，能够帮助学生找到计算的方法。笔者在日常教学中常常会碰到学生自主运用画图帮助计算的案例：图6是一个没有学习过“画计算”但有“画思路”等画图经验的二年级学生的作品，他在画图解决问题的过程中遇到没有学过的42÷3，想到用画格子图来得出结果；类似的计算96÷3，也是学生在解决问题时遇到但未学习过的，图7、8是有“画计算”基础的学生作品，他们的方法显然比图6 思维层次更高，也就是会从被除数的组成视角去探索算法，更能凸显学生对“数”“计算”的理解深度。

图6

图7

图8

当然，“画计算”分为“算法探究”与“算理表征”只是一个大致的说法，是为了研究方便。其实两者是密不可分的，算法探究里自然有对算理的理解，算理表征同时也是对算法的呈现。理解两者之间的关系有助于运算能力的形成。

3.学具操作与知识内化：搭建思维桥梁，促进思维进阶

“儿童的智慧在他的手指尖上”，画图是手指尖上的学习，学具操作也是。笔者听过很多学具操作的数学课，有的很好，有的则是表面热闹大于实际效果。这些课堂有个突出的问题，即操作与数学是脱节的，学生参与了操作，却鲜有数学思考，他们没有在学具操作与数学理解之间建立联系，也就是没有在手指尖上生成智慧，没有完成知识的内化。这个问题需要在数学课上得到解决。

以《两位数减两位数的退位减法》为例，怎样把学生摆小棒、拨珠子的操作活动与竖式笔算勾连起来呢？学具操作属于动作表征，竖式笔算属于符号表征，两者之间可以建立联系，比如边操作边进行竖式笔算，使之对应起来。但是实际教学中要实现以上构想往往是困难的，原因何在？其一，学具操作是动态过程，不容易被学生捕捉和把握；其二，学具操作是形象的、直观的，而竖式是抽象的，两者要由此达彼需要时间在心理上完成抽象，这是思维进阶的过程，并非想象中那样容易。

如果两者之间有一个媒介、搭建一座桥梁呢？画图就是这样的媒介和桥梁。我们来看这节课的一个片断：

师：谁是摆小棒帮助计算45-17 的？你是怎么摆、怎么算的？

（学生实物展台前边摆边说）

师：看懂了吗？他是怎么做的？

（集体回忆摆算过程，教师动态呈现小棒图，同步呈现竖式，介绍和强调退位点，如图9）

图9

师：谁是选择拨珠子帮助计算的？请一位同学来拨一拨、说一说。

（指名上台边拨边说）

师：他又是怎么算的？同桌互相说一说。

（教师动态呈现珠子图，同步呈现竖式，同桌互说拨算过程，如图10）

图10

以上教学片断中的“小棒图”和“珠子图”，是对摆小棒和拨珠子操作的一种画图记录，它们的作用非常明显，具体说有两个方面：其一，将动态的操作静态化，便于学生观察、理解、分析和把握，给予学生实现数学理解的抓手；其二，将具象的学具操作半抽象化，为接下来抽象到竖式符号做好铺垫，为学生搭建完成数学抽象的阶梯。如此，学生经历“动作-图画-符号”的抽象过程，将数学理解链接到学具操作上，完成思维进阶。

4.图画与算式：鼓励多元表达，注重算法优化

上一个片断中已经有“小棒图”“珠子图”与“竖式”的同步呈现和对应勾连，同一节课中，还有画图帮助计算的学生图画作品（如图11～13）与竖式的联系。

图11

图12

图13

算式与图画的对应在《画加法》一课中也有鲜明体现，教学片断如下：

师：现在你们会画加法了，接下来玩个游戏！三人小组一人说计算过程，一人列竖式，一人画图，同步完成一道加法计算：23+18。

（学生小组活动，教师巡视，请一组学生上台汇报）

师：通过游戏你发现了什么？

生：我发现画图与列竖式的步骤和意思一样，只是方法不一样。

生：画图是在说明算式，列式是在记录画图。

师：是啊，原来这样的图与式是可以对应起来的，都可以看成对计算过程和结果的记录。

学生只有对图与式的紧密联系有着较为深刻的认识，才能真正理解画图及操作的意义，才能真正理解计算的算理。在图画与算式的关系问题上，经常出现一种误解，即认为画图表征是比较“低级”的，而符号表征比较“高级”，因此有人认为“已经会列式计算了就没有必要再画图”。诚然，如果从知识的抽象程度来看，无疑符号表征的算式要比图画表征的示意图程度更高，但是，如果我们从多元表征的视角来看，情况就不一样了，动作、图画、言语、符号等表征形式是等量齐观的，在数学上可以被看作不同的语言，而在不同语言之间能否相互转换是判定理解与否和理解程度的一个指标。从这个意义上说，学生会列式计算以后，还应该会画图解释、会操作演示、会言语说明。教师需要有意识地引导学生多元表征，从而促进更为深刻和牢固的理解。

讲到算式与图画的对应，其实还隐含着另一对关系，即画法与算法。很显然，两者并不等同。算法是计算的方法，画法是对算法的图画表征方法，算法更为本质，相同的算法可以有不同的画法，不同的算法也可以采用相同的画法。

以画80-23 为例，图14～19是学生作品，从算法上可以粗略地分为两个水平：图14～16 为水平一，属于“点数（shǔ）”，从80 或30 个一里减去23 个一；图17～19 为水平二，属于“退十当一”，从8 个十里拿出1 个十变成10个一，再从7 个十里减去2 个十，从10 个一里减去3 个一。同为“点数”算法，图14、15、16 的画法各不相同；同为“退一当十”算法，图17、18、19 的画法也各不相同。我们鼓励学生用自己的方法画计算，允许多元表征和多样表达；我们引导学生在比较中深刻认识自己和他人的方法，倡导算法优化，不断提升数学思维和理解的水平。在这个意义上，我们其实是在计算教学中尽量做到“因材施教”，面向每一位学生，发展每一位学生。

图14

图15

图16

图17

图18

图19

除了以上四对关系的妥善处理，“画计算”课堂教学还特别强调：大环节，小容量，低结构，高思维。“大环节”往往与“大问题”“大观念”相联系，在教学活动设计上强调目标导向和任务驱动；“小容量”才能留有“大空间”供学生充分活动、交流和思考；“低结构”可尽量避免预设的过于精细繁杂，也意味着较低的课堂控制；以上三点最终将保障数学课堂的“高思维”，指向深度学习和核心素养。