高中数学教学中逆向思维的培养路径

连秋乔

摘 要：数学是一个特别注重学生思维能力与思维逻辑的学科，学生在学习数学知识和思考数学问题时必须时刻保持清晰的头脑，将对现实问题的思考与对数学定理的学习融合到一起，顺着既定或未定的思维链条来展开整体视角下的解读与分析，才能够真正实现数学知识的内化与迁移。因此，有关思维的培养和训练永远是数学学科教学中十分重要的一个模块，尤其是在高中阶段的数学教学中，高中生虽然已经形成了相对成熟的思维认知体系，但其思维能力还没有得到完全开发，本文就围绕高中数学教学中逆向思维的培养来展开分析，在简单介绍逆向思维融入高中数学的定义及其对教学的价值以后，综合学生实际学习情况与学习需求提出一些具体的策略，以求能够从思维锻炼和培养出发为学生提供更加全面的学习指导，让学生收获知识、能力、思维等多个层面的发展与提升。

关键词：高中数学；逆向思维；培养路径

进入新时代以后，教师的教育就不再止于教材中知识的教学，还包含对学生思维的调动与开发，数学学科核心素养中包含的“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”都是学生在学习数学过程中需要建立的基础数学思维，而对学生数学逆向思维的针对性培养则更能帮助学生明确数学知识的应用路径，让学生真正掌握灵活应用所学数学知识思考与解决现实数学问题的能力。站在核心素养的教育视域下，教师应当从实际出发，结合课标内容与教学经验来对高中数学教学进行更深层次的研究与探讨，有意识地对学生未来的成长和发展做出新的思考，探寻解决学生思维能力发展与知识水平提升不匹配这一现实问题的有效路径。有关逆向思维的培养是高中数学教学中教师尤其需要关注并完成的任务，而在此之前教师还需要对数学逆向思维展开更加全面且细致的研究。

一、数学逆向思维概述

顾名思义，逆向思维实际上就是一种反过来思考的思维方式，即从相反的视角出发对平时司空见惯或已成定论的事物、观念等展开新的思考，“司马光砸缸”这一经典寓言故事中的“把缸砸破，让水离人”就是逆向思维的一种体现与应用，在某些正向思维容易遇到瓶颈或受到阻碍的特殊情况下，对逆向思维的合理运用就能够有效且高效地解决问题。普遍性、批判性和新颖性是逆向思维的三大特点，反转型逆向思维法、转换型逆向思维法、缺点逆向思维法是逆向思维的三大类型，正向思维与逆向思维一同组成了线性思维，为人类向一个领域延伸的深度思考活动提供了理论支持和方向指引，高中数学教学中对学生逆向思维的培养满足了培养学生多种数学思维的需求，也为提升学生数学学习效率和效果提供了助力。

（一）逆向思维融入高中数学教学的定义

数学是一门研究数量、结构、变化、空间及信息等概念的学科，其知识概念和定理除了具有很强的抽象性与理论性以外，还呈现出了一种双向、互通的趋势，在知识难度更高、知识复杂性更强的高中阶段尤为明显。将逆向思维融入高中数学教学的基础就是数学中存在着的各种涉及“互为”的关系概念，如“互为相反数”等，而在理解“互为”一词的概念和定义时，教师就需要结合双向思维来引导学生从多个不同的角度出发展开思考，借数学体系中的一些相反或相对的概念来帮助学生实现思维方式的转化，这一方面是为了借正逆两个方向上的定义来加深学生的数学理解，另一方面是为了打破学生思维的定式与局限，进一步培养学生全面思考的能力。

（二）逆向思维培养对高中数学教学的价值

1.开发学生智力

正向思维是学生在学习数学知识和解决数学问题时常用的思维形式，通过已知的条件来进行推导和求证，以得到正确的结论和计算出准确的结果，实际上这种正向思维方式也确实能够解决大部分数学题目和大部分现实问题。但在长期的正向思考惯性下，学生的思维方式会变得非常单一，进而在完成某一个层次的提升和突破以后出现智力开发的瓶颈，在遇到正向思维不太能快速解决的问题时陷入思维怪圈，浪费大量的时间与精力，而高中数学教学中对学生逆向思维的培养更有益于扭转学生的思维方式，为学生智力的开发提供更大的助力。

2.激发学生兴趣

兴趣是学生自觉参与学习活动最大也最有用的动力，虽然这种动力会随着年级和年龄的增长而逐步降低存在感，但学生学习兴趣是否被激发及学生学习兴趣被激发到了什么程度仍然是能够决定学生实际学习效果的关键，顺向的思维方式容易让学生产生疲劳，反方向的逆向思维则更加新颖，能为学生带来一种眼前一亮的感觉，进而达到激发学生兴趣与主观能动性的目的。实际上教师也可以通过对学生逆向思维的培养来锻炼学生的观察能力，为学生的数学学习和数学解题提供新的灵感。

3.提升学生创造力

相较于顺向或者说正向的思维方式，逆向思维的创造性更强，与常规视角相反的思维方向往往更容易发现新的规律或新的事物，因而在顺向思维与逆向思维的融合背景下，学生对数学概念、定理和问题的思考是更加开阔且更具有创造性的，这对学生创新意识与创造能力的提升来说具有极为重要的意义。

二、高中数学教学中逆向思维的培养路径

数学是一门注重于理论学习和公式运用的学科，有着很强的应用性和实操性，也只有落实于实际问题思考与解决的实践活动才能为学生能力与思维的发展提供实质上的帮助。高中阶段的数学知识有着较强的复杂性，教师教学和学生学习起来的难度较高，正向思维逻辑下对现实数学问题的思考与解读也容易遇到阻碍，尤其是在面对一些已有结论的事物或相对成熟的观点时，学生常常陷入不明所以的尷尬境地，由传统思维带来的刻板印象更是可能对学生的数学学习和数学思考起到反作用。对此，教师需要在不脱离教材内容与课程标准的前提条件下，突破传统思维的上限与局限，站在与传统思维模式相反的视角下筛选教学内容和设计教学活动，引导学生打破经验和习惯带来的思考壁垒，为学生提供更多逆向思考的锻炼机会，助力学生数学核心素养与综合素质的发展与提升。

（一）基于数学概念的对比来生成逆向思维

概念教学是高中数学基础教学的组成部分，主要教学的是数学课程中的基础理论知识，而对这些基础理论知识的学习与理解往往也是学生深层次思考的前提与基础，同时也因为教师长期以来在概念教学环节中采用的都是填鸭式的灌输教学方式，所以概念教学也是学生形成刻板思维与定式思维的主要诱因，对此教师须得本着一边“疏”，一边“通”的思维理念，从数学概念出发，借由对比式的教学来生成学生的逆向思维[1]。

以人教A版高中数学必修一中的函数教学为例，函数是数学学科中十分重要的一个教学模块，学生需要学习各种不同函数的概念、性质、模型与应用，高中之前的数学教学中侧重于“正函数”的教学，进入高中以后学生便要开始接触到有关“反函数”的内容。而函数正、反概念的对比教学也是教师展开对学生逆向思维培养的切入点之一，对此教师可以在函数为主的教学活动中为学生设置诸如“所有函数都有反函数吗？”“互为反函数的两个函数在定义域与值域上体现出了什么样的关系？”一类的探讨课题，引导学生从自身原有的认知出发，结合正、反函数的图像对比来进行多角度的思考，尝试利用逆向思维来推导反函数的定义与性质。而在这种自主进行且难度递增的逆向探讨与逆向思考中，学生几乎不受原有思维逻辑与思维定式的影响，思维品质与问题解决能力也能够得到更大的提升。

（二）基于数学定理的逆推来培养逆向思维

在数学知识领域中，概念主要指的是反映数学事物本质属性的思维产物，相对来说更加抽象，而定理主要指的是可以通过逻辑推理推导或验证的公理依据，相对来说更加客观。具体而言，定理指的多是基于既有命题证明出来的命题，而证明定理也可以说是数学的中心活动，基于数学定理的逆推是数学逆向思维的一种体现和锻炼方式，因此教师也可以从数学定理出发，借由逆推式的教学来培养学生的逆向思维[2]。

以人教A版高中数学必修二中正弦定理与余弦定理的互变为例，正弦定理和余弦定理都是三角形中十分重要的定理，也是解三角形类数学问题中十分重要的切入点和突破口。而在实际的教学活动中，教师在带领学生完成正弦变余弦的转化以后，可以将余弦变正弦的转化作为逆向思维的一个逆推任务布置给学生，要求学生先思考“余弦是否可以通过某种方式再转化为正弦”，然后再尝试结合课堂上所学的知识来验证自己思考的结果。

（三）基于数学问题的代入来发展逆向思维

在高中数学课堂教学的实操解题环节，以果溯因和反向代入是培养和锻炼学生逆向思维的两种有效途径，基于做题是提升学生数学运算能力和数学解题能力的主要路径这一基础认知，教师有必要将对学生思维的锻炼和提升落实到实际的解题过程中，除了在讲解习题的时候让学生将计算出来的答案代入题目中进行反向验证以外，对于“无法计算出结果”或“结果验证不正确”这两种情况，教师还需要引导学生学会在反向代入题干元素或转化题干条件以后再进行求解与求证[3]。

以“已知，，，试证明，，是否成立”这一数学问题为例，学生在正向思维导向下的解题在很多时候并不能够保证“，，”的结论成立或不成立，解题步骤的烦琐和无序还容易让学生陷入思维误区，将简单的问题变得复杂，将复杂的问题变得抽象，影响解题效率和准确率。而在逆向思维导向下，学生可以先假设、、其中一个不大于零，如“≤0，>0，>0”的结论成立，然后将其转化为题干条件，代入问题反证“，，”这三个结论是否成立，如果学生得出的结论与问题条件相同，那么就证明原结论成立，反之如果学生得出的结论与问题条件相反，那么就证明原结论不成立。数学概念与定理本身的抽象性决定了数学问题的抽象性，学生在解题时需要站在多个不同的角度进行思考，以避免进入死胡同。

（四）基于数学公式的逆用来巩固逆向思维

从某种意义上讲，逆向思维可以被看作是一种思维的发散，但实际上又与常规意义下的发散思维存在一定的差异，发散思维指的是大脑在思考时呈现出来的一种扩散状态的思维模式，而逆向思维本质上还是一种呈线性状态的思维模式，是反视角下对思维深度的延伸而非对思维广度的拓展。基于此，高中数学教师在设计和开展教学活动中还可以从数学公式出发，通过对数学公式的逆用来刺激和巩固学生的逆向思维。

以人教A版必修第一册中第五章《三角函数》为例，三角函数虽然在三角形和圆等几何图形性质的研究中能够起到重要作用，但其在数学教学体系中通常会被归类到代数模块中，围绕着“、、、、、”，三角函数可以被衍生出十组诱导公式，而教师在教学这一部分内容时就可以基于三角公式函数的逆用来锻炼和巩固学生逆向思维。如在讲授“已知，求的值”这一问题时，教师就可以引导学生通过对原公式的逆用来计算结果，即=+

1-=-，然后借的值来推算和的值，最后将推算出的值再代入公式中进行计算，得出更为准确的结果。课堂上基于公式逆用的运算锻炼不仅有助于深化学生对公式的理解，还有助于养成学生灵活逆用公式的意识和锻炼学生灵活运用公式的能力[4]。

（五）基于数学结果的反证来延伸逆向思维

在高中数学课堂上的逆向思维训练中，对数学结果的反证可以说是学生最容易理解也被教师最广泛应用的一种思维训练方式，尤其是在高中“几何”模块的数学知识教学中，立体几何领域中存在着大量利用正向思维解起来十分麻烦，而利用反向思维解起来却十分简单的问题，反方向思考可以在很大程度上降低学生理解与解答立体几何相关题目的难度，这一层面上针对学生逆向思维的训练与延伸也可以说是高中数学立体几何教学的刚需。

以人教A版必修第二册第八章《立体几何初步》为例，教材中针对立体几何图形中点、线、面位置关系的证明设置了大量的例题，借由结合例题来进行的推论帮助学生认识和理解几何相关的概念、定理和解题方法。而学生在解题过程中十分容易出现只考虑一种情况或遗漏某一种情况的问题，导致最终得出的结果或结论不够全面与准确，这时候教师就可以引导学生在得出结果或结论以后反推公式进行验证，让学生从结果出发去寻找解题过程中可能存在的问题，帮助学生建立新的数学解题思路。除此以外，教师还可以通过举反例的方式来延伸学生的逆向思维，在讲解例题时要求学生基于既定的命题来举出一个新的条件来否定该命题，引导学生自觉进行多视角的思考。

结束语

综上所述，本文以“逆向思维”为主要探讨对象，借高中数学课程的課堂教学展开对“如何培养学生逆向思维”这一问题的思考，从逆向思维之于数学的重要性和作用价值出发，分别围绕着数学概念、数学定理、数学问题、数学公式、数学结果等多个数学元素对高中数学教师教学活动的设计与开展提出了一些建议。实际上，针对学生数学逆向思维的锻炼与培养符合新时代、新课标背景下社会对教育人才培养提出的要求，也更能满足如今社会发展和学生成长的实际需求，为高素质实用型人才的养成提供更大的助力，而教师在此过程中需要借由对学生逆向思维的培养来同步达成两个教育目标，一是拓宽学生数学解题的思路，二是突破学生思维发展的上限，为学生未来的成长和数学课程未来的发展奠定良好的基础。

参考文献

[1]段纪飞.核心素养视域下高中数学教学中学生逆向思维的培养策略[J].数理天地（高中版），2022（23）：52-54.

[2]朱函颍.论高中数学教学中学生的逆向思维培养[J].文理导航，2021（20）：9-10.

[3]缑艳，邓国军.高中数学课堂逆向思维教学策略探究[J].读写算，2021（16）：127-128.

[4]田建辉.高中数学教学应如何培养学生的逆向思维[J].家长，2020（27）：22-23.