引例分析突破，解法反思整合

卢平

［摘  要］ 在圆锥曲线综合题探究中，需要关注问题类型，整合条件突破过程，总结类型题的求解策略. 同时要精选问题开展应用探究，帮助学生内化吸收，提升学生的解题思维. 文章围绕一道圆锥曲线综合题展开解题探究，并提出相应的教学建议.

［关键词］ 圆锥曲线；存在性；定值；面积

圆锥曲线是高中数学的重难点知识，涉及函数、直线、解析几何等相关知识. 研究位置关系，联立方程简化问题、转化条件，使用对应技巧整合条件、构建思路是常规解题策略. 下面结合实例深入探究.

引例探究

1. 问题呈现

（1）求椭圆C的标准方程；

2. 思路分析

题设两问，第（1）问根据上述核心条件即可求解；第（2）问整体上可视为存在性问题，涉及定值分析，面积最值求解，综合性极强，需要采用“联立方程—整合韦达定理—构建面积模型”的策略. 具体求解时建议采用分步突破转化的方式.

3. 过程突破

（2）探究存在性问题，采用分步突破转化的方式.

第一步，联立方程，整合韦达定理.

第二步，利用向量，转化定值条件.

第三步，构建模型，分析面积最值.

解后反思

上述针对一道圆锥曲线综合题展开解题探究，涉及圆锥曲线、解析几何、代数方程、不等式等相关知识. 题设两问，第（1）问为常规的求圆锥曲线的方程，第（2）问则是综合性极强的应用题. 下面进一步思考，探索求解方法，总结求解策略.

1. 探索求解方法

上述求解圆锥曲线的两问采用的是常规方法，第（1）问构建模型转化面积条件，推导其中的特征参数；第（2）问则是联立构建，重点转化分析向量运算. 实际上对于上述两问，还可以采用不同的解法，下面具体探究.

2. 总结求解策略

上述第（2）问有极强的综合性，实际上属于圆锥曲线的常见类型题，下面总结对应的求解策略.

（1）存在性问题的求解策略.

特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过探究其中的特殊情况，得到所求要素的必要条件，然后再证明所求要素也可使得其他情况均成立.

核心变量的选取：由于解决存在性问题的核心为求出未知要素，因此通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要时再消去.

核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示所求要素，并求解.

②间接法：若无法直接求解要素，则可将核心变量整合到条件中，列出关于核心变量与辅助变量的方程（组），利用方程思想求解.

（2）定值问题的求解策略.

①确定一个（或两个）变量为核心变量，其余变量均利用条件用核心变量进行表示.

②所求表达式用核心变量来表示（有的甚至就是核心变量），然后化简，看能否得到一个常数.

（3）问题的求解策略.

①直接求解：寻底找高，需要确定两条线段的长度，为简化运算，通常优先选择坐标法，即用坐标来表示底（或高）.

②分割法：将不规则多边形分割成若干个面积易于计算的三角形.

应用拓展

问题2 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到准线的最短距离为2，且椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3. 设A，F分别为椭圆C的右顶点和左焦点，过点F的直线交椭圆C于点M，N，直线AM，AN分别与直线l：x=－3交于点P，Q.

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：直线FP和直线FQ的斜率之积为定值；

（3）求△AFP与△AFQ面积之和的最小值.

评析 上述圆锥曲线问题设计了三个小问，其中后两个小问为核心之问，分别是：证明斜率之积为定值，求解面积之和的最小值. 证明斜率之积为定值，先将斜率之积用核心变量表示出来，然后化简求出常数（定值）. 求解面积之和的最小值，则寻底找高直接构建模型，将其转化为关于核心变量的函数，再利用不等式的性质求解.

教学建议

上述对圆锥曲线综合题进行探究解析，总结方法策略，并强化应用，其探究思路有一定的参考价值. 下面结合教学实践进一步思考，提出相应的教学建议.

1. 挖掘知识考点，透视问题本质

圆锥曲线问题是高中数学的核心问题，需要学生归纳题型，掌握对应的解法. 解题教学的初始阶段，需要引导学生关注问题特征，挖掘其中的知识点，透视问题本质. 可从以下三方面进行：一是读题审题，结合图形理解题意；二是重点关注其中的核心条件和问题，挖掘其中的知识点，明确问题考查的内容；三是联系教材，深入思考问题，透视问题本质，明晰问题考查的重点知识、方法，为后续解题思路的探索做铺垫.

2. 过程解析探究，整合方法思路

圆锥曲线问题的综合性较强，探究时建议采用过程解析、方法思路整合的策略. 即围绕类型问题，总结破解方法和策略. 以问题1的第（2）问为例，采用的是分步突破转化方式，即先分步拆分解题过程，然后针对问题（存在性问题、定值问题、面积问题）总结求解策略. 教學中建议采用这种方式，设置例题引导学生分步拆分解题过程，然后围绕核心问题总结方法策略，让学生明晰类型问题的探究思路.

3. 强化解法应用，拓展解题思维

在解题教学中，要注意完成方法思路整合后，精选问题引导学生进一步探究，强化解法应用. 应用探究可分为三个环节：第一，引导学生分析问题，定位问题，思考求解方法；第二，构建解题思路，探索过程，求解问题；第三，反思解题过程，思考解题使用的方法和策略，完善解法. 教师要关注学生的思维变化，适度引导，拓展学生的思维，帮助学生内化吸收，形成自我的求解策略.

写在最后

圆锥曲线综合题涉及众多知识点，解题探究中要关注核心之问，明晰类型问题，总结破解方法和策略. 在教学中，教师要注意课堂引导，给学生留足思考时间，培养学生的解题思维；合理渗透数学思想方法，提升学生的综合素养.