基于“本原性问题”驱动的习题教学案例分析与思考

［摘  要］ “题不在多，经典即可”，这句话阐释了习题教学中例题选择的重要性. 对典型问题的深度探索，不仅能突出数学本质，还能有效培养学生举一反三的能力. 文章以一道经典习题为例，从“呈现原题，调研分析”“解法探索，交流反思”“变式应用，拓展延伸”三方面具体探讨如何利用质朴的本原性问题驱动习题教学，并谈一些思考.

［关键词］ 本原性问题；习题教学；思维

本原性问题是指数学问题的基本构成要素，作为思考的首要问题，体现在教师将实质性的数学问题“教学法化”的过程中. 简而言之，就是将问题的本质融入教学情境，达到揭示、理解与欣赏的境界. 学生在本原性问题的引领下，往往能逐步触及知识的本质. 究竟该如何利用本原性问题驱动学生的思维呢？笔者以一道經典习题为例，谈一些具体的做法与思考，共勉.

课堂实录

1. 呈现例题，调研分析

例题 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，同时满足c=1，，则△ABC面积的最大值是______.

笔者将本题安排在“基本不等式的综合运用”的学案中，通过对学生解题正确率的统计，发现只有10%的学生完全做对了. 这个结论出乎意料. 若认为本题难度较大不进行讲解，对于学生而言则没有满足他们释疑的心理需要，也无法体现本题的价值；若进行讲解，该从何处着手呢？究竟该如何提出本原性问题以激发学生的思维呢？经过权衡，最后决定将本题作为课堂教学的重点.

2. 解法探索，交流反思

解法1 三角法.

师：（投影例题与生1的解题过程）本题的正确率很低，观察到不少同学因为想不到解法，就干脆放弃了本题；也有几位同学的解法很有特点，接下来我们一起观察生1的解法，并听一听他在解题时是怎么考虑的.

师：非常好！从三角函数的角度解决本题，思路很清晰，值得表扬！大家再观察这个解答过程，有没有什么地方需要完善的？

（沉默片刻，一位学生主动举手发言）

生2：我认为解决本题，第一步无需使用余弦定理，如果直接在等式2sinBcosC=3cosBsinC两边同时加上2cosBsinC，可得2sin（B+C）=5cosB·sinC，再借助正弦定理，容易得到a=cosB.

（学生一致点头，赞同生2的意见）

师：太棒了！你是怎么想到这个好方法的呢？

生2：想要得到a=cosB，就要获得a，找到sinA，但是2sinBcosC=3cosB·sinC移项只能获得sin（B-C），说明这个思路行不通，而2sinBcosC=3cosB·sinC两边同时加上2cosBsinC，就能轻松地解决这个问题.

师：这个想法不错，从结论出发对成立的必要条件进行分析，这是解决问题常用的一种方法，也是值得关注的一种思维方式，今后要多尝试. 现在请大家继续思考本题的解答过程，看看还有没有其他更好的建议.

学生感到困惑：生2的解法已经非常简洁了，难道还有更好的解法吗？课堂此时陷入了沉默. 笔者鼓励学生勇敢地站出来表达自己的想法，即使错了也无妨. 一位学生在笔者的鼓励下，迟疑地表示自己的解法没有比生2简单，但愿意说出来与大家分享，也好让同学帮忙分析他的解答思路.

师：你为大家又提供了一条新的解题思路，非常好！现在请同学们选择一种自己喜欢的解法，独立规范地完成本题.

课堂说明 解题过程本身就是一个探索过程，出现错误是正常现象. 面对错误，该采取怎样的应对措施是一门学问. 解后反思是提升解题能力的重要途径，而真正高效的解后反思需在教师循循善诱的引导下进行.

波利亚认为，好的解题思路往往源于过去良好的解题经验与知识储备. 因此，我们应经常回顾经典实例，为形成良好的解题思路奠定基础. 事实证明，好的解题思路往往与一题多解有着千丝万缕的联系. 通性通法的总结常能促进学生思维的升华，让学生形成触类旁通的解题能力.

解法2 几何法.

师：（投影生4的解答过程）通过以上探究，可见大家的思维都很活跃. 现在我们一起来看看这位同学的解法，并让他跟我们分享一下解答思路.

看着生4的解法，听着生4的解说，学生自主进入了讨论状态，不少学生将生4的解法与之前的解法进行了比较.

生5：这个解答过程并不是最简洁的，生4设置了k与x两个变量，其实设一个变量也是可以的.

师：哦？将你的想法写到黑板上，与大家分享.

生5的解法通俗易懂，前部分应用的是初中所学内容，最后一步才涉及高中知识，所有学生都看懂了他的解答思路，这种解法获得了学生的认可.

课堂说明 虽然生4的解法是正确的，却不够精简. 将生4的解法展示出来进行讨论，一方面是对他的肯定，另一方面是让所有学生从中汲取精华、改进不足，从而优化解题思维，增强解题能力.

几何法的探究过程，渗透着遇到挫折不放弃的思想. 学生面对生4的解答思路，自主进入讨论状态，是一种互相启发、互相促进的过程. 学生之间的交流，能碰撞出更多思维火花，这是教师“一言堂”无法企及的效果.

解法3 解析法.

师：前面从三角法与几何法两个角度去分析了本题的解答思路，大家都有一种豁然开朗之感. 接下来，我们再一起看生6的解法，并由他给我们讲一讲解答思路（投影生6的解法）.

生6：其实我就是建立了一个平面直角坐标系，而后结合本题条件获得高y，最后利用基本不等式得到结论.

师：平面直角坐标系可以说是代数与几何的桥梁，帮助我们顺利应用代数法来解决几何问题，这就是解析法. 解析法能有效减少推理过程，让解题变得更加得心应手. 接下来，请大家独立用解析法做一遍本题.

（学生自主解题，一位学生举手）

话音未落，教室里就传来一片赞叹声，大家都为这位学生的发现而感到高兴. 甚至有学生口中念念有词：太神奇了，竟然能这么简单获得结论，数学真的是一门有意思的学科.

课堂说明 生6是本班初始唯一一个应用解析法解题的学生，但凡能想到这种解法，都是难能可贵的. 他的解题思路清晰、过程明确，值得推广. 至于生7提出的解法，是笔者课堂预设外的收获.

从课堂中的意外生成可以看出：在习题教学中，要引导学生关注所选的解题思路能否解决问题，解题运算是否简洁，这些需要经过反复探索与尝试去总结. 同时，对于多条件问题，应择优使用一些条件，使得解题过程最简.

当然，习题教学的目的不仅仅是促进学生掌握“四基”，更重要的是引导学生学会分析与解决问题的常规思路，通过不断优化来提炼解题规律，以促进学生数学思维的发展. 因此，教师应站在学生的角度思考问题，才能在“共情”中实现教学相长.

3. 变式应用，拓展延伸

本题与原题有异曲同工之妙，解题的关键是对问题条件与结论的分析，将条件进行变形，同时将结论表示成tanβ的函数，经换元后应用基本不等式获得结论. 本题的特点在于问题和解法都有一定的拓展性，这对学生而言是一个挑战，同时也是促进学生思维发展的契机.

章建跃认为，习题教学的主要目的在于提高学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力（“四能”）. 因此，教师应提供让学生独立思考的机会，让学生在自主分析与探索中探寻解题路径，从真正意义上发展学生的“四基”与“四能”.

教学思考

1. 挖掘本原性问题，促进思维发展

笛卡尔认为，数学教学需按次序引导学生的思维，让学生从最简单且容易辨认的对象开始，逐层递进地上升到对复杂对象的认识，即使遇到看似毫无次序的问题，教师也需结合实际情况为它们设定一个次序，以便于学生理解. 这句话简要地概括了本原性问题教学的宗旨，即由浅入深地进行引导，让学生的思维随着问题拾级而上.

本节课，笔者以一道题为线索，从三角法、几何法与解析法三个层次推动课堂，实现思维的启发. 学生对三角法比较熟悉，是大部分學生首选的解法，因此笔者将三角法放在课程开始阶段与学生一起探索；对于本题来说，解析法虽然简单，但对学生的思维要求较高，对于大部分学生而言是一个挑战，因此将它放在最后阶段研究.

2. 利用本原性问题，实施优化教学

对于得分率过低的问题不讲或一带而过是教师惯用的伎俩，如此大费周章地讲这么一道题，是否有浪费时间的嫌疑？何以体现课堂的优效性？这是本节课之前笔者所纠结的问题. 考虑到高中数学教学的优效性在于培养学生的“四基”“四能”与“三会”等. 而本题的教学，能从很大程度上发展学生的“四基”与“四能”，让学生积累良好的解题经验，并从一题多解中获得通用通法，实现思维的提升.

笔者若不讲本题或一带而过，必然会因为忽视学生的释疑需求，而消减学生学习的积极性，更谈不上解题经验的积累与核心素养的发展. 一系列本原性问题，使得学生对三类解题方法有了更深层次的认识，更有甚者，在解题中自主发现了更优的解题方法. 因此，本原性问题驱动下的习题教学，不仅能优化课堂教学，还能促进学生思维的发展，让学生体验到数学学习的成就感与幸福感.

3. 关注探索过程，触及问题本质

布鲁纳认为，探索是数学的生命线. 利用习题的本原性进行教学，整个课堂都紧紧围绕一个问题而展开，不仅能深化学生对本题所涉及的知识的认识，还能让学生在问题的探索、拓展与引申（变式）中积累解题经验，感知数学学科的魅力. 因此，借助典型例题作为教学载体，通过由浅入深、逐层递进的剖析，常能让学生触及问题的本质.

当学生对难度较大的问题理解透彻后，再回过头来解决一些普通问题，会有一种“一览众山小”之感. 纵观本节课的教学，课堂一直处于民主、和谐、进取的状态，尤其是预设外的生成（比如生7的解法），充分展示出课堂富有生命力的一面.

总之，习题教学不论从选题来说，还是在教学方式来看，都需要教师细细琢磨. 就题论题远远不能满足学生对知识的需求，提炼解题方法、总结解题思路才是王道. 本原性问题驱动下的习题教学，应注重立意、选题与提炼三点，让学生的素养、思想、能力与意识都有所发展.

作者简介：景晖（1986—），本科学历，中小学一级教师，从事高中数学教学工作.