渗透数学文化，创新情境命题

⦿江苏省启东中学 彭剑平

数学文化类试题是新高考数学试卷中命题的热点之一.数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是在实践过程中不断探索形成的数学史、数学精神及其应用等.对数学文化的考查主要借助数学名著、数学故事以及数学名题等视角来创新设置，通过对数学文化的渗透，有效增强考生的理性思维与应用意识，培养爱国主义情怀.

1 数学名著

通过中国古代数学名著或世界数学名著等渗透数学文化，如我国古代的《数书九章》《张丘建算经》《孙子算经》等.

例1(2022年山东省潍坊市高考数学三模试卷)我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥.若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形.则球O的表面积为( ).

分析：根据题目条件，作出图形，设在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2，证明出该三棱锥的四个面均为直角三角形，求出该三棱锥的外接球半径，结合球体表面积公式可得结果.

解析：如图1所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC=CD=2，AB=2.

图1

因为AB⊥平面BCD，BC，BD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，CD⊥AB.

又CD⊥BC，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CD.

例2意大利数学家斐波那契的《算盘全书》中记载了一个有趣的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，不考虑其他因素，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子.在特殊情况下，假定兔子都不发生死亡，那么由1对初生的小兔子开始，50个月后总共会有多少对兔子？

根据以上记载，从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，这个数列就是著名的“斐波那契数列”，它的递推公式是an=an-1+an-2(n≥3，n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前100项中随机抽取一个数，则这个数是偶数的概率为( ).

分析：根据斐波那契数列中项的分布规律以及递推公式加以归纳总结，确定每相邻3个数中有1个偶数，进而得到该数列的前100项中有33个偶数，利用古典概型的概率公式求解.

点评：涉及数学名著中的数学文化创新试题，关键是理解数学名著中对应创新情境的叙述与表达，综合题目所要求解的结论加以对比分析，构建相应的数学模型，利用相关的数学知识、思想方法来分析与解决相关的数学文化问题.

2 数学故事

通过数学家或数学故事渗透数学文化，如开普勒、毕达哥拉斯、斐波那契、希波克拉底、陈景润、黎曼等.

分析：根据题目条件，借助数学思想方法中的无限与有限的转化，通过无限根式的定值求解方法的应用与类比，转化为无限分式的定值求解，通过构建方程、解方程来确定无限分式的定值.

例4(湖南省三湘名校教育联盟2022届高三第二次大联考数学试卷·7)公元前5世纪，毕达哥拉斯学派利用顶角为36°的等腰三角形研究黄金分割，如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于M，依此图形可求得cos 36°=( ).

图2

分析：利用等腰三角形的性质、三角形边与角之间的关系、三角形相似的判定与性质、一元二次方程的解、正弦定理以及二倍角公式等的综合，合理转化，巧妙应用.

解析：由∠A=36°，可得∠ABC=∠ACB=72°.所以∠ACB=∠BMC=72°，∠MBC=∠MBA=∠A=36°.

设AB=x，BC=y=BM=AM.

点评：涉及数学故事中的数学文化创新试题，关键是理解故事情境以及问题的设置情况，借助数学故事或问题表达中的思想方法、思路技巧等加以归纳、类比等推理与分析，结合数学运算、逻辑推理的综合应用，达到解决数学文化问题的目的.

3 数学名题

通过数学名题渗透数学文化，如勾股定理、阿波罗尼斯圆、哥德巴赫猜想、费马猜想或费马点等.

例5“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一，其内容是：“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将12拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于3的条件下，两个加数均为素数的概率是( ).

分析：根据题目条件，在对12进行拆分时，罗列出所有加数都大于3以及两加数均为素数的拆分，进而利用古典概型的概率公式求解.

解析：将12拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数都大于3的所有拆分为12=4+8，12=8+4，12=5+7，12=7+5，12=6+6，共计5个；而两个加数均为素数的拆分为12=7+5，12=5+7，共2个.

(1)若m=13，则使得an=1至少需要步雹程；

(2)若a9=1，则m所有可能取值的和为.

分析：根据创新定义，借助相应的步骤加以运算与推理，通过逐步计算即可求解.

解析：(1)若m=13，依题意，得3m+1=40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需9个雹程.

(2)若a9=1，则a8=2，a7=4，a6=8或a6=1.

若a6=8,则

所以，a1的集合为{256，42，40，6，32，5，4}，m的和为385.

故答案为：9；385.

点评：涉及数学名题中的数学文化创新试题，关键是理解此类数学名题的内容，掌握其内涵与实质，结合题目条件构建合理的数学模型，综合相关的数学知识、思想方法等进行解决.

合理关注一些古今中外的数学名著、数学故事以及数学名题等，巧妙融入相关的数学知识，通过对数学文化加以创新与渗透，提升考生的应用意识与创新意识等，进一步拓展视野，提升数学能力，养成优良品质.