巧思维切入，妙视角拓展

刘伟华

摘 要：数学解题与研究是一个深层次的数学教学与学习过程，也是积累知识与经验、掌握技巧与方法的重要场所.本文通过一道强基计划的向量综合问题的展示，结合不同数学思维的应用，剖析解题的方法技巧，深入拓展与研究，凸显数学本质与内涵，引领并指导解题研究与复习备考.

关键词：向量；思维；视角；拓展；投影

平面向量集“形”“数”于一体，既有“形”的结构特征，又有“数”的基本属性，是沟通几何与代数的一种非常有效的工具.因而，平面向量的综合应用问题成为各级各类考试中的基本题型，形式多样，变化多端，同时问题的切入思维多变，解题的技巧方法眾多，成为数学试卷中的一道特殊的“风景线”，倍受各方关注.

1 问题呈现

该问题以三个单位向量为场景创设问题，借助其中两个向量的数量积为定值（此时可以确定该两个向量的夹角），由此确定两“定点”与一“动点”，结合动点的运动变化情况，进而解决涉及平面向量的数量积的代数式的最值问题.

而在具体解决问题时，可以从平面向量的“形”的结构特征与“数”的基本属性等不同思维切入，通过“形”中的平面几何知识、投影定义等，以及“数”中的坐标运算、数量积基本性质等技巧方法来分析与应用，实现问题的突破.

2 问题破解

2.1 几何思维

方法1：（投影法1）

解后反思：根据平面向量自身“形”的结构特征，通过向量投影的定义加以直观处理，经常是解决平面向量数量积的最值中比较特殊的一种技巧方法.这里方法1和方法2分别借助局部与整体的平面向量投影思维来处理，思维视角不同，解题思维一致，殊途同归.局部视角要进行必要的变形与转化，整体视角要求图形更加复杂，各有利弊.

方法3：（数量积定义法）

解后反思：根据题设场景，结合向量的模与向量的夹角等的确定，构建合适的平面直角坐标系，利用坐标运算来分析与处理平面向量问题，是平面向量自身“数”的基本属性的一个重要体现.而代数思维处理平面向量中的最值问题时，往往离不开函数与方程、三角函数、不等式等相关知识的应用.

2.3 不等式思维

方法5：（数量积性质法）

3 变式拓展

3.1 类比拓展

结合以上问题的解题思路与技巧方法，保留题设条件与所求解的向量数量积的表达式，通过对问题提问方式的合理类比，改变不同的视角，得到对应的变式问题.

以上三个变式问题的解题思路与技巧方法可以直接参考原问题的解题过程，这里不多加以展开与叙述.

3.2 深入拓展

结合以上问题的解题思路与技巧方法，保留题设条件，通过改变所求结果中的向量数量积的表达式，进而解决相应的最值问题.

4 教学启示

波利亚曾说过：“掌握数学就是意味着善于解题.”而在日常的数学习题教学过程中，还要引导学生树立正确的解题意识，让学生认识到解对一道数学习题仅仅是解题的初始阶段，看透一个问题的真谛和把握数学习题的本质才是解题的追求，对典型例习题合理有效地深入挖掘其内涵与实质，进行巧妙变式与拓展，提升自身良好的数学品质，提升自身数学核心素养.