基于问题驱动的“函数”起始课教学实践与思考

陈敏婕 叶旭山

摘 要：问题是数学课堂教学的起搏器和动力源，以问题驱动数学概念教学，往往能够调动学生自主建构概念的积极性.基于这样的教学理论，围绕“函数”起始课核心概念进行教学，尝试根据逻辑结构设计问题串，以问题驱动概念教学，引发学生深度思考，在学生“再认识”“再创造”的过程中，深化对函数概念本质的认识.

关键词：函数；问题驱动；核心概念；起始课

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出“重视发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养”.可见，问题提出是促动数学课堂教学活动有效发生、培育学生核心素养的重要路径.这就要求教师在课堂教学设计中应注重问题的驱动、引领，提升学生参与活动的质量.因此，笔者在《函数》起始课的教学中，尝试进行了以问题驱动来助力函数概念理解的教学探索.

1 背景分析

世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型.以探索简单实际问题中量的变化为背景，经历“找出常量和变量，建立函数模型表示变量之间的单值对应关系”的过程，自然形成函数概念，体现了抽象的思想、变化和对应的思想，以及建模思想.

本节内容主要包括：常量和变量的意义，函数的概念及其三种表示法.考虑到函数概念尤为抽象，本课从具体的现实情境入手，分析变化过程中量的变化，抽象出变量的概念，用对应的观点分析变量之间的关系，并以此为基础，归纳各情境之间两个变量关系的共性特征，抽象出变量的单值对应关系，进而归纳出函数的概念.通过对情境的再认识，梳理函数的三个要素（自变量、因变量、对应关系），并借助形象直观的方式，助力学生理解函数概念的本质特征.

2 教学实践

2.1 问题情境

情境1：甲、乙两地相距600km，列车以300km/h的速度从甲地匀速驶往乙地.

问题1：在列车行驶过程中，哪些量保持不变？哪些量是变化的？

问题2：你能说说列车的行驶路程skm与行驶时间th的关系吗？

追问：时间的变化对路程有什么影响？具体说一说.

设计分析：从学生较熟悉的行程问题出发，学生很容易分析出在这个变化过程中，不变的量有“速度、总路程、总时间”，变化的量有“行驶时间、行驶路程、剩余路程”，并顺势引出常量与变量的概念.

问题2引导学生找寻行驶路程与行驶时间这两个变量之间的关系，学生最先想到的是行程问题中蕴含的等量关系，即s=300t.进一步追问在这个变化过程中，随着时间的变化，路程有什么影响，并引导学生举例说一说，学生自然地想到当t=1、当t=2时对应的行驶路程s的值.第一个情境的细致分析与解读为后续情境2、3的研究方法提供了样例.

问题3：在这个变化过程中，哪些量是变量？

追问：这两个变量之间有什么联系？

设计分析：引导学生自主分析情境2中涉及的变量，并尝试找出两个变量之间的联系.部分学生困惑这两个变量的关系并非像问题1中有明确的变化规律，教师需适时引导，帮助学生排疑解虑，明确这两个变量的依赖关系，也是一种内在联系.如“当x取定一个值时，y也有一个值和它对应”，突出函数的本质，剥离“用式子表示数量关系”这一非本质属性.另外，此處的对应还出现了“多对一”的情况，丰富学生对函数中“对应”的理解.

情境3：气象站测得南京某日气温变化图：

问题4：请你描述图中气温T（℃）和时间t（h）的关系.

设计分析：在经历了情境1、2中变量关系的分析后，让学生自主描述情境3中两个变量之间的关系，再度感受“随着t的变化，T也变化；当t确定时，T也随之确定.”也就是“当t取定一个值时，T也有一个值和它对应”，为函数概念的归纳做铺垫.

2.2 概念生成

问题5：上述情境有什么共同特征？

一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量.

设计分析：启发学生找寻三个情境的共同特征，并尝试用文字语言归纳，学生之间不断补充完善，生成函数概念.

问题6：重回情境，从函数角度分析变化过程中两个变量的关系.

追问：这些对应关系从哪里看出来的？

设计分析：理清函数概念后，用函数的眼光重新看待上述三个情境中两个变量的关系，指出谁是谁的函数，再度感受函数概念中的“单值对应”.借助于工具图“数值转换机”，使得变量之间的函数关系得以直观形象地呈现，帮助学生更好地理解函数的本质.此外，三个情境恰好也展现了函数的三种表现形式，教师适时点拨.

2.3 巩固应用

问题7：举一个存在函数关系的例子.

设计分析：学生尝试举例，有从现实情境描述的，有从数学内部找寻的，引导学生进行自我评价和相互评价，感受身边丰富的函数素材，深化对函数概念的理解.

问题8：用20m长的绳子围一个矩形.你想研究哪些量？

追问1：这些量之间存在函数关系吗？

追问2：你还能提出什么问题？

设计分析：提供定周长的绳子围矩形的素材，引导学生自主找寻其中的变量，并分析是否存在函数关系.学生容易想到的量有长、宽、面积，启发学生进一步提出问题，如定周长的矩形面积何时最大等，增强学生提出问题与分析问题的能力.

2.4 拓展延伸

问题9：已知矩形的面积为100.续写你想研究的内容.

设计分析：沿着例题的研究路径，引导学生自主探索在定面积的矩形这一背景下，值得研究的量以及隐藏的函数关系等.

2.5 小结反思

问题10：通过本节课的学习，令你印象最深的是什么？

追问：由函数，你想到了什么？

设计分析：引导学生回忆本节课的研究过程，以及印象最深的环节.教师对学生谈到的认识总结、归纳，提炼函数概念可以用“一句话、一张图”助力理解.追问启发学生展开进一步联想，如想到代数式、方程、函数的应用等，鼓励学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题.

3 教学反思

3.1 设计进阶问题，驱动学生深度思考

问题情境是教学活动的起点.开篇通过熟悉的行程问题中这一变化过程引入，启发学生用变化的眼光思考现实世界.三个情境中问题的设问方式分别是“你能说说列车的行驶路程skm与行驶时间th的关系吗”“这两个变量之间有什么联系”“请你描述图中气温T（℃）和时间t（h）的关系”.设问方式层层递进，旨在提高学生自主分析问题和解决问题的能力.情境问题的设置相得益彰，方使得共性特征的探析水到渠成，凸显了函数概念的形成过程.而后用函数的观点重新审视三个情境，引导学生用数学的思维思考现实世界.

通过学生举函数关系的例子，深化学生对函数概念的理解.如学生有谈到烧水过程中，水温与时间的变化过程，教师顺势引导烧水的两段历程，一段是水烧开以前温度随时间的变化，另一段是水烧开后水温保持100摄氏度，再追问学生水温是否是时间的函数，加深了学生对于概念本质的理解.学生举出了很多有价值的例子，学生的思维在沸腾.

3.2 借助图形直观，实现抽象概念可视化

数形结合思想是一种重要的数学思想，它可以将抽象的数学语言、数量关系与直观的图形相结合，以形助数、以数辅形，数形结合，相辅相成.三个情境中，不断强调、凸显两个变量之间的关系，让学生充分感受“对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应”.这里输入一个x，输出一个y，有的学生已经感受到像有个“程序”在牵引着这两个变量，说明学生的内心已然在编织一幅形象直观的图来理解函数概念.教师抓住学生闪现的星光，顺势理清这张函数解析图——数值转换机.

这张图呈现了概念中的三要素，自变量x正如原料，因变量y恰似产品，函数的对应关系则是机器的运行原理，这正是函数的内核.后续例题环节，分析素材中的变量是否存在函数关系，仍可以通过两个角度来阐述，即函数的文字概念与数值转换机的形象表述.一句话、一张图，道清了函数两个变量之间的关系.函数模型可视化，于生而言，是一份难忘的记忆，同时使得对函数概念的理解更加深刻.

3.3 设置开放性问题，拓展思维空间

给学生思考的空间与时间，让学生的思维动态触发、进阶、升华.在例题环节，教师只提供背景素材，让学生自主找寻想研究的量，并分析其中的函数关系，提出想要进一步研究的问题.学生亲历找变量、构建函数模型，用数学的语言表述现实世界，其建模素养在悄然提升.

开放式的小结，意在培植学生的发散性思维.有的学生由函数想到了代数式，函数的右边就是关于自变量的代数式，并且类比代数式的样子，进一步猜想还可能研究的函数表达式的类型.有的学生想到方程，如果把两个变量看成是两个未知数，函数表达式可以看成一个二元方程，如果给其中一个变量赋值，那么就变成了一元方程，可以解出对应的另一个变量的值.无形中为后续函数各类型的研究以及与方程、不等式关系的研究埋下伏笔.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大學出版社，2022.

［2］ 喻平.著名特级教师教学思想录［M］.南京：江苏教育出版社，2012.

［3］ 李光红.对问题深入思考 促学生“深度学习”［J］.中学数学教学，2019（3）：25-27.