实际巧建模，数列妙应用

陈红梅

摘 要：以数列与函数的思想来构建数学模型，结合相应的基础知识来分析与应用，加以合理预测或科学决策，是数学的综合性与应用性方面的一个重要体现.本文结合一道实际应用问题的学习，开拓数学思维，合理数学建模，结合解模与应用加以合理預测与判断，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：应用；数列；函数；决策

在日常生活、社会和经济活动等问题场景中，经常需要对具体的问题进行合理的数学建模，进而加以科学的预测或决策，为实际问题给出合理的预测结论或方向指导，提供科学的最佳的决策方案.在一些决策型问题中，经常利用数列与函数的思想，建立相应的数学模型，通过相应的数学知识来进行合理预测或科学决策.

1 问题呈现

2 问题剖析

此题结合现实生活实际，以实际决策问题来创新设置，巧妙融入等差数列与等比数列、数列及其基本性质、不等式知识、函数与导数的应用等基本知识.借助数学建模，通过数学模型的构建与求解，合理分析与求解，提供决策依据与判断.

这里对于数列通项的构建，主要借助累加法与定义法来处理.而累加法的思维方式也各异，抓住相关数列的项的结构特征，合理借助等差数列与等比数列的求和公式或代数公式的变形来应用.而求解相关数列通项的最值问题，可以从不等式思维与导数思维等来切入，利用不等式的基本性质或函数与导数的应用来解决，从而加以合理求解，作出合理预测与决策判断.

3 问题破解

3.1 不等式思维

方法1：（作商比较法）

解后反思：根据题设中场景合理构建关系式，通过累加法来确定对应的数列通项，并结合等差数列与等比数列的求和公式，等比数列的定义等来确定对应的通项，抓住问题应用背景，结合通项公式的构建，以及作商比较法，结合不等式的基本性质来确定最值问题，实现合理的决策与判断.

3.2 函数与导数思维

方法2：（导数应用法）

解后反思：根据题设中场景合理构建关系式，通过公式法进行裂项处理，再通过累加法来化简，更加简捷明了，而在通项公式的构建并进行作商比较后，借助函数的构建，回归函数的本质，利用函数与导数的应用来确定最值问题，这更加符合平时解决最值问题的常见思维方式.

方法3：（函数零点法）

解后反思：在构建决策条件中的数列的通项公式后，借助作商比较法，进一步综合函数与导数的应用，利用单调函数的基本性质，以及函数零点存在性定理，利用图形的单调性变化情况来确定通项的最大值，进而也可以很好得以决策与判断.

4 变式拓展

5 教学启示

数列作为中学数学的一个重要内容之一，是进行数学运算、逻辑推理等基本训练、综合训练的重要题材之一，同时它又与高等数学有着较为密切的联系，是进一步学习的必备基础知识之一.数列模型及其基础知识在实际应用中也有很大的决策依据.