核心素养视域下初中平面几何入门实践中“说”的艺术

金云涛

摘 要：在平面几何的开始阶段，学生存在着入门难的问题，主要原因有概念模糊、视角单一和语言薄弱.本文以实践的角度，将“说”作为几何直观的方式，通过以说识图、以说明理、以说锻写、以说促解，帮助学生打破困局，为几何的学习打下坚实的基础.

关键词：平面几何；核心素养；直观

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了以“三会”为内涵的数学核心素养，尤其提出了增强几何直观的理念，这对于把握初中平面几何教学提供了一个重要立足点.事实上，平面几何教学作为初中数学不可回避的话题，其发展过程一直都是数学教学的焦点，然而从学生角度而言，平面几何入门难的声音也从未停止.

实践表明，学生对平面几何方面接受起来比较困难主要在于以下几点：一是概念模糊，学生简化了对概念的识记，导致其对概念的本质不理解，对概念仍然停留在模糊的认知阶段；二是视角单一，学生习惯于采用静态的、具象的视角观察，从而导致动态的、抽象的几何视角难以形成，使得在正确建构图形模型或是分析图形特征时显得束手无策；三是语言薄弱，几何语言、文字语言、图形语言和符号语言的传递和转化能力不足加大了学生学习几何的实践难度，因此往往会出现面对图形无话可说，面对求证无从论证的情况.

看图说话，“说”作为一种更加深入的直观的方式，串联着图形、思维、表达和再思考，旨在拉近学生与图形的距离，完成几何间的理解与表达的双向奔赴，这为学生突围概念模糊、视角单一和语言薄弱的几何困局提供了灵感.

1 以说识图，塑造动态概念的直观性

概念是几何的细胞，厘清基本概念是解剖几何图形的基礎，“说”是培养学生明晰几何基本概念的有效途径.有计划地训练学生“说”可以从以下三个方面入手：说概念，即要先找准基本概念及其表示；说动词，在借助图形表达数学对象时，在形的基础上发展动态视角，抓住关键性动词；说关联，一切几何图形的建构都需要基本概念作为支撑，要学会将不同的基本概念紧密联系起来.

以线的学习为例，点是几何图形最简单的组成部分，从点到线正是几何开枝散叶的第一步.

观察图1，请谈谈你对该图形的认识.

显然，学生在判断时首先要对点和线的概念进行区分，在“说”点和直线的概念时，就会产生如何表示的困惑.以“说”为探索激励的形式强化概念的直观性教学，符号语言慢慢在学生说概念的过程中生长.

这是由点与线构成的图形，这些基本要素静态地呈现在学生眼前，教师需要以引导者的身份带领学生用动词说出要素概念，锻炼学生用动态的眼光分析图形的形成.例如：该图形可以首先由一条直线l展开，在直线l上取一点O，则点O将直线l分成了两个部分，分别是两条射线，在点O的左右两侧各取点P、Q，就能表示出射线OP和射线OQ，其中O、P、Q三点之间又形成了三条线段，分别是线段OP，线段OQ和线段PQ.从一条直线开始，说出完整的图形的形成过程，一方面把图形说活了，另一方面是对于线段、射线和直线三者联系的深入理解.诚然，一个静态的图形的形成会有多种方式，学生在以说识图的过程中，首先要判断好图形的基本要素，然后正确选择一个起始要素，恰当使用关键性动词串联起整个过程，在平时的训练中，教师尤其要重视几何常用语句的训练，如“延长”“在                   取点                   ”“连接”“过点                   作                   ”等，让学生敢说、能说、会说和勤说.

在动态的视角中，点和线作为构成图形的基本要素会展现其在该图形中的特征以及变化的可能，学生在说形成过程时，教师可以适当进行追问：

师：将“延长”换个动词试试？

考虑图形可能的变化，如使用动词“旋转”，将射线OQ绕着点O旋转到OQ₁的位置，就构成了∠QOQ₁，这也是关于角的动态定义，即角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形（如图2）.

在射线OQ旋转的过程中，角的大小也会发生着变化.变化一个动词会使原有图形转化为新的图形，将两类概念以说动词的形式联系起来记忆，使学生做到识有所依，在几何动态视角中感受从一般到特殊的过程.

2 以说明理，培养命题推理的逻辑性

图形是几何的基础，命题则是几何的框架，学生在建立说图惯性的基础上，要培养直观描述的本能.以说明理，教师需要锻炼学生说命题的能力，以说条件链接关键图形结构，以说结论架构目标命题逻辑，以领说和示范打通语言屏障，从二段论到多段论，达到命题间的不同组合.

在“探索平行”中，学生需从诸多条件中找到适当条件进行图形的简化.在这过程中，教师可以通过示范或给出一定条件帮助学生找到适用条件，以一组同位角为例（图3）.

受图形特征影响，“说”是促进学生直观分析和解释能力发展的高效措施，通过改变条件或结论，可以达到“一图多说、各理互明”的效果，帮助学生从二段论发展到多段论.

观察图4，已知四边形ABCD

师：（1） 如果                   ，那么AD∥BC；

（2） 如果                   ，那么AB∥CD；

以填空式的发问，在说理的过程中，有针对性地帮助学生建立命题的完整性和适用性格局.学生可以选择合适的角度分析平行，需要注意的是，条件和结论的一一对应，不可混杂在一起，教师最后还应强调符号语言的完整表述.

师：（3） 如果AD∥BC，那么                   ；

（4） 如果AB∥CD，那么                   ；

（5） 思考在（3）（4）的条件下，∠A和∠C相等吗？

有意识地引导学生选择和组合条件，实现从二段论到多段论的逻辑飞跃.逐渐增加图形的复杂度，这对于学生进行条件和结论的匹配要求更细致，不同的组合方向以及方式是学生体悟以说明理的灵感所在.

3 以说锻写，提高语言表达的准确性

识图明理驱动着几何语言的沟通，促进着几何思维的发展，学生的书写展示着其几何能力逐渐走向成熟的过程.几何题的讲解有时面面俱到反而会显得时间紧迫，这时教师可以要求学生口述分析过程，用几何语言表达应该书写的全过程^［1］，以说锻写，用说的方式对书写查漏补缺.教师应当要利用好锻写素材，做好三项工作：说推理，指导学生理清正确流畅的推理逻辑；说书写，强化学生书写规范化；说重点，带领学生多回顾，探究思路的核心与多样性.入门训练时仍是可以借助填空题的形式进行逐步疏导.

如图5，点B、E分别在线段AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1=∠2，∠A=∠F，求证∠C=∠D.

证明：∵∠1=∠                   （理由），

又∵∠1=∠2，

∴∠                   =∠                   ，

∴                   ∥                   （理由），

∴∠C+∠                   =180°（理由）.

∵∠A=∠F，

∴                   ∥                   （理由），

∴∠D+∠                   =180°（理由），

∴∠C=∠D（理由）.

以完善填空的形式首先幫助学生从无到有打开思路，厘清证明的逻辑，起到一个引领和示范的作用.填空的标准化几何语言能够指导学生在完善过程中语言趋于规范化，使得其有样可学.

师：还有其他的证法吗？

一题多证，举一反三，带领学生发现自己的证法.在填空式的模板下，要求学生有中生变，回顾证法，推敲细节，形成自己的推理逻辑.

师：这道题证明的关键是什么？

虽然学生可以选择的角度很多，但在“说”的过程中，平行的判定和性质是绕不开的.在变中回归本质，培养学生证明的核心意识，在之后的问题中，能够抓住关键，那么整体的逻辑推理和书写就会水到渠成.

在以说锻写的入门训练中，一个有思考的模板十分关键，而填空恰是最好的载体，学生能从说中体悟几何语言中的理与据，感悟几何语言书写的法与度.

4 以说促解，发展问题解决的整体性

问题解决是学生识图明理锻写的最终目标，以说促解要求学生说建构、说可能、说后续.说建构是指在学生了解问题条件后能够抓住关键逻辑模块进行模型的推导和建构；

说可能是指学生联系相关条件或结论，寻找解决问题的突破口，创设认知桥梁是教师的重要任务；说后续是指学生由一道题的解决领悟一类题的方法，主动说变式说延伸.

如图6，已知AB∥DE，求∠B+∠C+∠D的度数.

4.1 说建构

从条件可知，模型建构的核心在于两直线的平行关系，围绕平行完成建构有多种支线可供选择.

4.2 说可能

本题的难点在于同旁内角的构造及角的分割.若没有点C，那么∠B和∠D是一组同旁内角，点C的出现使得角的个数变为了三个，可能考虑对角进行分割配对，则辅助线的添加必不可少.

可能一：

如图7，连接BD，将∠B分为∠1和∠2，∠D分为∠3和∠4，则原本三个角被分割配对成一组同旁内角（∠1和∠3）与一组三角形内角（∠2、∠4和∠C），故∠B+∠C+∠D就可以转化成∠1+∠3+∠2+∠4+∠C，其和为360°.

可能二：

如图8，过点C作PC∥AB，点P取在点C左侧，将∠C分为∠1和∠2，因为平行于同一条直线的两直线互相平行，可得AB∥PC、DE∥PC，则对应有两组同旁内角（∠B和∠1、∠D和∠2），故∠B+∠C+∠D就可以转化成∠B+∠1+∠D+∠2，其和为360°.

4.3 说后续

深挖问题价值，以说延伸和说变式丰富学生对问题的理解.

后续1：

学生较多想到的是纵向的拓展，将点C再细分为点C₁和C₂，求∠B+∠C₁+∠C₂+∠D的度数，以此类推，将点C分为C₁、C₂至C_n个点，求B+∠C₁+∠C₂+…+∠C_n+∠D的度數.

后续2：

也有部分同学将点C的位置进行改变，可以放在线段BD的右侧，也可以放在线段BD 的左侧，探索∠B、∠C和∠D的关系.

后续3：

发展逆向思维，将条件和结论互换，已知∠B+∠C+∠D=180°，求证AB∥DE.

以说促解的训练中，问题的灵活性影响着学生说的积极性，教师要创设认知阶梯，突出问题重点，分散问题难点.在不同后续中，学生可以继续探索原有方法的适用性，或是寻找具有普适性的一般方法，完善自身认知体系.

把说几何看成是一场演讲，有概念精细的开篇，有语言严谨的蓄势，有逻辑灵动的高潮，有回味无穷的后续，如画卷铺开般呈现数学的脉络.直观不是“教”出来的，而是自己“悟”出来的，学生以直观之说，感悟概念之深，思悟语言之精，体悟逻辑之序，打破平面几何入门难的困局.如此以往，能使学生对几何认知窥之深、察之远，形成以图形、概念、逻辑和书写四位一体的几何思维，从而促进学生推理能力和分析问题、解决问题能力的发展和提升.

参考文献：

［1］ 包永卿.谈几何的入门教学［J］.知识经济，2009（14）：135.