类比探究 提炼方法 彰显本质

刘园园

摘 要：专题教学在提高学生解题能力，发展学生数学思维等方面具有重要应用.在教学中，对于一些重点的、热点的、难点的问题可以以专题的方式呈现，让学生通过类比探究提炼解决问题的方法，感悟问题的本质，提高解题效率.

关键词：专题教学；方法；解题效率

近几年来，有关函数图象中角度存在性问题成了中考的宠儿.此类问题具有一定难度，考试均分不高.为了突破这一学习难点，笔者将以此类问题改编形成专题，采用从简单到困难的类比法，形成这一系列问题的解题思路，掌握解题的方法，提高解题效率^［1］.

1 问题呈现，体验解题策略

【例1】 如图1，抛物线y=x²-2x-3与x轴相交于A、B两点，和y轴交于C点，P是抛物线的动点，设m为点P的横坐标.

问题1：若点P使得∠PBA=45°，求m的值.

以上问题难度不大，学生很快就找到了解题方法.

生1：根据已知可求得点B和点C的坐标分别为（3，0）、（0，-3），连结BC，∠OBC=45°，又∠PBA=45°，所以点P就是点C，故求得m=0.结合图1可知，满足条件的点P不唯一.采用画图的方法即可以找到P点，该点是抛物线和直线的交点.同时，∠PBA=45°，这样可以得出PB所在的直线，解析式如下：y=-x+3.

接着与抛物线方程联立，并求解得x₁=3（舍去），x₂=-2，所以m=-2.

师：很好，生1是从代数的角度出发，根据交点坐标得到了m值.还有谁應用了这一方法呢？（学生纷纷举手）

根据课堂反馈，大多数学生都应用了这一方法.代数法思维起点低，符合大多数学生的思维习惯，故应用的人较多.

师：看来大家和生1一样厉害.请大家思考一下，该问题是否有更简捷的方法呢？

生2：先在图1上画出点P的大概位置，过点P作x轴的垂线，交于点D.因为∠PBA=45°，所以PD=BD，又点P的横坐标为m，用点P坐标表示线段，故有｜m²-2m-3｜=-m+3，也可以得到答案.

师：很好，生2从几何的角度出发，先是构造直观的几何图形，画出满足条件的角，然后将角度问题转化为线的问题，利用点的坐标解决了问题.

设计意图：开展教学过程中让学生学会站在不同角度去思考，采用不同的方法来解决问题，让数学思维被充分激活.这样可以为之后的解题提供更多的资源，促进学生解决问题能力的提升^［2］.

2 认知发展，提炼解题策略

问题2：已知条件不变，过点B作BD⊥AC于点D，是否存在第二象限内的点P，使得∠PBA=∠ABD？若存在，请求m的值.

在问题1顺利求解后，教师将问题进行拓展，给出了问题2.问题2与问题1相比，难度略有提升，为了让学生能够更好地解决问题，教师继续让学生进行小组探究，以此集思广益，让学生快速找到解决问题的突破口.

生3：按照生2的思路，可以先在第二象限内寻找点P，连结BP，然后想办法求出BP的解析式.如果想将BP的解析式求出来，先要将AC直线的解析式求出.再加上BD⊥AC的条件是可以求出BD解析式的，之后可以将D点的坐标算出.同时，令D′、D关于x轴对称.此时可以求得出BD′直线的解析式，而BD′的直线解析式与BP的相同.求出直线BP解析式后，与抛物线联立即可求得点P的坐标.这样虽然能够求解，但是感觉过程有些烦琐，所以没有直接计算，想看看是否还有其他解题路径.

师：说得很好，大家是否还有更为简捷的方法呢？

生4：我的思路和生3基本相同，不过在求直线BP的解析式时，我是先算直线BD与y轴的交点坐标，易得其交点坐标为（0，-3），这样根据∠PBA=∠ABD，可知直线BP经过（0，3），从而求得直线BP的解析式.

师：很好，充分利用图象特征，有效地简化了运算过程.你们还有其他想法吗？

师：很好，几位同学的思路都非常清晰，都是围绕“求直线BP的解析式”展开的，虽然运算过程有所不同，但是其解题思路基本一致.还有没有其他思路可以求解呢？是否可以运用几何法求解呢？（教师启发学生跳出原有思维的禁锢，尝试应用几何法求解）

生6：在图1上寻找点P的大概位置，过点P作x轴的垂线，且交于点E，则有∠ACO=∠ABD，又∠PBA=∠ABD，所以∠PBA=∠ACO，易证△ACO∽△PBE，这样BE=3PE，故3（m²-2m-3）=-m+3.

师：非常好，你是怎么想到这个方法的呢？

生6：我想到这个方法是受了问题1的启发，作垂线后发现相似三角形，于是就按照这个思路求得了m值.

师：很好，结合以上过程说一说，你有哪些发现？

生7：在求角度这个问题时只要利用好了图形，就可以直接把图转变成为线的问题，非常直观，再转化成为求交点坐标的问题就能轻松解决.

生8：采用代数法计算出交点的坐标，再将解析式求出，然后联立方程，运用方程的思想方法求得交点坐标.这种方法虽然运算过程烦琐，但是易于理解.

生9：在求交点坐标时也可以运用几何法，即根据图形特点构造特殊的图形，如特殊三角形或相似三角形，结合线段的等量关系，利用方程法解决问题.应用该方法可以有效规避烦琐的运算，有利于提高解题效率.

设计意图：在问题1的基础上进行拓展，让学生通过问题的解决总结归纳解决此类问题的方法，形成解题策略，提高学生解题效率.

3 借助应用，深化策略理解

通过以上两个问题的探究，解题策略已经形成，为了进一步加深策略理解，教师趁热打铁，给出了问题3.

问题3：若点P使得∠PAC=∠ACO，求m的值.

问题给出后，教师让学生独立思考，基于前面的解题经验，学生很快找到了解决问题的方法.

生10：取AP与y轴的交点为E.因为∠PAC=∠ACO，所以AE=EC.设OE的长度为x，则CE=3-x，AE=3-x，x只需要利用勾股定理就可以求出，之后E點坐标也可以得出，再得到这两值之后，就可以计算出AP直线的解析式，有效解决了问题.

生11：我前面的解题思路和生10相同，但是求出点E的坐标后，我没有求解析式，而是过点P作x轴的交点D，利用△AOE∽△ADP，求得了m值.

设计意图：教学中，为了检测学生解题策略的掌握情况，教师继续给出问题，加强解题策略，加深学生对这类问题的认知，提升运用水平.

4 横向延伸，积累活动经验

问题给出后，教师先让学生独立思考，然后进行小组交流，并以互动的方式充分地展示学生的解题过程.在教师的启发和引导下，学生运用不同的方法解决了问题，积累了丰富的解题经验，升华了认知.

设计意图：将解决抛物线问题的经验迁移至双曲线问题上，通过对比分析巩固了原认知，让学生的思维得到了拓展，深化了解题的能力.很多数学的知识与方法是存在联系的，在教学中教师要多从“联系”的角度出发，引导学生将相似或相关的内容进行类比，继而明确问题的本质，提高学生解决问题的能力^［3］.

5 教学思考

专题型的解题教学，是十分重要的方法，需要采用专项练习，帮助学生掌握一类解题方式，从而实现会一题通一类的效果.

以习题为载体开展的专题训练，引导学生采用类比法，解决某些特定问题，以此提升解题效率.在专题训练中，教师要打破就题论题的格局，多给学生一些独立思考的时间和空间，引导学生通过对相似或相关内容的类比掌握解决此类问题的方法，并在解题的基础上让学生学会思考，学会学习.

若想提高专题训练的效果，教师应按照由浅入深的方式加以呈现，以此调动学生参与课堂的积极性.在解题教学的过程中，教师不要将方法和经验直接呈现给学生，需要让学生在解题时去感悟解决的过程、方法，以及解题时的灵感，促使学生有效发展思维能力.数学思想是数学学科的精髓，是数学学习的灵魂.正因为有了数学思想和数学方法的存在，数学知识变得更加系统、全面.本课中，先从形入手，确定解题思路，然后通过“数”与“形”的转化，高效地解决了问题.

总之，教师在设计专题时应以学生的思维为起点，通过“低起点、小坡度”的问题逐层深入，让学生在类比探究中积累解题经验，掌握解决一类问题的方法，提高教学效率.

参考文献：

［1］ 黄悦军.核心素养视角下初中数学复习课教学模式的构建与实践［J］.理科考试研究，2020（14）：30-33.

［2］ 高志军.例析初中复习课中小题大做专题的运用［J］.中学数学，2021（4）：41-42.

［3］ 王荣华.核心素养视角下初中数学复习课教学策略［J］.福建教育学院学报，2021（8）：38-40.