怎样求不等式恒成立问题中参数的取值范围

马兰

求不等式恒成立问题中参数的取值范围问题通常较为复杂，由于不等式中出现了参数，所以解题的难点在于如何处理参数，建立关于参数的不等关系式.下面，结合几个例题谈一谈求不等式恒成立问题中参数取值范围的几种途径.

一、分离参数

在分离参数时，要注意将含有变量的式子和参数分离开，使其在不等式的两侧.对于常数，则可视情况而定，可将其放在参数的一侧，也可将其放在含有变量式子的一侧.

二、变更主元

在解题时，我们一般都会习惯性地将变量x看成主元，将参数a看作辅元.在采用常规方法解题受阻时，我们不妨突破思维定式，变更主元，将a看成主元，将x看作辅元，这样就把求不等式恒成立问题中参数的取值范围转化为关于新主元a的函数问题或不等式问题，就可以利用函数的图形和性质，不等式的性质来解题.

由于已知m的取值范围，所以可采用变更主元法，将m看作主元，x看作辅元，构造关于m的一元一次函数，通过讨论函数的取值范围，来建立关于m的不等式.运用变更主元法，可转换解题的思路，从新的角度寻找到解题的方案.

三、分类讨论

如果不能分离不等式中的参数，也无法通过变换主元法求解，那么就需要通过对参变量进行分类讨论来求得问题的答案.运用分类讨论法求不等式恒成立问题中参数的取值范围，需先根据题意确定分类的对象，可以变量为对象，也可以参数为對象；然后确定分类的标准，通常要将定义域、实数集划分为几个子区间，并在子区间上讨论参数的取值范围；最后综合所得的结果.

可见，分离参数法和变更主元法虽然较为简单，但是适用范围较窄；分类讨论法的适用范围较广，但解题的过程繁琐.无论运用哪种方法求解，都需将问题与函数、方程关联起来，利用函数、方程、不等式的性质来解题.

（作者单位：江西省全南中学）