《空间几何体》专题训练

张琦琦

20.如圖6，在五面体ABCDEF中，已知DE垂直于ABCD；AD∥BC，∠BAD=60°， AB=2，DF=EF=1.

（1）求证：BC∥EF；

（2）求三棱锥B-DEF的体积.

21.如图7，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点.现将△ADE沿DE折起，得四棱锥ABCDE.

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积.

22.已知AB是球O的直径，C， D是球面上的两点，且D在以BC为直径的小圆上，如图8所示，设此小圆所在平面为α，（1）求证：平面ACB⊥平面α；（2）设AB与α所成角为θ，过球半径OD且垂直于α的截面截BC弦于E点，求ΔOED与经过点O，D的截面面积之比，并求θ为何值时，面积之比最大.

因为EF？平面FEO，所以EF∥平面ABC.

（2）解法1：在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD= 2，AB=4，E为AB的中点，所以△ADE，△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2.

所以∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2.

又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，

所以∠DEC=90°，即DE⊥CE.

又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE= DE，CE？平面BCDE，所以CE⊥平面ADE，即CE为三棱锥CEFD的高.

解法2：如图13，过F作FH⊥DE，H为垂足.

因为平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，FH？平面ADE，

所以FH⊥平面BCDE，即FH为三棱锥FECD的高.

在折叠前，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=4，E为AB的中点，

所以△ADE是等腰直角三角形.

在折叠前，四边形ABCD为矩形，且AD=2，AB=4，E为AB的中点，

所以△ADE是等腰直角三角形.