几何与向量两法齐飞 立体问题迎刃而解——谈一道立体几何试题的解法以及启示

唐 洵

(福建省福清第三中学 350000)

1 问题呈现

图1

(1)证明:DB⊥平面AEF；

(2)求二面角A-DB-C的大小．

2 命题意图

本题是一道立体几何的解答题，满分12分，其中第(1)问5分，第(2)问7分，具体考查如下：

知识结构层面：考查空间中线面的位置关系、二面角的求法、向量方法在立体几何问题中的使用.

基本能力层面：考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力.

核心素养层面：考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

数学思想层面：考查了数形结合、化归与转化、函数与方程思想.

四翼评价层面：体现了“四翼”中的基础性与综合性.

3 解法探究

3.1 第(1)问解析

解法1因为DA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因为DA∩AC=A，DA，AC⊂平面DAC，

所以BC⊥平面DAC.

因为AE⊂平面DAC，

所以BC⊥AE．

又因为DA=AC，E是CD的中点，

所以DC⊥AE.

又BC∩DC=C，所以AE⊥平面DBC．

因为DB⊂平面DBC，

所以DB⊥AE.

因为EF⊥DB,EF∩AE=E，

所以DB⊥平面AEF．

解法2 如图2，取BC的中点G，连接AE,EG.

因为DA⊥底面ABC，AB,AC⊂平面ABC，

所以DA⊥AC，DA⊥AB.

因为AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC.

所以AE2+EG2=AG2.

所以AE⊥EG.

因为BD//EG，故AE⊥DB.

因为EF⊥DB，AE∩EF=E，

所以DB⊥平面AEF．

图2

解法3 因为DA⊥底面ABC，AB,AC⊂平面ABC，

所以DA⊥AC，DA⊥AB.

所以BC2+CD2=BD2.

所以BC⊥CD.

所以AF2+DF2=AD2.

所以AF⊥BD.

因为EF⊥DB，AE∩EF=E，

所以DB⊥平面AEF．

解法4 因为DA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，

所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因为DA∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

因为DA∩AC=A，

所以BC⊥平面ADE.

因为BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面ADC.

因为DA=AC，E是CD的中点，

所以DC⊥AE.

因为平面BCD∩平面ACD=CD，AE⊂平面ADC，所以AE⊥平面DBC.

因为DB⊂平面DBC，

所以DB⊥AE.

因为EF⊥DB,EF∩AE=E，

所以DB⊥平面AEF．

解法5 因为DA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因为DA∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

因为AE⊂平面DAC，

所以BC⊥AE．

又因为DA=AC，E是CD的中点，

所以DC⊥AE.

又BC∩DC=C，所以AE⊥平面DBC．

解法6因为DA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因为DA∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

过点A作AG∥BC，所以AG⊥平面DAC.

所以DB⊥AE.

因为DB⊥EF，且AE∩EF=E，

所以DB⊥平面AEF.

图3

解法7因为DA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC.

所以AC2+BC2=AB2.

所以AC⊥BC.

因为DA∩AC=A，

所以BC⊥平面DAC.

过点A作AG∥BC，所以AG⊥平面DAC.

因为点F在DB上，所以存在实数k，使得

所以x=k,y=k,z=1-k，即F(k,k,1-k).

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，

所以DB⊥平面AEF.

3.2 第(2)问解析

解法1过点A作AG∥BC，由(1)知BC⊥平面DAC，所以AG⊥平面DAC．

设平面ADB的法向量m=(x1,y1,z1)，

令y1=1，则m=(-1,1,0).

设平面DBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，

令x2=1，则n=(1,0,1)．

解法2 因为EF⊥DB，由(1)得DB⊥AF.

所以∠AFE为二面角A-DB-C的平面角.

因为点F在DB上，所以存在实数k，使得

所以x=k,y=k,z=1-k.

即F(k,k,1-k).

所以k+k+(1-k)×(-1)=0.

解法3因为EF⊥DB，由(1)得DB⊥AF.

所以∠AFE为二面角A-DB-C的平面角.

因为DA⊥底面ABC，

所以DA⊥AC,DA⊥AB.

由(1)知，AE⊥平面DBC.

因为EF⊂平面DBC，所以AE⊥EF.

解法4 如图4，过点C作CG⊥BD，垂足为点G，则直线CG与AF的所成角θ即为二面角A-DB-C的平面角.

图4

解法5(射影面积法)如图5，取AB的中点G，连接CG,DG，

因为CA=CB，故CG⊥AB.

因为DA⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，

故DA⊥CG.

因为DA∩AB=A，故CG⊥平面ABD.

故△CBD在平面ABD上的射影面积即为S△BDG.

因为二面角A-DB-C为锐角，

故二面角A-DB-C的余弦值

图5

记A-DB-C的大小为θ，由三面角余弦定理可知，

4 教学启示

作为老师，应当积极归纳高考真题中的图形特征，帮助学生培养空间想象能力.挑选常考的空间几何体模型，让学生通过“眼观”，记住空间图形的结构特征；让学生通过“手绘”，增强空间想象能力；最后能通过“脑补”，在头脑中形成空间几何体.从某种意义上来说，学生绘制的几何体的美观程度，在一定层面上反映了该生空间想象能力的好坏.

注重基本定理的使用，关注问题求解的细节；对定理的记忆，必须做到“定理文字”“数学语言”“图形表示”三管齐下；对定理的应用，既必须“滴水不漏”，也不能“画蛇添足”，如果教师能够解决证明过程中的漏条件与添条件的问题，那么得分率的提高将一马平川.

跳步易踩坑，踏实得满分，建系常规化，坐标逐个求；利用向量法求解坐标时，学生容易跳步走，特别是对于中点、重心等点坐标，喜欢通过观察图形，一步写出，这样的结果，对则全盘皆活，错则满盘皆输，教师应当避免这样的情况发生，引导学生脚踏实地，步步为营，特别是动点问题，对动点的坐标切不可一步到位.

回归课本重基础，一题多变显神通.除了关注高考的图形之外，课本也是很好的命题素材，事实上，本题来自人教A版选修2-1数学P109页例题4的改编.