关于椭圆曲线y2=x3+2357x-4722的整数点

华 程

（泰州学院数理学院，江苏 泰州 225300）

引 言

确定椭圆曲线的整数点是数论和算术代数几何学的重要问题之一。有关这方面的理论研究成果在现代科技中有着广泛的应用[1-4]。其中一类典型的椭圆曲线是E(m)，即

式中m为正整数。

关于式(1)的椭圆曲线整数点问题，已经引起了相关领域学者的广泛关注。比如，Zagier[5]提出了椭圆曲线E(31)的整数点问题。Zhu等[6]运用代数数论和p-adic 分析方法找出了E(31)的全部整数点。吴华明[7]运用有关Pell 方程和二元四次Diophantine 方程的解的性质对式(1)的整数点问题进行研究，发现当m= 31 时，式(1)仅有整数点(x,y) =(2,0) 和(28 844 402, ±154 914 585 540 )。管训贵[8]在文献[7]的基础上进一步证明了：若m= 36s2- 5（文献[7]中“m=p为素数”这一条件可去除），这里s是使12s2+1 以及6s2- 1 均为素数的正奇数，则对于式(1)当m= 31 时 ，仅 有 整 数 点 (x,y) =(2,0) 和(28 844 402, ±154 914 585 540 )；当m≠31 时，仅有整数点(x,y) =(2,0)，从而推广了上述结果。

本文运用初等数论方法，对m= 2361 给出了式(1)的全部整数点，即证明了

定理1椭圆曲线

仅有整数点(x,y) =(2,0)。

1 若干引理

引理1[9]设是不定方程u2-Dv2=-M(M为正整数)的某结合类k的基本解是Pell方程x2-Dy2= 1的基本解，则有

引理2不定方程

无整数解。

证明因为Pell 方程x2- 23y2= 1 的基本解是根 据 引 理1，若u1+是式(3) 的某结合类的基本解，则有。但v1= 1,2,…,35，均不适合式(3)，故式(3)无整数解。证毕。

引理3不定方程

无整数解。

证明因为Pell 方程x2- 103y2= 1 的基本解是

但v1= 1,2,…,1614，均不适合式(4)，故式(4)无整数解。证毕。

引理4[9]设是不定方程u2-Dv2=M(M为正整数)的某结合类k的基本解是Pell 方 程x2-Dy2= 1 的 基 本 解，则 有0 ≤v1≤

引理5[10]设D> 0且非平方数，则不定方程

至多有2 组正整数解。若该方程恰有2 组正整数解，则 当D=24s× 1785，s∈{0,1} 时，(x1,y1)=(169,21-s) 且(x2,y2)=(6 525 617 281,21-s× 6214)；当这里(un,vn)是Pell 方程U2-DV2= 1 的正整数解。

引理6[11]若式(5)仅有1组正整数解(x,y)，且正整数n适合(x,y2)=(un,vn)，则当n是偶数时，必有n= 2；当n是奇数时，必有n= 1 或p，这里p是适合p≡3(mod4) 的 奇 素 数，(un,vn) 是Pell 方 程U2-DV2= 1的正整数解。

引理7不定方程

无整数解。

证明根据引理5，式(6)至多有1 组正整数解。因为Pell 方程u2- 9476v2= 1 的基本解是u1+设(un,vn)是Pell 方程u2- 9476v2= 1 的任一正整数解，若式(6)有正整数解，则必有正整数n，使得

成立。

容易验证下列关系成立：

利用式(8)对式(7)取模16 得剩余序列的周期为4，即：0, 4, 8, 12, … ，且 当n≡3(mod4) 时，Y2≡12(mod16)， 不 可 能 ； 又n= 1 时 ，Y2=v1=49 276 704 942 705 268，也不可能。故 2|n。根据引理6，必有n= 2。因此由式(7)可得

但gcd(u1,v1)= 1，此时无正整数解Y适合式(9)，故式(6)无整数解。证毕。

2 定理1的证明

设(x,y)是式(2)的任意整数点。将式(2)的右边分解因式得

因为x2+ 2x+ 2361 =(x+ 1)2+2360 > 0，所以由式(10)知x≥2。当x= 2 时，可得式(2)的整数点为(x,y) =(2,0)。以下仅需考虑x> 2的情况。

令d= g cd(x- 2,x2+ 2x+ 2361)， 则d=g cd(x- 2, 2369) = g cd(x+ 2, 23 × 103) =1 或23 或103或2369。以下对这4种情形进行讨论。

情形1若d= 1，由式(10)可知，存在正整数a,b，使得

由 式 (11) 中 第 二 个 等 式 可 得b2-(x+ 1)2= 2360，即(b+x+ 1)(b-x- 1) = 23×5 × 59。解 之 得x= 48 或x= 112 或x= 292 或x=588。代入式(2)验证均不满足，故此情形式(2)无整数点。

情形2若d= 23，由式(10)可知，存在正整数a,b，使得

由式(12)中前两个等式可得

令u= 23a2+ 3，v=b，则式(13)成为

根据引理2，式(14)无整数解，故此情形式(2)无整数点。

情形3若d= 103，由式(10)可知，存在正整数a,b，使得

由式(15)中前两个等式可得

令u= 103a2+ 3，v=b，则式(16)成为

根据引理3，式(17)无整数解，故此情形式(2)无整数点。

情形4若d= 2369，由式(10)可知，存在正整数a,b，使得

由式(18)中前两个等式可得

若2|a，则 由 式(19)可 知，(3a2+ 1)2≡0(mod16)，a4≡1(mod16)，而2360 ≡0(mod8)，故8|b2，从 而4|b。此时对式(19)取模16，有8 ≡0(mod16)，不可能。因此2|a。 令a= 2c，这里c为正整数，代入式(19)可得

将式(20)整理得

再 令l= g cd(b+ 12c2+ 1,b- 12c2- 1)。 由式(20)可知，12c2+ 1 与b必同为奇数，故2|l。假设必 有 素 因 数p。 由 于l|2b且l|2(12c2+ 1)，故由式(20)知，p是适合p|b，p|(12c2+ 1)以及p2|37 760c4的奇素数。因为37 760 = 27× 5 ×59，故p|c。但 这 与p|(12c2+ 1) 矛 盾。由 此 可知，l= 2。

由式(21)可知，存在正整数f、g和t，使得

这里t= 2,10,64,118,320,590,3776或18 880。

下面分别讨论以上8种情况。

1）当t= 2时，将式(22)中的前两式相减得

由式(23)可知,2 ∤g。但此时1 ≡-1(mod4)，矛盾。因此式(23)不成立。

2）当t= 10时，将式(22)中前两式相减得

由式(24)可知,2 ∤g。但此时1 ≡-1(mod4)，矛盾。因此式(24)不成立。

3）当t= 64时，将式(22)中的前两式相减得

由式(25)结合c=fg整理得

令X= |295f2- 6g2|，Y=g，则式(26)成为

对式(27)取模23，有X2≡19(mod23)，但此时-1，不可能，故此情形式(2)无整数点。

4）当t= 118时，将式(22)中的前两式相减得

由式(28)可知,2 ∤g。但此时1,13 ≡5(mod16)，矛盾。因此式(28)不成立。

5）当t= 320时，将式(22)中的前两式相减得

由式(29)可知，2 ∤f。但此时1 ≡-1(mod4)，矛盾。因此式(29)不成立。

6）当t= 590时，将式(22)中的前两式相减得

由式(30)可知，2 ∤g。但此时1,13 ≡-7(mod16)，矛盾。因此式(30)不成立。

7）当t= 3776时，将式(22)中的前两式相减得

由式(31)可知，2 ∤f。但此时1,13 ≡5(mod16)，矛盾。因此式(31)不成立。

8）当t= 18 880时，将式(22)中的前两式相减得

将c=fg代入式(32)整理得

令X= |f2- 6g2|，Y=g，则式(33)成为

根据引理7，式(34)无整数解，故此情形式(2)无整数点。

综上，式(2)仅有整数点(x,y) =(2,0)。证毕。