整体建构下的概念起始课单元教学尝试
2023-03-15杭慧娟
杭慧娟
［摘 要］ 概念教学作为数学教学的一部分，要运用整体建构的方法来展现. 在核心素养导向下，以“一元二次方程”的概念起始课为例，基于数学课程标准，设置问题串，引导学生完整经历一个新概念的生成过程，形成对后续学习知识的探讨意识. 通过单元教学，整体搭建从未知到已知的认知桥梁.
［关键词］ 整体建构；起始课；问题串；单元教学
《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用［1］. 这句话指出数学来源于生活，并且通过对客观现象进行抽象、概括共同属性，从而得出各种数学概念与基本原理等.
课前思考
数学教学应该建立在学生的已有知识的基础上，新知识的学习也不应脱离学生已学的知识. 数学教学要建立在数学单元的基础上，运用整体建构的方法来展现，概念教学作为数学教学的一部分，采用的方法亦如此. 培养学生学习认识新概念的方法：从问题情境中生成，从认知冲突中产生.
概念起始课需要搭建起新知与旧知间的桥梁，使新知的产生不突兀，引导学生主动将新知与旧知联系起来，并将新知归类到旧知的结构系统中.
“一元二次方程”（第1课时）的教学设计旨在让学生通过情境回顾旧知，得到已经学过的两类方程：一元一次方程和二元一次方程，再从问题情境中列举出新的方程，通过与旧知的对比，抽象概括出一元二次方程的概念. 学生通过学习一元二次方程的定义、一般形式、特殊形式，从而掌握从“一般”到“特殊”的学习方法. 学生经历一元二次方程的产生过程，明白数学来源于生活.通过引导学生类比学过的旧知“一元一次方程”“二元一次方程（组）”的研究方法，进而梳理出一元二次方程的研究方法，培养学生的数学建模意识. 这一过程彰显了知识的整体性，让学生的了解数学知识的逻辑性、连贯性和系统性，更好地理解数学学科的特点.
教学片段及分析
环节1 情境引入，复习旧知
问题1：老师家孩子的游戏区域需要围一个长方形的护栏，如果这个长方形护栏的长（x米）比宽多0.5米，周长为7米，你能列方程求出它的长与宽吗？
生1：根据题目信息可列出方程1，2（x+x-0.5）=7.
问题2：如果这个长方形护栏的长（x米）与宽（y米）的关系不清楚，只知道周长为7，你能列方程表示出它的长与宽的关系吗？
生2：根据长方形的周长公式可列出方程2，2x+2y=7.
追问1：上面列出的方程，我们都学过没有？它们分别是什么方程？
生3：方程1和方程2分别是学过的一元一次方程和二元一次方程.
追问2：除了上面的一元一次方程和二元一次方程，我们还学过什么方程？
生4：还学过分式方程.
追问3：你是怎么区分分式方程与整式方程的？
生5：通过看分母有没有未知数来区分.
追问4：对于整式方程中的一元一次方程，你是通过什么来判断的？
（学生通过交流讨论得出：一元一次方程是只含有一个未知数x，并且未知数的次数是1次的整式方程）
环节2 类比旧知，引出新知
问题1：根据下列问题，自主探索，列出关于x的方程.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和为25，求正方形的边长x.
生6：4x2=25.
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
生7：x（x-2）=100.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长度与木条全长的积等于较长一段的长度的平方，求较短一段的长x.
师：你能根据题意列出方程吗？
生8：x·1=（1-x）2.
问题2：观察以上列出的方程，它们还是我们学过的方程吗？
追问：上面的方程我们能化简成等号右边为0的形式吗？
（化简后得到4x2-25=0，x2-2x-100=0，x2-3x+1=0）
问题3：化简后，这些方程与我们学过的方程有何相同之处和不同之处？
生9：这3个方程都是整式方程，都只有一个未知数x，且未知数x的次数不再是1次.
问题4：类比学过的一元一次方程，你觉得这个方程应该如何命名？
（学生通过讨论给这样的方程命名为一元二次方程）
追问1：为什么叫一元二次方程？什么是“元”？“次”是指什么？
生10：只含有一个未知数，未知数的个数就是“元”，“次”是指未知数的次数.
追问2：每一个未知数的次数都是2次吗？
生10：不是，方程4x2-25=0中未知数的次数是2次，方程x2-2x-100=0與方程x2-3x+1=0中未知数的次数既有1次又有2次.
追问3：那如何完善，得出一元二次方程的概念呢？
（由此问题引导学生讨论交流，归纳定义）
环节3 归纳抽象，深化概念
问题1：一元一次方程的一般形式是怎样的？
生11：用字母a，b表示常数，一元一次方程的一般形式是ax+b=0，其中a不等于0.
问题2：观察上述一元二次方程，我们能得出一元二次方程的一般形式吗？
生12：一元二次方程的一般形式可以表示为ax2+bx+c=0，其中a，b，c都是常数，且a≠0.
追问1：你能指出方程中的二次项、一次项和常数项分别是什么吗？二次项的系数和一次项的系数又分别是什么？
追問2：方程4x2-25=0的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是什么？
追问3：由此你觉得a，b，c的取值有什么特点？你能举出特殊的一元二次方程吗？
（通过以上连续三个追问，引导学生合作交流，巩固学生对概念的理解和应用）
环节4 单元展望，明确方向
问题1：我们是如何研究一元一次方程的？我们经历了怎样的研究过程？
生13：我们研究一元一次方程的思维过程为，实际问题→一元一次方程概念→解方程→应用于实际问题.
问题2：你觉得我们要如何研究一元二次方程？你是怎么想到的？
（通过类比一元一次方程的研究方法和思维过程，学生很快就将一元一次方程的研究方法和思维过程迁移到一元二次方程的研究上来，得出和一元一次方程相同的研究方法和思维过程）
本节课的设计价值
1. 数学概念从情境中生成，从认知冲突中产生
数学概念是学生认知的基础，也是学生进行各类思维活动的载体.本次一元二次方程的概念教学采取了概念形成和概念同化同时进行的方式. 创设问题情境，让学生复习已学过的知识，并在问题的解决中产生与已有知识相冲突但又有关联的新知识，顺利搭建认识新概念的“脚手架”. 让学生通过对一元一次方程的观察，归纳出其本质属性，从而得到一元二次方程的概念. 这样的教学，既符合学生的认知规律，又能构建起学生的认知体系，使概念的产生更加自然，同时也把概念的本质属性推广到同类事物中去，从而得到概念的外延. 这样的概念教学也符合章建跃博士指出的“概念教学必须让学生经历概念的形成过程”［2］．
2. 类比学习，构建知识的横纵向体系
在数学学习中，发现真理的主要工具是归纳和类比. 把一元二次方程的研究与一元一次方程的学习经历放在一起对比教学，体现了整体性的数学思维方式，使学生能思考方程与方程系统中的局部各类方程之间的关系，以及内在结构和研究方法的共同之处，从而更深入地理解数学概念的内涵和外延.学生在学习了一元二次方程的概念后，主动将该概念归纳到方程的系统中，使知识自成体系. 而类比学过的方程（组）来认识一元二次方程的学习过程其实就是概念同化．数学教学中，教师要“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”［2］，进而实现深度学习，达到理解数学本质的目的．
3. 从课时到单元，发挥概念起始课的整体建构功能
除了在知识的内容层面上，不隔绝开与旧知的关联，使新旧知识连贯整体，这节课还注重让学生在概念的始课上明确后续的大致学习内容. 当学生心中有了学习的框架结构，后续的学习内容就会变得更加自然和必要. 一般，概念起始课的教学设计与一般课程设计不同，它具有承前启后的作用，既要让学生看到新知产生的必然性，又要预见到新知如何发展，以及它的整体建构功能. 学完一元二次方程的起始课后，学生还要在这节课预见后面要接着探究的学习内容：如何解一元二次方程，以及一元二次方程在实际问题中的应用. 这样从课时到单元的教学设计方式，让这节概念起始课不仅“有血有肉，更有骨”.
4. 基于一般观念，教会学生如何学数学
发展学生核心素养的教学理念提出后，我们一线教师都在思考，如何教学才能真正培养学生的数学学样核心素养. 比如，在教学中不仅教会学生知识点，还教会学生如何发现问题，如何分析问题，如何通过归类与分析得出同类知识的属性，以及在研究问题的过程中，使用了什么样的思维方式和思想方法. 在本次教学设计中，师生共同经历了一元二次方程这个知识发生的全过程（如图1）.
在经历这个全过程的学习后，学生建构了对整个单元学习内容、学习路径和学习方法的整体性认识，不仅知道学什么，还知道为什么学、怎么学、怎么用，通过渗透一般问题的研究方法，真正发展了他们的数学学习能力，落实数学学科核心素养.
5. 设计问题串，引发学生主动思考
教师在理解教材、理解数学、理解学生的基础上［3］，站在整个初中数学知识体系的高度，设计问题串. 教师应始终从学生的认知特点出发，有效设计由浅入深、由表及里的疑问和追问，启发性地引导学生自主思考. 在问题串的引领下，学生始终参与其中，成为探究学习的主角，主动概括和表达数学概念. 在富有灵气的探讨式的追问下，学生主动思考问题的产生与发展，极大地激发了学生的探究欲望. 问题串的设计富有整体性和逻辑性，从复习回顾到新知产生，从抽象概括到说理论证，促进学生思维的发展.
参考文献：
［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.
［2］ 章建跃. 章建跃数学教育随想录［M］. 杭州：浙江教育出版社，2017.
［3］ 杜育林. 整体把握 精心设计：以一元二次方程的概念教学为例［J］. 中学数学教学参考，2019（32）：15-17.
