整合教材资源，优化课堂教学

2023-03-15梁慧慧徐争杨光伟

数学教学通讯·初中版 2023年2期

梁慧慧　徐争　杨光伟

［摘要］有理数的乘法法则既是教学的重点，也是数学的难点. 文章通过比较四版本教材中“有理数的乘法法则”这一内容的编写方式，以人教版教材为基础，并整合其他版本教材的课程资源，进而提出优化的教学设计.

［关键词］有理数的乘法法则；教材整合；教学设计；优化教学

教材是教师实现教学目标、实施课堂教学的重要资源，教师对教材的理解和把握直接影响课堂教学的效果. 《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：教师应创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材［1］. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》也指出：教材素材的选取应尽可能地贴近学生的现实，以利于学生经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程，发展抽象能力、推理能力［2］. 当前，初中数学教材各版本秉承“一标多本”的宗旨，凸显编者对课程标准的理解与把握，以各自鲜明的特点体现课程标准的理念与要求，为教师的课堂教学提供了较大的选择空间，也为整合各版本教材优势、优化课堂教学提供了可能.

有理数乘法是继有理数的加减法之后的又一种基本运算，其既是有理数运算的深入，又是进一步学习有理数除法、乘方的基础，对后续代数学习也具有至关重要的作用，因此该内容是教学的重点. 同时，“负负得正”的符号运算法则的教学也是“世界性的难题”，其不像正数的乘法那样有比较明显的现实意义，对学生来说较为抽象［3］，因此也是教学的难点. 鉴于此，文章对初中数学现行的四版本教材中“有理数的乘法法则”这部分内容进行对比分析，取各家之长，整合设计，从而达到优化课堂教学的目的.

教材内容编写与安排的分析

选取人教版［4］、浙教版［5］、苏科版［6］、北师大版［7］四个版本的初中数学教材为研究对象，“有理数的乘法法则”均位于四版本教材中“有理数的乘法”的第1课时，该内容在课程标准中的教学目标为：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；能运用有理数的运算解决简单的问题［1］.

1. 课堂引入的比较与分析

浙教版、北师大版设置水位变化的现实情境，将水位的变化过程数学化，分别用正、负表示水位的上升与下降，引出两个正数相乘、一负一正两个数相乘的情况，并引导学生回顾小学所学乘法的意义，把乘法看作相同数字之和来解决问题.

苏科版同样设置水位变化的现实情境，引导学生借助生活经验得出水位变化结果.

人教版类比有理数的加法，指出引入负数后将产生新的乘法运算规则，并提出如何进行运算的问题.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提到：教材应为学生提供丰富的问题情境［2］. 各版本教材的引入方式不尽相同，主要包括复习旧知和创设情境. 人教版从学生已有认知水平出发，力求引发学生认知冲突，激发学生对新知的探究欲望. 其他三版教材选择学生身边实例为学习素材，使有理数的乘法运算得到具体形象的支撑，同时又体现了数学在现实生活中的重要性.

2. 法则探究的比较与分析

人教版设置三个“思考”，引导学生观察算式的因数与积的变化规律，若按照原有的运算规律仍然成立则填写运算结果，并分别从符号和绝对值两个角度归纳“正数×正数”“正数×负数”“负数×正数”以及“负数×负数”的计算规则，最后总结出有理数的乘法法则.

北师大版先采用水位变化的现实模型进行探究，在水库水位随时间变化的情境中，分别用正、负表示水位的上升与下降，借助乘法的意义列式计算，得到“正正相乘”和“异号两数相乘”的规则. 在“负负相乘”的运算规则探究中，北师大版与人教版所用方法相同，均是通过计算、找规律、推广规律得出结论.

浙教版同样先采用水位变化的现实模型进行探究，得到“正正相乘”和“负正相乘”的运算规则；再结合相反数的性质进行探究，在比较3×2=6与（-3）×2=-6的基础上，启发学生悟出中间结论：改变相乘两数中一个数的符号，其积变为原来积的相反数；最后将中间结论应用到3×（-2）与（-3）×（-2）的计算中，进而归纳出有理数的乘法法则.

苏科版运用水位变化的现实模型进行探究，用正、负表示水位的上升与下降以及几天后的水位与几天前的水位，引导学生结合生活经验得出变化结果，并把变化过程与结果数学化，分别得到（+4）×（+3）=+12，（+4）×（-3）=-12，（-4）×（+3）=-12和（-4）×（-3）=+12四个等式，进而从符号和绝对值两个角度归纳有理数的乘法法则.

“有理數的乘法法则”是为了在数系扩充时，保持运算律的一致性而做出的合理规定［8］. 但初一学生的认知水平有限，因此可让学生通过经历法则的探索过程，体会规则的合理性. 四版本教材得到法则途径主要有两种，即借助数学规律和借助现实情境. 借助数学规律，如人教版和北师大版借助的几个相同负数的和的规律，浙教版借助的相反数规律；借助现实情境，如苏科版、浙教版和北师大版的水位变化. 四版本教材各有利弊，北师大版未对“正数×负数”进行探究，只探究“负正相乘”就归纳出了异号两数相乘的运算规则，直接默认了有理数的乘法满足交换律，但逻辑上“法则规定在前，交换律满足在后”；苏科版采用现实情境，其意图是为学生提供直观解释，但涉及时间和空间两个维度的正负，对学生抽象思维能力要求较高［9］；浙教版探究中起关键作用的是中间结论，但学生不免产生疑惑，仅由“正数×正数”和“负数×正数”所得的中间结论是否具有一般性呢？人教版实质上是运用了乘法分配律，弗赖登塔尔称之为“归纳外推法”，也是运算系统“和谐性的模式直观”［10］，但实践证明由于初一学生的认知水平有限，直接应用归纳外推法，他们不易发现其中的规律［11］，因此，笔者认为可以将其他三个版教材中有理数乘法教学的现实模型的直观与人教版内有理数乘法法则探究过程进行融合，从而降低学生的探究难度.

3. 运算步骤演示的比较与分析

浙教版、北师大版、苏科版均未独立设置运算步骤的演示.

人教版给出两个应用有理数乘法法则进行计算的算式作为运算范例，分别为（-5）×（-3）和（-7）×4，并从符号和绝对值两个角度标注应用有理数乘法法则进行计算的关键步骤.

笔者了解到即使教材中未单独说明有理数乘法运算的具体步骤，教师在教学中也会明确说明并进行演示. 但笔者认为本节课最重要的是要落实到按照法则进行乘法运算上，教材的演示说明更能让学生明确按照运算法则进行计算的关键步骤，从而掌握运算法则的应用技巧.

4. 倒数概念形成的比较与分析

学生在小学阶段已经学过非负数范围内倒数的概念，而在有理数范围内倒数的概念与之前学过的倒数概念一致，学生不难掌握，因此笔者认为无须举过多例子进行概念生成.

5. 例题和习题安排的比较与分析

例题的编写在某种程度上能反映编者对教学重点、难点的把握［12］. 四版本教材在例题设计上均以两个负有理数的乘法运算为主，可见有理数的乘法法则是教学的重点，两个负有理数的乘法法则是教学的难点. 有理数的运算练习需保证一定的量，注意各题型之间的互补，避免枯燥训练. 从数量来看，无论是例题还是习题，苏科版都最少；从形式来看，人教版中习题的形式是最多的（见表1）.

整合多版本教材的教学设计

在对比研读四个版本教材的基础上，笔者以人教版为母版，整合各版本教材进行以下教学设计.

1. 创设情境，引入新知

（1）近几天上虞区普降大雨，曹娥江的水位每天升高3厘米，请问4天后，江水上涨了多少厘米？

（2）雨过天晴，江水开始回落，水位每天下降3厘米，请问4天后水位下降了多少？

如果用正号表示水位上升，负号表示水位下降，你能列式计算吗？

设计意图为了克服人教版的探究过于形式化的缺点，借鉴浙教版和北师大版，以真实问题情境为切入点，引导学生从水位变化的情境中抽象出数学算式. （1）列式为3×4，（2）列式为（-3）×4，通过复习小学所学的乘法意义进行运算.

2. 观察归纳，探究新知

自主探究1：尝试计算下列算式的结果.

3×3=______ （-1）×3=______

2×3=______ （-2）×3=______

1×3=______ （-3）×3=______

0×3=______

（1）观察这些乘法算式，你能发现什么规律？

（2）从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能得出什么结论？

设计意图借鉴人教版进行探究，构造一组形如□×3的算式，让学生通过把乘法看作相同数字之和得出结果，并引导学生在自主探究的基础上概括出“随着前一乘数逐次递减1，积逐次减3”这一变化规律，一方面让学生直观感受到该规律在引入负数后仍然成立，另一方面为后续探究做好铺垫，让学生知道如何观察、如何发现规律. 教师引导学生从符号和绝对值两个角度观察算式，学生通过小组合作发现“正数乘正数，积是正数；负数乘正数，积是负数. 积的绝对值等于各乘数绝对值的积”的结论，从而得到具体两类情况的结果，既降低了归纳概括的难度，也为后面的探究学习奠定了基础.

自主探究2：计算下列算式的结果.

3×3=______ 3×1=______

3×2=______ 3×0=______

（1）类比上述过程，你能发现什么规律？

（2）要使上述规律在引入负数后仍然成立，你认为下列横线上应该填什么数？

3×（-1）=______

3×（-2）=______

3×（-3）=______

（3）类比自主探究1与自主探究2，从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能得出什么结论？

设计意图在自主探究1的基础上，构造一组形如3×□的算式，学生通过模仿独立解决三个小题，并进一步概括法则“异号两数相乘，积的符号为负，积的绝对值为各乘数绝对值的积”，既使学生感受法则的合理性，又培养学生类比推理、归纳概括的能力.

自主探究3：结合自主探究1的结论，计算下列算式.

（-3）×4=_____ （-3）×3=_____

（-3）×2=_____ （-3）×1=_____

（1）观察这些式子，你能发现什么規律？

（2）按照上述规律，下面的横线上可以各填什么数？

（-3）×0=_________

（-3）×（-1）=______

（-3）×（-2）=______

（-3）×（-3）=______

（3）类比自主探究1、2、3，从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能得出什么结论？

设计意图自主探究3是在自主探究1和自主探究2的基础上拾级而上. 让学生在“使这个规律在引入负数后仍然成立”的指引下，根据前面的经验，独立归纳、概括“负数乘负数，积是正数”的结论，培养学生类比、归纳等数学关键能力.

思考1：综合上述结论，类比有理数的加法法则，你能试着归纳出有理数的乘法法则吗？

设计意图教师给学生时间和空间去发现和探究，引导学生类比有理数的加法法则的归纳过程，从同号两数、异号两数、与零的运算三个维度归纳有理数的乘法法则，完成有理数的乘法法则的完整构建，发展学生数学抽象、逻辑推理等核心素养.

思考2：若规定曹娥江的江水上涨为正、下降为负、几小时后为正、几小时前为负，如何用“水位变化速度、时间与变化量”解释3×（-4）= -12，（-3）×（-4）=12，（-3）×0=0呢？

设计意图借鉴苏科版，但不同的是此时现实情境的功能不是帮助学生提炼法则，而是在法则明晰的情况下，理解有理数的乘法法则的现实意义，帮助学生从现实情境角度感知抽象的数学法则，更好地理解法则的合理性.

思考3：类比有理数加法的运算步骤，应用有理数的乘法法则进行计算时，应按照怎样的步骤进行计算？你能举例说明吗？

设计意图借鉴人教版明晰运算步骤，先由学生独立思考回答，后由教师选择算式进行完整的演示，同时要求学生说出计算的依据，从而明确按照法则计算的关键步骤.

3. 例题讲解，巩固新知

设计意图选自浙教版和北师大版，通过一组不同层面、视角的算式计算，一方面检测学生对有理数的乘法法则的掌握情况，规范解答格式，并给出有理数范围内互为倒数的规定；另一方面强化有理数的乘法法则中“符号”的问题，培养学生严谨的逻辑思维能力，使学生形成对有理数乘法运算步骤的共性认知，发展学生的数学运算核心素养.

例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负. 登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为-6℃，攀登3 km后，气温有什么变化？

设计意图选自人教版，利用有理数乘法解决实际问题，体现数学的应用价值.

例3 已知a，b是有理数，用“＞”或“＜”填空：

（1）如果a＞0，b＜0，那么a×b__0；

（2）如果a＜0，b＜0，那么a×b__0；

（3）a×b＞0，a+b＜0，那么a__0，b__0.

设计意图本例题由人教版第39页的练习题改编而得，通过对乘法法则的字母表达式的变式应用，使乘法法则更具一般化，进一步巩固乘法法则，同时让学生感受分类讨论、转化与化归等数学思想，提升学生的逻辑推理核心素养.

4. 回顾反思，总结新知

（1）本节课我们学习了哪些内容？有理数的乘法法则是什么？什么是倒数？如何求一个数的倒数？

（2）有理数乘法运算需注意什么？有理数乘法运算的基本步骤是什么？如何说明“负负得正”的合理性？

设计意图引导学生从知识内容、学习过程两个方面进行小结，培养学生的归纳能力和语言表达能力，以及善于反思的良好习惯，同时使学生品尝收获的喜悦，增强学习的信心.

5. 課后作业（略）

思考与启示

1. 教师需接触各具特色的教材

各版本教材虽在知识组织上基本一致，但在知识呈现方式和素材选取上各具特色. 各版本教材对于同一概念、定理，因其不同的背景实例、应用角度和呈现方式以及不同的例题和习题，均可带来多角度的理解. 因此，要使教学成为极富创造性和个性化的活动，教师不应只是将教学内容局限于固定版本的教材，而应广泛取“材”，合理选“材”，并以选用版本教材为主，吸收其他版本教材的优点进行二次开发、有机融合，从而优化教学设计，达到优化课堂教学的目的.

2. 教师需创造性地使用教材

崔允漷指出，教师不是教科书的执行者，而是教学方案的开发者. 课程标准也指出，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造［1］. 此外，美国学者研究表明，教师通常会以某种方式积极修改教科书中的内容并进行创作［13］. 这就要求教师认真研读课程标准，既要依据教材，理解教材，领会编者意图，对教材所呈现的教学内容进行深入分析，又要不拘泥于教材，能根据课程标准的基本要求以及学生的认知水平，充分利用地方资源、网上资料、优秀课例等对教学内容进行融合统整，实现最优化教学，使教学素材既符合知识本身的逻辑结构，又符合学生的认知规律.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［3］巩子坤．调查与理论分析：“负负得正”何以不易理解［J］. 数学教学，2009（08）：7-11．

［4］林群. 义务教育教科书：数学（七年级上册）［M］. 北京：人民教育出版社，2012．

［5］范良火. 义务教育教科书：数学（七年级上册）［M］. 杭州：浙江教育出版社，2012．

［6］杨裕前，董林伟. 义务教育教科书：数学（七年级上册）［M］. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2012.

［7］马复. 义务教育教科书：数学（七年级上册）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2012.

［8］孙丹丹，胡锡娥. 有理数乘法教科书设计及教学分析：基于有理数乘法的历史［J］. 中学数学月刊，2020（10）：15-18.

［9］张万梅. 对“负负得正”教学的教材处理再思考［J］. 中学数学教学参考，2019（17）：74-76.

［10］张广祥，张奠宙. 代数教学中的模式直观［J］. 数学教育学报，2006（01）：1-4.

［11］冯启磊，姚春艳. 负负得正的教学：直观与推理的融合［J］. 数学通报，2018，57（05）：16-19.