建构“生本”课堂，落实数学核心素养

［摘  要］ 为了落实学生的数学核心素养，教师应以生为出发点，引导学生用数学思维思考问题，用数学方法解决问题，经历数学探究过程，领悟数学本质，体验数学思想方法. 在日常教学中，教师要认真研究教材、研究学生、研究教学，基于“三个理解”合理地设计、组织教学活动，以此提高学生自主学习能力，落实数学核心素养.

［关键词］ 数学核心素养；三个理解；学习能力

作者简介：施良结（1980—），本科学历，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作.

在新课改的推动下，数学课堂教学越来越关注学生学习能力和思维能力的发展，那么在教学中，具体应如何落实呢？笔者以“函数的极值”为例，谈几点看法.

分析学情，以学定教

1. 内容分析

本课研究的主要内容是极值概念，极值与导数的关系，以及求极值的方法和步骤. 在学习本课内容前，学生已经学习并掌握了导数概念，理解了应用导数研究函数单调性的方法，本课内容作为继用导数研究函数单调性的又一应用，其在本章“导数”的教学中有重要价值，既是前面所学内容的延续与深化，又为后面利用导数研究可导函数做铺垫.

在概念教学中，主要采用的是数形结合思想方法，让学生亲历概念形成、发展和应用的过程，有效提高学生观察、分析和归纳等数学思维能力，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

2. 学情分析

对于高中生，他们具有一定的数学抽象、归纳、推理等能力，并掌握了数形结合、特殊到一般、一般到特殊等数学思想，加上本课学习前，学生已经学习了导数概念，研究了导数的几何意义以及函数单调性与导数的关系，以上能力、方法、经验为开展“以学为本”的教学活动提供了保障.

3. 教学目标

在充分研究学情后，确定本课教学目标如下：

（1）理解函数极值概念，掌握求函数极值的步骤与方法；

（2）体验数形结合、归纳推理等思想方法的应用，理解数学研究方法；

（3）通过自主学习与合作探究相结合的方式，提升学生的学习能力和思维品质.

以学为本，依学而教

1. 巧借问题，引入概念

在课堂教学中，教师应从学生的实际出发，依据学情设计恰当的问题，以此提升课堂参与度，让学习在思考和解决问题的过程中真正发生. 在本课教学前，教师对学生的已有知识、经验、能力进行了系统分析，基于学情设计了相应问题.

师：根据已有经验，请同学们思考下面这个问题：观察下列函数的图象，图中各点有怎样的共同特征？

生1：A，B，E，G分别在图象某一段的最低位置，C，D，F分别在图象某一段的最高位置.

师：观察得很仔细. 通过观察得到了“最高”“最低”的概念，那么这7个点具有怎样的共同特征呢？（学生继续观察）

生2：它们两侧函数的单调性正好相反.

师：非常好，还有其他发现吗？（学生不语）

师：观察一下，过这些点的切线有怎样的特点呢？（教师提示）

学生在草稿纸上积极操作，教师巡视并对个别学生进行指导.

生3：我发现这些切线与x轴平行，即切线的斜率为0.

师：真是一个非常棒的发现. 结合以上发现，请大家概括一下各点的共同特征. （教师鼓励学生互动交流）

生4：我们小组将以上发现总结归纳为以下3点：①与附近的点相比，这些点要么是最低点，要么是最高点，与之对应的，这些点在一定的区间内，其函数值要么是最小值，要么是最大值；②这些点两侧的函数单调性正好相反；③过这些点的切线斜率为0.

师：总结得非常好！这些点的共同特征就是我們今天要研究的重点.在数学上，称这样的点为极值点，它们的函数值称为函数的极值. （教师板书“函数的极值”）

接下来，在教师的引导和启发下，学生又得到了极大值和极小值的概念. 教师组织学生思考、讨论、表达，从而用简洁、精准的数学语言给出了完整的极值概念.

设计意图 借助“形”的直观让学生观察各点在图象中的特殊位置，引导学生总结归纳这些点的共同特征. 在问题的引领下，让学生合作探究，既提升了课堂参与度，又培养了学生的直观想象能力和抽象概括能力，发展了学生的数学核心素养.

教学思考 数学抽象能力不是与生俱来的，它的形成需要一个长期过程，需要建立在丰富的感知认识的基础上. 在教学中，教师要为学生提供一些素材，引导学生去观察、去分析、去提炼、去概括，从而抽象出对象的本质特征. 如在本课教学中，教师首先给出直观的函数图象，让学生通过观察、交流，发现图象上这些点的共同特征. 另外，通过亲身经历概念的生成过程以及由特殊到一般的推理过程，有利于学生理解和记忆概念，有利于提升学生的学习能力.

2. 比较辨析，形成概念

在以上教学中，虽然学生亲身经历了概念的生成过程，但此时学生对概念的理解还是比较粗浅的. 因此，教师有必要创设一些比较辨析的活动，让学生在活动中进一步理解概念的内涵，加速形成概念.

师：结合极值概念以及以前已学的函数，你能列举几个关于极值点的例子吗？

教师鼓励学生互动交流，学生很快就列举出了许多熟悉的函数极值点的例子，课堂气氛活跃.

师：图5是函数y=f（x）的图象，请指出函数y=f（x）的极大值和极小值.

结合函数的极值概念，学生快速就给出了答案.

师：刚刚大家回答得非常好，结合概念准确地给出了答案. 谁来说一说，你们是如何判断横坐标为a，h的两点不是极值点的呢？

生5：因为无法判断这两点左右两侧的单调性是否相反.

生6：也不符合“过该点的切线斜率为0”这一条件. （生6补充道）

师：回答得非常准确，由此你得到了什么结论呢？

生7：函数在一个区间的端点处都不是极值点.

师：非常好，结合以上发现，对于函数的极值，你是否有了新的认识？

生8：函数的极值可以是一个或多个，不过区间端点处的函数值一定不是极值.

生9：函数的极大值和极小值没有必然的联系，在不同的区间范围内，极大值可以小于极小值.

师：说得非常好！极值就如同生活，在某个阶段我们可能会遇到低谷，但是只要我们有着必胜的信念就一定会触底反弹，走向更为广阔的天地，攀登人生一个又一个高峰.

设计意图 为了让学生完整、系统地理解概念，教师先让学生列举了一些实例，然后利用图象深化对函数的极值的认识. 在归纳极值的特点时，教师“以生为本”，提高了学生的参与热情，让学生在自主交流和合作探究中体验到了数学学习乐趣，提高了探究能力. 另外，在教学中，教师渗透德育，启发学生正确地对待学习与生活，树立正确的人生观，不断进取，勇攀高峰.

3. 拓展延伸，深化概念

数学知识具有较强的逻辑性，若想将知识学懂学透，就要跳出单一知识的束缚，着眼于全局，将相关的知识放在一个大的结构中，通过探寻新旧知识前后的联系，将新知识纳入已有认知结构中，以此丰富学生的原有认知体系，提高学生解决问题的能力. 函数的极值与前面所学的函数的导数、函数的单调性等知识息息相关，因此教师有必要通过一定的启发和引导帮助学生将相关知识串联起来，从而实现知识的深化和融合.

师：对于可导函数y=f（x），若在区间M上f′（x）>0，则f（x）在区间M上是增函数；反之，若f′（x）<0，则f（x）在区间M上是减函数. 对于这一性质，你感觉与函数的极值的哪个特点存在联系呢？

学生齐声答：极值点左右两侧函数的单调性是相反的.

师：很好，请大家利用以上5个函数图象（图1至图5），思考并讨论一下，两者有什么关系呢？（教师预留时间让学生充分交流讨论）

生10：由函数的极值概念可知，极值点处的切线斜率为0，左右两侧函数的单调性相反，这个可以说明函数极值点左右两侧的导数值异号. 因此求函数极值点时，我们可以充分利用这一特点，先由f′（x）=0解出x的值，然后检验该点左右两侧的导数值是否异号，若异号则可以判断该点为极值点.

师：总结得非常精彩！检验一定不能忘记，因为有些可导函数y=f（x），虽然满足f′（x）=0，但是在x=x处却无法取到极值. 如f（x）=x3，由f′（x）=0得x=0，而x=0不是函数f（x）=x3的极值点.（教师展示f（x）=x3的图象，让学生观察、体验）

接下来，教师引导学生利用表格总结归纳函数的极值与导数的关系（见表1），以此借助表格的直观深化对知识的理解.

师：若图5是y=f′（x）的图象，你能指出函数y=f（x）的极大值和极小值吗？

学生积极思考，教师巡视，发现有些学生理解y=f′（x）的图象和y=f（x）的图象时出现了干扰，未能顺利地解决问题. 教师及时捕捉学生的困惑，启发学生尝试画出y=f（x）的简图，由此通过对比异同顺利地解决了问题.

设计意图 探究函数的极值与导数的关系是本课的一个教学难点，为了帮助学生突破这个难点，教师从学生已有知识出发，充分利用数形结合的优势，引导学生通过观察、交流，理解并掌握了可导函数取得极值的必要条件和充分条件. 同时，反例的给出深化了学生对充分条件的理解. 另外，教师让学生以表格的方式呈现函数的极值与导数的关系，不仅便于学生理解和记忆极值概念，而且培养了学生的数学抽象能力，有利于学生落实数学核心素养. ？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

4. 应用拓展，巩固概念

通过由浅入深的逐层探究，学生已经理解并掌握了极值概念. 为了进一步巩固极值概念，教师引入了一些练习，并借助概念的具体应用帮助学生积累解题经验，促进旧知迁移和新知建构.

练习1：求函数f（x）=x3－4x+的极值.

练习2：求函数f（x）=x+的极值.

练习3：已知函数f（x）=x3+ax2－11x+a3在x=1处取到极值，求实数a的值.

练习4：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取到极值10，求实数a，b的值.

设计意图 充分发挥练习题的示范功能，让学生掌握解决此类问题的基本方法和步骤，规范书寫格式，培养思维的严谨性. 对于以上4道练习题，教师不需要一一讲解，应预留一定的时间让学生去思考、交流，通过练习、板演等活动充分呈现学生的思维过程，结合学生实际反馈调整教学节奏，以此提高教学的有效性.

5. 互动交流，升华概念

课堂教学不仅要让学生理解知识，掌握技能，还要让学生掌握数学研究方法，以此促进学生的可持续发展. 在教学中，教师要秉承“以生为本”的教学理念，通过循循善诱的引导，让学生透过表面深刻地理解概念的内涵和外延，同时通过合理的整合让学生把相似或相关的内容串联起来，以此促进知识的内化. 为了便于学生深刻地理解知识，教师可以引导学生互动交流，充分发挥个体差异的优势，通过不同思维的碰撞来丰富学生的认知体系，提高学生分析和解决问题的能力.

师：请大家谈一谈，通过本课学习，你有哪些收获？

设计意图 教师为学生提供了一个平等交流的舞台，让学生将学习中的所思、所悟、所想、所惑再次呈现出来，通过对所学内容的再次梳理形成清晰的知识脉络，建构完善的认知体系，形成学习能力.

教学思考

在教学中，教师要秉承“以生为本”的教学理念，适时地提出问题，引导学生主动思考、交流，在问题分析和解决的过程中，有效提高学生的学习品质，发展学生的思维能力.

首先，教师要从教学实际出发，精心设计问题，创设教学情境，既要充分预设，又要合理对待生成，使学习真正发生. 教师作为课堂教学的组织者，要结合学生的已有基础知识和经验提出问题，既要让学生“够得着”，又要让学生“跳一跳”. 基于最近发展区创设问题，诱发学生思考，让学生真正参与到课堂中来，通过对问题的思考、分析、探索和解决来巩固学生的“四基”，提升学生的“四能”.

其次，教师要重视学生自主学习能力和合作探究能力的培养，要为学生创造机会去观察、去思考、去探索，充分调动学生的主观能动性，让学习变成一件主动、快乐的事. 当然，学生的“学”离不开教师适当的“导”，即教师要站在学生的角度提出问题，帮助学生分析问题、解决问题，通过适当的引导让学生真正融于课堂，用自己的观察力和思考力获得真知.

再者，教师要重视知识、方法、经验等内容的总结和归纳，关注数学思想方法的升华与体验，引导学生关注问题的本质，掌握数学的研究方法，以此促进学生可持续发展.

总之，在教学中，教师要将学生的发展放在首位，精心设计教学活动，巧妙设计问题情境，为学生铺设思维台阶，以此提高学生的学习能力，提升学生的数学核心素养.