以史为线，普遍联系，渗透文化

［摘  要］ 以数学文化为线索设计“复数”复习课教学，通过复数的代数表示、几何表示和三角表示等内容建立代数、几何、三角等不同领域知识之间的联系，培养学生的综合能力，发展学生的数学核心素养.

［关键词］ HPM；复数；教学设计；高三复习课

作者简介：方倩（1993—），硕士研究生，中学一级教师，主要从事数学史与数学教育研究，曾获华东师范大学基础教育学科教研联盟高中教师教学比赛一等奖、华东师范大学研究生国家奖学金.

设计背景与思路

2018年颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出，“在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养.”［1］教育部考试中心发布的《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》增加了对数学文化的要求［2］.

复习课是一种常见的课型，它的特点是知识的系统化和迁移训练，归纳梳理所学知识，从而在认知结构中形成结构化的知识系统，同时灵活运用所掌握的知识去解决相关问题. 高三的复习课不是简单的知识回顾，而是使学生的认知水平、数学能力和素养能够螺旋上升的复习. 在新课标和高考改革的背景下，在高三专题复习课中以数学知识作为载体适当巧妙地融入数学文化，以深化理解作为目标，有助于提升学生的综合能力，发展学生的数学核心素养.

复数历史与应用，展现了数学学科发展的动态性，蕴含着丰富的数学文化. 复数的代数表示、几何表示和三角表示等内容建立了代数、几何、三角等不同领域知识之间的联系［3］，体现了数学内部的普遍关系. 但学习复数知识后，很多学生认为复数的代数形式和复数的几何形式是完全不同的两个概念，且两者之间没有关系［4］. 大部分学生能够解答与高考卷类似的试题，却无法举一反三，不能灵活运用学过的复数几何形式解答题目，没有真正理解复数概念［5］.

鉴于此，笔者基于学生的认知特点，结合高中数学课程标准的要求，以数学文化为线索设计“复数”复习课教学. 拟定教学目标如下：①通过知识回顾，在历史脉络中整体性掌握和巩固复数的代数表示、几何意义和四则运算等基础知识；②运用复数知识解决解析几何等数学问题，辨析复数与向量的联系与区别，体会数学知识间的普遍关系；③了解复数的三角表示，以及复数知识与其他学科知识之间的联系，感受数学文化，体会复数的学科意义与应用价值.

教学设计与实施

教学设计思路如图1所示.

1. 回溯历史，夯实基础

上课伊始，教师播放微视频带领学生回顾数系的扩充与复数的引入过程，复习复数的代数表示.

师：从视频中数系的扩充，可以发现复数分为哪两大类？

生1：实数和虚数.

师：实数又可分为什么？虚数呢？

生2：有理数和无理数；纯虚数和非纯虚数.

PPT上同步呈现知识点.

师：我们是用怎样的代数形式来表示复数的呢？

生3：z=a+bi.

师：其中a，b都为实数. a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 实部和虚部分别记作什么呢？

生4：实部a记作Re（z），虚部b记作Im（z）.

师：非常好！虚部Im是“虚数”（imaginary number）英语单词的前两个字母. 17世纪法国数学家笛卡儿（R. Descartes，1596—1650）将虚数称为“想象中的数”. 历史上，最早给复数几何解释的应该是英国数学家沃利斯（J.Wallis，1616—1703），今天给我们看到图形表示的是挪威测量员韦塞尔（C.Wessel，1745—1818）.

教师通过微视频呈现复数几何意义的相关史料，让学生体验复数从代数表示到几何表示的过程，接受复数几何意义的产生.

师：复数产生以后，因为无法实际表示，数学家还没有接受虚数的存在. 因此，想要接受复数，就要知道其几何表示. 我们知道实数可以在一维的数轴中表示出来，那么复数可以表示在数轴上吗？如果不可以，我们应该如何操作呢？

生5：再添加一条轴.

师：非常好！韦塞尔为了解决平面与球面多边形的问题，在实轴的基础上添加了一条虚轴. 复数的几何表示最终是由高斯（C. F. Gauss，1777—1855）完善的. 高斯不仅将复数表示为复平面上的一点，而且阐述了复数的几何加法与乘法.

师：复数z=a+bi（a，b∈R）可由有序实数对（a，b）唯一确定，若将此放在直角坐标系中，可看作什么？

师：非常棒！也就是说将集合A表示的图象先扩大倍，再逆时针旋转45°，就可以得到集合B表示的图象. 可见，用三角形式解决复数相乘问题就很简便了.

说明 例4旨在引入复数三角表示的应用. 通过复数的三角表示及几何运算从新的几何角度切入，能更快更好地解决此类题目，并在复习过程中通过其运算意义，加强学生理解复数的几何意义. 除此之外，从代数角度切入，亦可解决本题，将其作为学生的课后作业，让学生在解决过程中对比上述两种方法，深刻体会复数三角表示的便利以及复数的本质.

高中数學课程标准将“复数”置于必修课程主题三“几何与代数”内，要求学生掌握复数的表示、运算与几何意义；复数的三角表示作为新增的选学内容，将平面向量、三角函数、解析几何与复数完美地融合在一起，使学生进一步体会到几何与代数之间的密切关系［6］.

4. 课堂小结，感悟价值

教师带领学生从知识层面、思想方法层面和情感价值层面小结本节课.

（1）知识层面：以史为线，带领学生复习复数的代数表示、几何表示与三角表示，联络解析几何、向量以及三角函数等知识，形成并完善数学知识网络；（2）思想方法层面：融入数形结合思想、转化思想；（3）情感价值层面：复数并不是虚无缥缈的数，现今已被广泛应用于流体力学、信号分析等学科. 在复数的基础上，数学家哈密顿构造了四元数模型，从而产生了物理学中著名的麦克斯韦方程，陈省身说道：“没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明. ”让学生了解数系为何扩充，复数在电磁学、量子力学等领域的价值，从而激发学生学习数学的热情.

最后，小结时学生给出了令人惊喜的回答：“数系从实数系扩充至复数系的过程，就如世界观决定方法论，掌握的知识不一样，解决的问题也就不同了. ”

结语

本节课以史为线重构复数的发展历程. 首先，运用附加式展示复数的历史微视频，回顾数系扩充过程，带领学生复习复数的相关概念，使学生自己发现复数与实数的异同，揭示复数的二元性；其次，运用顺应式介绍欧拉公式，引导学生自主探索复数的三角表示以及四则运算规律.

用复数的几何意义将解析几何、向量和三角等知识有机联系在一起，构建知识之谐；以两个微视频为载体，带领学生走过复数发展、完善两个阶段，介绍著名的欧拉公式，感受数学的博大精深，展示数学文化之魅；结合三角内容的复习，探究复数的三角表示，让学生体会探究之乐；从复数的代数表示、几何意义和三角表示的角度去解决例题，产生不同的解题方法（一题多解），培养学生探究与解决问题的能力，体现方法之美；在例题的讲解中，用复数的向量表示和三角表示解决问题，发展学生数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养，同时提升运用转化思想与数形结合思想解决问题的能力；学生在复数的发展过程中，数系的扩充一步步解决了小的数系中不能解决的问题，培养学生勇于探索的精神，体现德育之效.

复数复习课建立在学生对复数知识有一定了解的基础上，但是对复数实际意义、本质的理解还浮在表面上. 本节课总体上完成了教学目标，学生对复数的代数表示和几何表示能建立起一定的联系，并能转化为解析几何问题求解；通过探究复数的三角表示，深化理解复数概念；数学史的融合给复习课注入了新鲜的血液，数学的动态发展让学生感受到数学文化的魅力，激励学生遇到困难时能站在更高的角度去思考问题. 在教学中，欲借助历史来设计课堂探究，需要对数学史料有深刻的理解和把握.作为教师，须知其然也应知其所以然，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索，帮助学生突破原有桎梏，真正理解并接受复数.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）［Ｍ］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 教育部考试中心. 关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知［EB/OL］. （2016-09-26）［2021-04-01］.

［3］ 汪晓勤，沈中宇. 数学史与高中数学教学——理论、实践与案例［Ｍ］. 上海：华东师范大学出版社，2020.

［4］ A. Panaoura，L.Elia，A.Gagatsis，P. Giatilis.Geometric and algebraic approaches in the concept of complex numbers［Ｊ］. International Jou-rnal of Mathematical Education in Science and Technology，2006.

［5］ 許蕾. 复数在中学数学中的教学研究［Ｄ］. 西北大学，2017.

［6］ 闫洪德. 基于数学抽象过程中的问题驱动探析——以“复数的三角表示（第一课时）”教学设计为例［Ｊ］. 数学通讯，2020（16）：19-21.