关注类比转化 引领思维发展

［摘  要］ 类比是“发现”知识的推理方法，在数学教育教学中具有十分重要的作用，无论是从时间上还是从内容上，都应当给予足够的重视． 文章通過探究棱柱、棱锥、棱台体积公式的推导过程，促使学生自觉地、科学地用类比方法获取新的知识，培养学生的创造性思维能力．

［关键词］ 类比推理；数学发现；课堂教学；思维能力

基金项目：苏州市教育科学“十四五”规划2021年度重点课题“指向复杂情境问题解决的高中生数学建模素养培育路径研究”（2021/LX/01/049/09）.

作者简介：梅滋亚（1988—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，2021年获得苏州市高中数学青年教师优秀课评比活动二等奖，2019年和2021年获得苏州市中小学教师专业素养竞赛三等奖，2021年获得苏州工业园区“教坛新秀”荣誉称号．

问题的提出

根据两个（或两类）对象在某些方面相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理． 开普勒曾说，“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密”． 拉普拉斯说，“甚至在数学里发现真理的主要工具是归纳和类比”． 波利亚说得更为形象，“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”． 由此可见，类比在数学教育教学中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地、科学地用类比方法获取新的知识． 本文尝试以此为指导，以棱柱、棱锥、棱台体积公式的推导为例进行设计和分析，现将其中的一些想法整理成文，与同行交流．

教学分析

1. 教材分析

本节课所授内容源于人教A版第八章“立体几何初步”的第三节．受学生所学知识基础的限制，教科书上大部分体积公式都没有给出推导过程，而是直接给出的． 教科书在本节后面的“探究与发现”栏目中介绍了祖暅原理与柱体、锥体的体积，在“空间直线、平面的垂直”的例6中介绍了棱台体积公式的推导． 教科书编写者给本节教学的建议为：本节内容可以培养学生的逻辑推理素养和论证能力，教学时可以根据学生的知识基础安排教学． 笔者通过整合这些内容，以平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程为类比线索，探究棱柱、棱锥、棱台的体积公式，渗透化归与转化、特殊与一般等数学思想方法． 当学生学习直线与平面垂直的位置关系后，就可以完整推导本节课的公式，这是提升学生逻辑推理、直观想象素养和空间想象能力的良好契机．

基于以上分析，笔者把本节课的教学目标定为：①利用祖暅原理和长方体体积公式推导棱柱、棱锥、棱台的体积公式；②类比平面图形面积公式的推导过程，探究棱柱、棱锥、棱台的体积公式，提升学生的知识迁移能力，并在这个过程中培养学生化归与转化、特殊与一般等数学思想方法；③通过对棱柱、棱锥、棱台体积公式的探究，提升学生逻辑推理、直观想象等素养．

教学重点：棱柱、棱锥、棱台体积公式的推导．

教学难点：三棱锥和棱台体积公式的推导．

2. 学情分析

学生对基本立体图形的结构特征以及空间点、直线、平面之间的位置关系已经有了初步认识，这为研究棱柱、棱锥、棱台的体积奠定了基础． 另外，在小学和初中阶段，学生经历了平面图形面积的测量过程，并逐步研究了长方形、平行四边形、三角形以及梯形的面积，这为本节课的学习提供了思维范式，可以引导学生类比平面图形面积的探究历程来探究空间几何体的体积． 但本节课内容对学生逻辑推理能力、空间想象能力的要求较高，教学中可以采用启发引导、合作探究等多元教学法去完成．

教学过程设计

1. 回顾定义，追溯问题本源

回顾：我们在小学是如何测量平面图形面积以及空间几何体体积的？

若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体积为V=abc或V=Sh，其中S，h分别为长方体的底面面积和高．

设计意图 回顾小学课本（如图1所示），追溯知识本源，进一步明确体积的测量方法，提升学生的学习兴趣． 复习长方体的体积公式，为推导棱柱、棱锥和棱台的体积公式奠定基础．

2. 寻找策略，实践探究过程

探究1：长方体的体积是其底面面积与高的乘积，那么一般的直棱柱的体积如何计算呢？一般的斜棱柱呢？

师生活动：通过讨论发现，一般的直棱柱可以通过“分割拼补”，变成直四棱柱（长方体），所以一般的直棱柱的体积也是其底面面积与高的乘积．

追问1：小学时我们已经知道，通过“分割拼补”，由长方形的面积公式可以推导出平行四边形的面积公式（如图2所示）． 类比猜想，斜棱柱的体积公式是否也可以通过“分割拼补”的方法得到？

师生活动：类比上述过程，实物模型观察后小组讨论，运用几何画板演示（如图3所示）发现，通过“分割拼补”可以将斜棱柱转化为直棱柱，求得斜棱柱的体积为纵截面（垂直于侧棱的面）面积与侧棱长的乘积． 但是在具体应用中，这样计算斜棱柱的体积不方便，教师继续追问是否还有别的计算方法．

设计意图 通过类比平行四边形面积公式的推导过程，得到斜棱柱体积公式，虽然这个公式不是课本上呈现的公式，但这种思考问题的角度值得学生去体会． 因为类比推理既是一种创造性的思维模式，也是提出新问题和获得新发现的研究过程，这对学生以后的学习和生活都大有裨益．

追问2：取一摞书或一摞纸整齐地堆放在桌面上，将它如图4那样改变一下形状，请问体积是否会发生变化？

师生活动：观察讨论后发现，这摞书或纸的形状变化前后高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，说明变形后这摞书或纸的体积与变形前相等，于是引出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”． 同时，适当介绍相关的数学史，增强学生的民族自豪感．

追问3：如果一个棱柱与一个长方体的高和底面面积都相等，那么它们的体积有何关系？能否借助祖暅原理解释？

师生活动：讨论后发现，将它们置于同一平面上（如图5所示），用一個与底面平行的平面去截它们，可以证明截面（阴影部分）面积都等于各自底面的面积，由祖暅原理可知，它们的体积相等．

由此，得到棱柱的体积公式为V=Sh，其中S，h分别为棱柱的底面面积和高．

设计意图 利用祖暅原理和长方体体积公式，推导棱柱的体积公式，让学生了解数学文化，体会转化思想方法．

探究2：小学时我们已经知道，通过“分割”，由平行四边形的面积公式可以推导出三角形的面积公式（如图6所示）． 类比猜想，棱锥（可以先研究三棱锥）的体积公式是否也可以通过“分割”的方法得到？

师生活动：教师引导学生分析三角形和三棱锥的“相似性”——三角形有一个底边，其他的边交于一点；三棱锥有一个底面，其他的面交于一点.为类比猜想奠定思维基础．

设计意图 由于三棱锥和三角形有一定的“相似性”，因此可以引导学生猜想：既然能用上面的方法（图6所示的方法）求三角形的面积，就可以用类似的方法求三棱锥的体积．

追问1：三角形的面积与底边边长和底边上的高有关，猜想三棱锥的体积与哪些量有关.

师生活动：猜想三棱锥的体积与三棱锥的底面面积和高有关．

追问2：能否利用祖暅原理证明等底等高的两个三棱锥的体积相等？

师生活动：设平行于底面的任一平面截三棱锥O-ABC所得的截面为△ABC，截三棱锥P-DEF所得的截面为△DEF（如图7所示）． 根据相似原理，可以证明S△ABC=S△DEF．由祖暅原理可知，三棱锥O-ABC的体积与三棱锥P-DEF的体积相等，即等底等高的两个三棱锥的体积相等．

追问3：若三棱柱ABC-ABC的底面面积为S，高为h，类比三角形面积公式的推导过程，能否推导出三棱锥A-ABC的体积？

师生活动：分小组合作探究． 三棱柱ABC-ABC的底面面积为S，高为h，则它的体积为Sh．类比平行四边形分割成两个面积相等的三角形，把三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥（如图8所示），每个三棱锥的体积是Sh． 如果三棱锥A-ABC以△ABC为底，那么它的底面面积是S，高是h，而它的体积是Sh． 这说明三棱锥的体积等于它的底面面积与高的乘积的三分之一．

追问4：一般地，一个底面面积和高分别为S和h的n棱锥的体积公式是什么？能否借助三棱锥体积公式的推导过程得到？

师生活动：通过模型演示和交流讨论，学生不难发现，任意一个n棱锥都可以分割成n-2个高相等的三棱锥，显然这n-2个三棱锥的体积之和为Sh．

由此，得到棱锥的体积公式为V=Sh，其中S，h分别为棱锥的底面面积和高．

探究3：若一个梯形的上底、下底和高分别为a，b和h，我们可以用“补形”的方法推导梯形的面积公式． 类比猜想，棱台的体积公式是否也可以通过“补形”的方法得到？

如图9所示，延长梯形两腰交于点E，则S=S-S． 过点E作梯形下底的垂线，分别与梯形的上底、下底相交于点M，N. 设△ECD的高为h，则EM=h，于是S=b（h+h），S=ah，所以梯形的面积S=S-S=b（h+h）－ah=bh+（b－a）h ①.

由梯形上底、下底平行可得=，所以h=，将其代入①式，得S=bh+（b－a）=（a+b）h．

师生活动：教师引导学生分析梯形和棱台的“相似性”——梯形上底、下底平行，两腰延长后相交于一点；棱台上底面、下底面平行，侧面延展后相交于一点；梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形得到的，棱台可以认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥得到的，为类比猜想奠定思维基础．

设计意图 由于棱台和梯形有一定的“相似性”，让学生猜想求棱台体积的方法与求梯形面积的方法是类似的，引导学生逐步探究这种方法是否可行．

追问1：梯形面积与其上底、下底和高有关，猜想棱台的体积与哪些量有关.

师生活动：猜想棱台的体积与棱台的上底面、下底面面积和高有关．

追问2：已知一个棱台的上底面、下底面面积分别为S′，S，高为h．类比上述梯形面积公式的推导过程，能否推导出棱台的体积公式？

师生活动：给出一个四棱台示意图，让学生先自主探究推导，然后合作交流，最后投影学生的探究成果，请学生代表上台讲解． （限于篇幅，此处不再赘述）

3. 反思小结，突出数学思想

（1）回顾本节课的研究历程，我们都学到了哪些知识？

（2）推导棱柱、棱锥、棱台体积公式的过程中蕴含了哪些数学思想和方法？

师生活动：回顾本节课的研究历程，体会公式推导过程中蕴含的数学思想和方法：①转化思想. 通过祖暅原理，把棱柱的体积转化为长方体的体积；通过“分割”方法，把三棱锥的体积转化为三棱柱的体积；通过“补形”方法，把棱台的体积转化为棱锥的体积． ②类比思想. 类比三角形面积公式的推导过程得到三棱锥的体积公式；类比梯形面积公式的推导过程得到棱台的体积公式． ③由三棱锥的体积公式推导n棱锥的体积公式，用到的是从特殊到一般的思想．

设计意图 通过反思小结，进一步体会棱柱、棱锥、棱台体积公式推导过程中所蕴含的类比、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法，提升学生逻辑推理、直观想象等素养．

结语

史宁中教授编写的《数学基本思想18讲》中指出，类比推理是基于两个或两类事物的归纳推理，是通过经验过的东西推断未曾经验的东西，是从事物的过去和现在推断事物的未来，是“发现”知识的推理，这是一种创造性思维模式． 在数学教育教学的过程中，无论是从时间上还是从内容上，都应当给予足够的重视，应当在学习的过程中，让学生感悟这种推理模式的“自然性”，让学生逐渐积累“正常”思维的经验，不仅要学会“分析和解决”问题，也要学会“发现和提出”问题［1］．

类比方法本身有其独特的魅力，因为在推理的过程中，可以借助类比使得思维在两个或两类事物中跳跃，这样就极大地丰富了数学推理过程的想象力． 平面几何和立体几何在研究对象和方法、构成图形的基本元素等方面是相同或相似的，因此两者类比是研究它们性质的一种非常有效的方法．勤于运用类比推理去探索和研究问题，有利于学生创造性思维能力的培养． 当然，在类比的过程中会涉及化归与转化、特殊与一般等重要的数学思想方法，学生的逻辑推理、直观想象等素养也会自然得到培养．

参考文献：

［1］ 史宁中． 数学基本思想18讲［M］． 北京：北京师范大学出版社，2017．