从科普图书中领略几何学之美

[摘 要]几何学是数学的一个分支，研究的是单个物体的形状，还有各种物体之间的空间关系，以及周围空间的属性。从人类文明诞生之初，人类的祖先便开始了对几何学的探索，它是数学已知最古老的分支之一。在几何学的发展历史上，许多知名人物都做出了卓越的贡献，例如，欧几里得、斐波那契、黎曼到牛顿、爱因斯坦。几何学不仅具备数理逻辑的智性之美、黄金分割的视觉之美，更具备贴近日常生活的鲜活之美。疫情传播、混乱的美国政治进程、国际跳棋锦标赛、人工智能、英语、金融乃至诗歌，都与几何学有着不可分割的密切联系，并衍生出几何学的新分支。总之，几何学不是一件带着教室气味的文物，而是一门鲜活的学科，正在以前所未有的速度向前发展着。

[关键词]几何学；黄金分割；欧几里得几何；黎曼几何；斐波那契数列

第95届奥斯卡金像奖颁奖典礼上，影片《瞬息全宇宙》斩获包括最佳影片奖在内的七项大奖，主演杨紫琼成为奥斯卡史上第一位亚裔最佳女演员得主，创造了好莱坞亚裔电影的历史。

影片讲述了在每一个选择都会分裂出一个平行宇宙的世界里，杨紫琼扮演的洗衣店老板如何在不同的平行宇宙中穿梭，尝试挽救自己家庭的故事。

整个宇宙有数百万个不同可能分裂出的平行时空，洗衣店老板在别的宇宙中或是影星，或是科学家，或长着奇怪的手指，甚至成为别的物种，好像在这几百万个选项中有一个最优解。

这抛出了一个永恒的话题：如果再来一次，你还会做出相同的选择吗？我们真的能够为自己选一条十全十美的路吗？事实上，在我们生存繁衍的这个宇宙中，的确有一个接近完美的近似解——几何学。

一、几何学的定义

什么是几何学？字典会告诉你，几何学是数学的一个分支，它研究的是单个物体的形状，还有各种物体之间的空间关系，以及周围空间的属性。

抛开这些定义，几何学实际上可以理解成我们对这个世界最原始的认识：自出生之日起，我们就开始思考两个问题：事物在哪里？它们长什么样子？有意思的是，几何学也很有可能是“人之所以为人”的关键标志之一。

神经科学家正在探索形状及我们认知形状的能力，有可能是让我们这个物种独一无二的标志之一。研究人员曾经比较过人类和狒狒感知几何形状的能力。相比于狒狒，人似乎明显对规则的几何图形更敏感。或许对几何图形的识别，正是人类和其他灵长类近亲直接的认知“奇点”。

从人类文明诞生之初，人类的祖先便开始了对几何学的探索。它是数学最古老的分支之一。目前已知的古老的应用几何学实例是一块具有3700年左右历史的古巴比伦泥板，它被认为是用来划定精确的土地边界的一张“平面图”。

早在公元前3100年前后，已经有明确的书面记录表明，古代人已经开始发展数学规则和技巧来丈量土地、建造楼宇和测量储存容器。就连“geometry”（几何学）这个词，都是希腊语“geo”（地球）和“metron”（测量）的组合，代表了我们对世界最初的认识。

几何学（Geometry）在希腊语中的意思是测量土地，用来为一块地、一群人或一群马赋予几何图形，说到底就是测量两点之间的距离，再将它们呈现出来。

而现代几何学认为几何图形并不是固定的，它可以随着我们的意志而改变。比如左右手分别握住绳子两端，让一只蚂蚁沿着一条绳子前进，如果我们将双手靠近，這个距离就会塌缩至几近为零。这条弯曲的绳子可以是时空中的捷径，也可以是 现实生活中的公路、高铁或者航线。

二、从欧几里得几何到黎曼几何

在几何学的发展历史上，许多知名人物都做出了卓越的贡献。但或许几乎很少有人能与欧几里得（Euclid）和他的《几何原本》相提并论。

公正地说，我们对历史上的欧几里得知之甚少。公元前300年左右，他在埃及亚历山大城生活，这大概就是我们所知的有关欧几里得的一切了。但他的《几何原本》收集了当时希腊数学界掌握的几何学知识。

严格说来，这本书的大部分内容早在欧几里得时代之前就已经为人所知了，但它以极其新颖的方式将大量知识组织在一起，从为数不多的几乎不可能被怀疑的公理，一步一步地推导出关于三角形、线、角和圆的一整套定理。在欧几里得几何出现之前，这样的结构是不可想象的。在此之后，它成为与知识和想法有关的一切令人赞赏之物的典范。

《几何原本》[1]中包含了5条几何公设：

1.任意两点都可以通过一条直线相连；

2.任意线段都能延伸成一条直线；

3.任意线段都可以一个端点为圆心、以这条线段为半径作圆；

4.所有直角全都相等；

5.若一条直线与两条直线相交，使同侧的两角之和小于两个直角，那么这两条直线无限延伸必定相交。

或许不用特别说你也能感觉到，第5条公设似乎隐隐约约和其他公设有所不同，最直观的一点就是它没有其他的那般简洁优美。事实上，欧几里得本人和其他许多人都意识到了这一点。在2000多年的时间里，许多人都企图提出一则替代方案，或者利用其他公设证明它。

最终人们发现，第5公设之所以奇怪，是因为在某些情况下它有可能不成立。换句话说，几何学并不等于欧几里得几何，这种体系实际上是不完备的。

最终做到了这一点的是一位名叫黎曼（Bernhard Riemann）的数学家。19世纪中叶，黎曼公开探讨了球面几何，这几乎重新定义了几何学的概念，开启了超越欧几里得的非欧几何探索。非欧几何的发展甚至对其他各个研究领域都带来了深远的影响。

三、从低维时空走向高维时空

20世纪初，一位名叫爱因斯坦的年轻人正在酝酿着一场即将颠覆物理学界的理论风暴。但他在发展理论的过程中却遇到了困难，作为一名物理学家，他需要某种“顺手的工具”，也就是一些必要的数学方法和技巧的帮助。

最终成就爱因斯坦的正是当时相当新颖的黎曼几何。它作为一种强大的数学基础，帮助爱因斯坦构建出了一个全新的引力理论，也就是我们现在耳熟能详的广义相对论。用理论物理学家沃特（PeterWoit）的话说，“如果没有数学家的帮助，难以想象爱因斯坦怎样才能完成相对论的研究”。

而这不过是几何学帮助其他学科认识世界的例证之一，几何学与其他学科，尤其是近代物理学的互相影响远比这要更复杂。

在现代最具潜力的“万有理论候选”之一——超弦理论中，宇宙被想象成了由振动的极微小的弦构成的。如果这是真的，数学要求这些“弦”必须在由9个空间维度加上一个时间维度的十维宇宙中振动和移动。

但显然，我们仅仅生活在一个三维空间加一个时间维度的四维宇宙中。还有其他维度在哪里？让超弦理论学家兴奋的是，他们再次从几何中找出了答案。

数学家卡拉比（Eugenio Calabi）和丘成桐已经描述出了一种六维几何图形，名叫卡拉比-丘流形[2]。它符合弦理论学家要求的结构，额外维度可以以这种复杂的方式在非常小的尺度上“揉成一团”，隐藏在我们的视野范围之外。

四、从数理的逻辑之美回归现实的鲜活之美

可以这么说，经过如此漫长的探索，几何学早已包罗万象，从最初出现在泥板上巴比伦人发明的“原三角学”，到如今超越十维的世界，毫不夸张地说，它甚至可以解释世间万物的运行

机制。

除了线段、地球仪，和我们在课本上学到的三角形、矩形和圆形之外，“黄金分割”可能是我们听过最多的几何名词。它和美学有着密不可分的联系，断臂的维纳斯是它的“作品”之一。达·芬奇[3]似乎也是这个奇妙数字的代言人，而它最初的名字叫“斐波那契数列”。

斐波纳契数列是指数列中从第三项起的每一个数字都等于前两项之和，且它与前一项之比逐渐趋近于1.618，即黄金分割，也称作φ。

1，1，2，3，5，8，13，…

黄金分割自带一种神秘感和内在的美感，所以经常会被用在各种设计方案中。比如2008年百事可乐换成了“地球仪”标识。“黄金分割”的魅力也逐渐超出了数学和美学范畴，有一种观点认为，黄金比例和股市的周期波动存在着一定关系。

在1998年的电影《圆周率》中，主角意外发现1.618这个数似乎是预测股价的关键因素。其实早在20世纪初，一个叫拉尔夫·尼尔森·艾略特的美国会计师在仔细研究了75年的股票行情之后，建立了艾略特波浪理论。该理论认为股市的波动是由可预测的涨跌趋势模型控制的，当前趋势与上一个趋势的长度之比是黄金比例即1.618，投资者可以根据这一原则预测股市。

尽管成功率变幻莫测，但时至今日，波浪理论依然没有被抛弃。美林证券公司的技术分析指南中有一整章都是关于该理论的，彭博终端会在股价图上画出短短的斐波纳契线，帮助预测最近一次趋势以φ的尺度重复出现之前，股价可以上升到什么水平。或许一种方法能否真正有效并不重要，重要的是如果有足够多的人认为它有效，就会在市场与艾略特波浪理论的预测之间建立些许关联吧。

回到《瞬息全宇宙》的叙事中，选择为何如此重要？几何能否帮我们在众多的选择组合中挑选出通向成功的那一条路径？首先我们要引入一个新的概念：尼姆游戏[4]。

尼姆游戏的玩法很简单，两个玩家坐在几堆石头面前，轮流拿走石头。每次只能从其中一堆石头里拿，且每次至少拿走一块，不设上限，拿走最后一块石头者胜。

让我们先从两堆石头、每堆两块的简单情境开始构建树状图：表示游戏起点的最底部是树根，向上的路径被称为树枝，树枝末端没有进一步分叉的点是树叶。

树状图叙事的要义是：在人生的尼姆游戏中，一旦做出选择，我们就会永远待在那根树枝及其分支上，再也无法回头。我们唯一的任务就是做出一个又一个选择，沿着越来越细的树枝不断往上爬，当最后无路可选时，游戏就结束了。可以说，人生就是一棵树。我们为电影赋予浪漫，因为我们所在的宇宙无法穿梭，几何把它们串联在不同的次元，选择的脚步落下，其他的选项便坍塌了。

五、用几何丈量世界和我们自己

对大多数人来说，几何学是一门充斥着枯燥刻板习题的课程，高中一毕业，它就和你的牙套、你曾经追过的流行歌曲一起，被扔进了“故纸堆”。当提起几何学时，如果你首先想到的是如何通过一系列步骤证明关于三角形的某个显而易见的性质，那么这并不是几何学，而只是几何学的很小一部分。打个比方，三角形之于几何学，就好比一个动词之于一部精彩的小說。

一根吸管有几个洞？尼姆游戏的必胜玩法是什么？数字货币交易中的公钥和私钥是怎么生成的？我们如何做才能阻止一场流行病肆虐世界？人工智能在学下国际象棋方面得心应手，而在学习朗读句子方面却力不从心，这是为什么？古希腊的黄金分割比能用来预测股票市场的走势吗？如果你的孩子真想学会思考的方法，他们应该在学校学些什么？所有这些问题都跟几何学有关，千真万确。在《几何学的力量》[5]中，乔丹·艾伦伯格带领我们展开了一场几何学的探索之旅：

1.你将在欧几里得、毕达哥拉斯、庞加莱、费马、康威、牛顿等一众大咖“导师”的指引下，纵横于经济、政治、金融、大数据、宇宙等多个重要领域。

2.你将在“画得很烂”的手绘插图的帮助下，习得出色的问题推理能力。

3.你将会读到“诺特的裤子”“笨蛋的难关”“醉汉下围棋”“无处不在的车钥匙”“香农图书馆”等诸多有趣的几何故事。

从这个意义上来说，几何学并未超越时空，它就在我们身边，与日常生活中的各种推理交织在一起。当我们真正深入地思考几何问题时——无论是尝试绘制流行病的传播过程，还是在游戏的策略树上随机游走，无论是为民主代议制拟定可行性草案，还是理解哪些事物会给人一种相似的感觉，无论是在房子内部想象房子外部的情景，还是像林肯那样严厉地批评我们的信念和假设——我们每个人对几何学的理解或许都不一样，但每个人也都离不开几何学。

顾名思义，几何学是我们衡量世界的方式，也是我们衡量自己的方式。

结束语

我证明了一个定理，然后房子开始膨胀：

窗户猛然飞起，贴着天花板盘旋，

伴随一声叹息，天花板飘然离去。

……

头顶上窗户的合页好似蝴蝶，

在阳光的照射下闪闪发亮，

它们正飞向某个真实但尚未证明的点。

——《几何学》，美国桂冠诗人丽塔·达夫

几何之美在于，它会让人诗兴大发。相交的平面会变成翩翩起舞的蝴蝶，尽管它不如标本栩栩如生，但可以毫不费力地从我们的脑中飞出来。

几何之美还在于它是一种权威的来源——勾股定理之所以是正确的，并不是因为创造它的人如是说，而是我们可以证明它是正确的。在学校的其他课程中，我们往往必须遵从老师或者教科书的权威。而在几何课上，你可以构建自己的知识，将主动权握在自己手中。

更重要的是，几何学作为一个蓬勃发展的领域，它不是一件带着教室气味的文物，而是一门鲜活的学科，正在以前所未有的速度向前发展着。

如果你在此时选择拥抱几何学，它也会为你抛出一条新的可能性树枝。

参考文献

[1]欧几里得.几何原本[M].张卜天，译.南昌：江西人民出版社，2019：15-17.

[2]芒德布罗.大自然的分形几何学[M].凌复华，陈守吉，译.北京：科学出版社，2022：39-41.

[3]艾伦伯格.魔鬼数学[M].胡小锐，译.北京：中信出版社，2015：73-76.

[4]艾萨克森.列奥纳多·达芬奇传[M].汪冰，译.北京：中信出版社，2018：121-124.

[5]艾伦伯格.几何学的力量[M].胡小锐，钟毅，译.北京：中信出版社，2023：67-71.

作者简介：苏扬（1980— ），女，汉族，山东荣成人，中信出版集团股份有限公司，副编审，硕士。

研究方向：图书编辑与出版。