导数章节小测
2023-03-13正高级教师特级教师
张 琥(正高级教师 特级教师)
(北京外国语大学附属苏州湾外国语学校)
(本试卷共22小题,满分150分,考试用时120分钟)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－1处取得极小值,则c的值为( ).
A.－1或－3 B.－1 C.－3 D.1或3
2.若直线y＝4x＋m是曲线y＝x3－nx＋13与曲线y＝x2＋2lnx的公切线,则n－m＝( ).
A.11 B.12 C.－8 D.－7
3.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(－1)＝0,当x＞0时,xf′(x)－f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( ).
A.(－∞,－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1,＋∞) C.(－∞,－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1,＋∞)
4.若过点(a,b)可以作曲线y＝ex的两条切线,则( ).
A.eb＜aB.ea＜bC.0＜a＜ebD.0＜b＜ea
5.已知a∈R,设函数若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为( ).
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]
6.声音是由物体振动产生的.我们平时听到的声音几乎都是复合音,复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动,它的各部分(如二分之一、三分之一、四分之一等)也同时在振动.不同的振动的混合作用决定了声音的音色,人们以此分辨不同的声音.已知刻画某声音的函数为,则其部分图像大致为( ).
7.过平面内一点P作曲线y＝|lnx|的两条互相垂直的切线l1,l2,切点分别为P1,P2(P1,P2不重合),设直线l1,l2分别与y轴交于点A,B,则△ABP面积的取值范围为( ).
8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,则下列结论中错误的是( ).
A.∃x0∈R,f(x0)＝0
B.函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在(－∞,x0)上单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)＝0
二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.)
9.已知a,b∈(0,1),且a＋b＝1,则( ).
10.已知函数f(x)＝xlnx,若0＜x1＜x2,则下列结论正确的是( ).
A.x2f(x1)＜x1f(x2) B.x1＋f(x1)＜x2＋f(x2)
11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,记g(x)＝f′(x).若均为偶函数,则( ).
A.f(0)＝0 B.C.f(－1)＝f(4) D.g(－1)＝g(2)
12.已知函数,则下列结论正确的是( ).
A.f(x)在(0,2)上单调递增
C.f(x)的值域为[－1,＋∞)
D.若对于任意的x∈R,都有(x－1)(f(x)－g(x))≤0成立,则k∈[2,＋∞)
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.已知函数f(x)＝a(lnx－1)－x(a∈R)在区间(e,＋∞)内有最值,则实数a的取值范围是_________.
16.已知函数f(x)＝|lgx|－kx－2,给出下列四个结论:
①若k＝0,f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是_________.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1).
(1)当a＝4时,求曲线y＝f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(2)若当x∈(1,＋∞)时,f(x)＞0,求a的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)＝ex－1－ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
19.(12分)已知函数f(x)＝ex＋1＋(1－a)x＋b.
(1)若曲线y＝f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y＝ex,求实数a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥0恒成立,求的最小值.
(1)讨论F(x)的单调区间;
(2)若F(x)在x＝t(t≠1)取得极小值,求g(t)的最小值.
(1)当a＝－1时,求f(x)的极值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1＜x2,求证:f(－x1)＋f(x2)＞x1.
22.(12分)已知函数f(x)＝ae2x－x2(a∈R).
(1)设f(x)的导函数为g(x),讨论g(x)零点的个数;
(2)设f(x)的极值点为x1,x2(x1＜x2),若恒成立,求实数λ的取值范围.
