关注数学文化与复数的交会

邓兴扬

(贵州省思南县第八中学)

最近几年,高考评价体系突出强调以学科素养为导向,而高考数学对学科素养的考查目标之一就是数学文化,具体表现为古今中外的数学文化.基于此,学生应充分关注数学文化与复数知识的交会.处理此类问题时,学生需要认真读题,在了解有关数学文化的同时,挖掘题设给出的关键信息(概念、结论、公式、定理等),而求解具体的数学问题时,需要将题设关键信息以及有关复数知识加以灵活、综合运用,方可顺利破解目标问题.

1 关注欧拉公式与复数的交会

A.复数e2i对应的点位于第三象限

综上,选BCD.

2 关注费马点与复数的交会

于是,本题即求|QM|＋|QN|＋|QP|的最小值.注意到点M(2,0),N(－2,0),P(0,－2),且易知△PMN是等腰三角形,符合三个内角均小于120°,根据题设可知:满足∠MQN＝∠NQP＝∠PQM＝120°的点Q,可保证|QM|＋|QN|＋|QP|取得最小值.又由图1分析易知:当点Q与点重合时,满足∠MQN＝∠NQP＝∠PQM＝120°.于是,可得

图1

故|z－2|＋|z＋2|＋|z＋2i|的最小值为2 3＋2.

3 考查棣莫佛定理与复数的交会

z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].

根据棣莫佛定理,我们可推导获得复数的乘方公式:

[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N*).

若复数ω是6次单位根,则根据题意知ω6＝1,进而知|ω|＝1,于是,可设复数ω＝cosθ＋isinθ,再利用复数的乘方公式可得ω6＝cos6θ＋isin6θ＝1,从而必有cos6θ＝1,且sin6θ＝0,因此,6θ＝2kπ(k∈Z),即又因为ω∉R,所以取k＝1,即得到一个满足条件的

第二空设计较好,属于“结论开放型”数学问题,答案不唯一,还可以取k＝2得到一个满足条件的ω＝;取k＝4得到一个满足条件的;取k＝5得到一个满足条件的.实际上,进行一般分析可知满足条件的ω的取值一共有四个,它们分别是

总之,举例解析可知:关注数学文化与复数的交会,不仅有利于帮助同学们亲身体验试题是如何交会的(往往先叙述一个相对陌生的数学文化知识,再灵活设置相关而又具体的数学问题),而且也有利于帮助同学们理解和掌握常用解题方法.

(完)