例析复数综合性问题

徐 华

(湖北省天门实验高级中学)

复数作为连接数与形的纽带,已经渗透在高中数学的许多内容中,将复数与其他数学知识融合的试题层出不穷,这类试题不仅能锻炼学生的思维,培养学生的综合素养,而且具有一定的欣赏价值.

1 复数与解析几何的综合

复数既有代数特征,又有几何特征,与解析几何有着“惊人相似的一幕”,将两者融合,沟通了它们之间的关系,凸显了复数的几何意义.

图1

(1)若直线l经过圆心C,求证:l与m垂直;

(2)设圆心C到直线l的距离为d.

当直线l的斜率不存在时,l的方程为x＝－1,此时,故|PQ|2＝4×(4－1)＝12,则|PQ|＝2 3,满足题意.

当l的斜率存在且为k时,l的方程为y＝k(x＋1),,所以,解得,此时l的方程为4x－3y＋4＝0.

综上,直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)当直线l的斜率不存在时,可知A(－1,0),,即t＝－5.

当直线l的斜率存在且为k时,设l的方程为y＝k(x＋1),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立

所以

综上,t为定值,且t＝－5.

2 复数与三角函数的综合

复数的表示既有代数形式,又有三角形式.当复数用三角形式表示时,自然与三角函数有着密切的联系,于是将三角变换与复数的三角表示融合在一起的试题应运而生.

综上,选A.

3 复数与二项式定理的综合

二项式定理与复数运算中的棣莫佛定理有着天然的联系,将两者融合后编制的试题既能考查定理的基本应用,又能考查定理的灵活运用.

由此可见,复数综合性问题,大大提高了试题的档次与难度,对考生的综合能力和综合素养提出了更高的要求,应引起大家的重视.

(完)