强基计划数学备考系列讲座(13)<br/>——导数及其应用

强基计划数学备考系列讲座(13)
——导数及其应用

2023-03-13王慧兴正高级教师特级教师

高中数理化 2023年3期

关键词：凹凸切线极值

王慧兴(正高级教师特级教师)

(清华大学附属中学)

1 知识技能

1.1 要点梳理

表1

1.2 要点解析

1)整体把握指数函数与对数函数的导函数.

以复合运算建立关联:设a＞0,且a≠1,有

2)以隐函数求圆锥曲线切线斜率.

椭圆E:)在点T(x0,y0)处切线的斜率为,视y为x的函数,方程两边对x求导,得.

同样地,双曲线C:在点T(x0,y0)处切线的斜率为;抛物线P:y2＝2px(p＞0)在点T(x0,y0)处切线的斜率为.

3)以直代曲近似计算:函数y＝f(x)在点x0处可导,则在该点必连续,并且图像在切点附近贴近切线,因此,当|Δx|很小时,求函数值f(x0＋Δx),可以用切线方程近似计算——f(x0＋Δx)≈f′(x0)·(x－x0)＋f(x0).例如,在物理学或应用问题中,当正数δ很小时,通常用近似公式sinx≈x(|x|＜δ).

4)支撑线不等式:函数y＝f(x)在点T(x0,f(x0))处的切线l:y＝ax＋b在切点附近位于图像下方或上方,则可建立局部不等式,即存在δ＞0,使得

f(x)≥ax＋b(∀x0－δ＜x＜x0＋δ),

或

f(x)≤ax＋b(∀x0－δ＜x＜x0＋δ),

当函数图像整体位于切线之上或整体位于切线之下,上述不等式在其定义域内整体成立.

5)函数图像对称性条件:定义在R 上的可导函数y＝f(x)(x∈R),其图像以点C(a,b)为对称中心,条件是f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(∀x∈R).两边求导,得f′(a＋x)＝f′(a－x)(∀x∈R),因此,其导函数y＝f′(x)(x∈R)的图像关于直线x＝a对称;如果一个定义在R 上的可导函数y＝f(x)(x∈R),其图像以直线x＝a为对称轴,条件是

f(a＋x)＝f(a－x)(∀x∈R).

两边求导,得f′(a＋x)＋f′(a－x)＝0(∀x∈R),因此,其导函数y＝f′(x)(x∈R)图像以点C(a,0)为对称中心.但其逆命题不成立.

6)凹凸性与凹凸性不等式:如图1所示,函数y＝f(x)的图像在区间(a,b)上向下凸,从左至右各点处的切线斜率递增,即导函数f′(x)在区间(a,b)上单调递增,因此,函数f(x)的图像在区间(a,b)上向下凸的条件是f″(x)＞0(a＜x＜b);同理,函数f(x)的图像在区间(a,b)上向上凸的条件是f″(x)＜0(a＜x＜b).

图1

如图2所示,f(x)的图像在区间(a,b)上向下凸,则任取x1,x2∈(a,b),且x1≤x2,存在λ∈(0,1),使得x－x1＝λ(x2－x1),即x＝(1－λ)x1＋λx2,A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))在x轴上的射影分别记作A1(x1,0),B1(x2,0),过M(x,0)作x轴的垂线分别交函数f(x)的图像与弦AB于P(x,f(x)),Q(x,yQ),则yQ≥yP＝f((1－λ)x1＋λx2)._作AU⊥MQ于U,交BB1于V,则所以yQ＝f(x1)＋λ(f(x2)－f(x1))＝(1－λ)f(x1)＋λf(x2),从而建立凹凸性不等式:

图2

(1－λ)f(x1)＋λf(x2)≥f((1－λ)x1＋λx2),∀λ∈(0,1),x1,x2∈(a,b).

凹凸不等式多元形式:当函数y＝f(x)的图像在区间(a,b)上向下凸,则∀xi∈(a,b),λi∈(0,1)(i＝1,2,…,n),并且λ1＋λ2＋…＋λn＝1,都有

f(λ1x1＋λ2x2＋…＋λnxn)≤λ1f(x1)＋λ2f(x2)＋…＋λnf(xn).

标准化:

对于图像向上凸的情形,以上各不等式均反向.

7)拉格朗日中值定理:如果函数y＝f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,则存在x0∈(a,b),使得,几何意义是这段曲线上位于点T(x0,f(x0))处的切线平行于直线AB,其直观含义是容易理解的,如图3所示.强基校考与高考都会在这个定理的边缘立意试题,了解这个定理就容易破解问题.

图3

2 典例精析

2.1 求导数、单调区间与极值的方法

y′＝exlnx(xlnx)′＝xx(1＋lnx),

令y′＝0,得.因为

y′＝y(1＋lnx)＝xx(1＋lnx).

2.2 以导数降次探究高次多项式函数的对称性

(1)f(x)＝x3－x2＋x;

(2)f(x)＝3x4－4x3＋6x2－1.

(2)四次函数只可能有对称轴x＝a,则函数y＝f(x＋a)是偶函数,所以f(a＋x)＝f(a－x),两边对x求导,得f′(a＋x)＋f′(a－x)＝0,即三次函数f′(x)＝12x3－12x2＋12x的图像有对称中心C(a,0),而f′(a)＝0,f″(a－x)＝f″(a＋x),即f″(x)＝36x2－24x＋12 有对称轴x＝a,只能是,但,故该四次函数无对称轴(当然也无对称中心).

2.3 极值、最值与不等式

分析函数增、减区间,是探求函数极值与最值的基础,也是论证不等式与探究多元最值的基本路径.

x2ex－lnx≥fmin(x)＞1.

2.4 切线、局部不等式与多元最值

基于切线与函数图像局部位置关系,以直代曲,建立不等关系,探究多元最值.

(1)过点A(0,1)作函数y＝f(x)图像的切线l,求l的方程;

(2)非负数a,b,c,d满足a＋b＋c＋d＝4,求g＝af(b)＋bf(c)＋cf(d)＋df(a)的最小值.

(1)过点A(0,1)可以作出函数图像的切线l,记切点为T(x0,f(x0)).

因为切线l过点A(0,1),所以1－f(x0)＝f′(x0)(－x0),即

(2)由(1)可得不等式

事实上式②右边明显成立,下面只证左边.

故不等式②得证.

因为a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,在式②中左边不等式,取x＝a,b,c,d,得

由③＋④＋⑤＋⑥,得

其中等号成立的条件是{a,c}＝{0,2},且{b,d}＝{0,2},所以时取到.

2.5 凹凸性、不等式与多元最值

分析函数凹凸性是建立不等关系与探究多元最值的另一有效途径.

所以f(x)的图像在(0,1)上向下凸,从而对满足的正数xi(i＝1,2,…,2n;n∈N*),都有

2.6 求函数图像在一点处的曲率半径

对y＝x2求导得y′＝2x,y″＝2.抛物线y＝x2在点T(1,1)处切线为y－1＝2(x－1),即y＝2x－1.抛物线在点T处的曲率圆的圆心(a,b)在该点处的法线为上,即x＝3－2y,从而a＝3－2b,故曲率圆方程为(x－3＋2b)2＋(y－b)2＝R2,分别求一阶导数与二阶导数,得

2(x－3＋2b)＋2(y－b)y′＝0,

2＋2(y′)2＋2(y－b)y″＝0.

在点T(1,1)处有

故抛物线在点T(1,1)处曲率圆半径为.

2.7 以典型函数及其变式为题材立意极值点偏离

(1)求f(x)的单调区间与极值;

(2)若f(x1)＝f(x2)且x1≠x2,求证:

表2

函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,在处取得极小值.

(2)因为f(x1)＝f(x2)且x1≠x2,所以由(1)可设.

故g(x)是减函数,从而

综上,不等式得证.

由题意知x1lnx1＝x2lnx2,即,引入参数,得x2＝tx1,所以lnx2＝lnt＋lnx1,与lnx1＝tlnx2结合,求得其中t＞1,所以①等价于(1,＋∞)),即

所以δ(t)在t∈[1,＋∞)上是增函数,故对一切t＞1,都有δ(t)＞δ(1)＝0,②得证,从而①成立.

综上,不等式得证.

2.8 探究参数条件,论证相关性质

含参情境中问题探究主要表现在如下三种问题形式:其一是探求含参数函数零点或极值点存在的参数取值范围,论证零点或极值点的性质,这种性质通常表现为典型函数的极值点偏离;其二是探求含参数方程有解的参数取值范围,论证解的性质;其三是探求恒成立问题中的参数条件,论证相关性质,通过分离参数调结构将后两类问题转化为典型函数问题.

必要性:

亦即

xcosx＋2x－3sinx≥0(∀x∈(0,＋∞))⇔x(cosx＋1)＋(x－3sinx)≥0(∀x∈(0,π)).

构造δ(x)＝xcosx＋2x－3sinx(∀x∈[0,π)),则δ(0)＝0,求其导函数得

故δ(x)在[0,π]上是增函数,从而δ(x)＞δ(0)＝0.

当x∈(π,＋∞)时,δ(x)＞－x＋2x－3sinx≥x－3sinx≥π－3＞0,所以δ(x)≥0(∀x∈(0,＋∞),即.

综上,实数a的取值范围是.

2.9 以导数微元或积分整体路径论证多元不等式,探究多元最值

(2)已知n∈N*,且n≥2,求证:

(2)由于

故欲证不等式转化为

所以g(n＋1)＞g(n)(n∈N*,n≥2),故g(n)是增函数,从而

故不等式①成立,原不等式得证.

2.10 抽象函数探究与求解函数方程

(1)求f(x);

(2)设a＝1,函数g(x)＝ef(x)－x(x＞0).

(ⅰ)求g(x)的极值;

(ⅱ)函数h(x)＝g(x)－k有两个零点x1,x2,求实数k的取值范围,并证明.

(2)由a＝1以及(1),得b＝e⇒f(x)＝lnx,从而.

(ⅱ)函数h(x)＝g(x)－k有两个零点x1,x2,等价于函数与直线y＝k有两个交点,因此k的取值范围是.

因为欲证不等式关于x1,x2对称,所以不妨设x1＜x2,即0＜x1＜1＜x2,因为所以,得

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