探析根植于导数应用中的含参数二次问题

孟 永

(北京陈经纶中学)

在基本初等函数中,二次函数是一个非常重要的函数模型,与其相关的问题遍及中、高考试题,以此为载体的问题备受命题者的青睐.尤其是含参数的“二次”问题经常会隐形于函数与导数的综合问题中,学生在解决问题的过程中往往习惯于将目光聚焦于导数的运用而忽视研究对象的属性,导致问题的解决不顺畅乃至思路受阻.本文以根植于导数应用中的含参数的“二次”典型问题为例,对相应的问题进行分类整理,总结和梳理相关问题的解题思路,以强化“导数为工具,函数为主体”的解题意识.

1 利用求解含参数二次不等式的方法,解决函数的单调性问题

若a＝2,当x＞0时,f′(x)＝2(x－1)lnx≥0恒成立,则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增.

若0＜a＜2,即时,f′(x)＜0,则函数f(x)在上单调递减;当0＜或x＞1时,f′(x)＞0,则函数f(x)在和(1,＋∞)上单调递增.

若a＞2,即.当时,f′(x)＜0,则函数f(x)在上单调递减;当0＜x＜1或x＞时,f′(x)＞0,则函数f(x)在(0,1)和上单调递增.

综上,当a＝2时,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增;当0＜a＜2时,函数f(x)在和(1,＋∞)上单调递增,在上单调递减;当a＞2时,函数f(x)在(0,1)和上单调递增,在上单调递减.

2 利用含参数二次方程根的分布情况,解决函数的极值点问题

综上,实数m的取值范围是.

3 利用含参数二次函数的零点进行取值,解决函数的隐零点问题

(1)求函数f(x)的单调区间;

令g′(x)＝0,则x1＝a,x2＝1.

由函数的零点存在定理知,函数g(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.

若a＞1,当0＜x＜1或x＞a时,g′(x)＞0,则g(x)在(0,1)和(a,＋∞)上单调递增;当1＜x＜a时,g′(x)＜0,g(x)在(1,a)上单调递减.因为g(1)＝,所以g(a)＜g(1)＜0,则g(x)＜0在(0,a)恒成立,故函数g(x)在(0,a)上无零点.又

g(2a＋2)＝aln(2a＋2)＞0,

由函数的零点存在定理知,函数g(x)在(a,＋∞)上有且只有一个零点,故函数g(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.

若0＜a＜1,易知g(x)在(0,a)上单调递增,在(a,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增.此时,所以g(1)＜g(a)＜0,故g(x)＜0在(0,1)恒成立,则函数g(x)在(0,1)上无零点.又g(2a＋2)＝aln(2a＋2)＞0,由函数的零点存在定理知,函数g(x)在(1,＋∞)上有且只有一个零点,故函数g(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.

综上,函数g(x)在(0,＋∞)上有且只有一个零点.

4 利用含参数二次方程的根与系数的关系消元,解决多元不等式问题

(1)求实数a的取值范围;

(2)若a＞3,求证:x1＞1,且

综上,实数a的取值范围是.

(2)由题意可知x1,x2是方程2x2－ax＋1＝0的两个实根,又x1＞x2,则时,,所以.

在利用导数探究函数的综合问题时,解题者应强化函数意识、重视研究对象的函数属性.从函数的视角对研究的函数进行归类分析、局部研究,尤其是对函数代数结构特征进行分析,并辅以函数图像的几何特征分析,这样能够有效将思维打开.深化对基本初等函数及其运算或复合后的函数的认识和理解,能够探索出隐形于表象背后的真相,在解决问题的过程中,逐步提升解题思维的灵活度,加深对问题的识别度,增强对本质的感悟深度.

(完)