用导数证明不等式的五法

田 甜

(山东省青岛市西海岸新区第八高级中学)

导数是高中数学的重要内容,是高等数学的基础,利用导数证明不等式是高考热点,也是难点.本文例析用导数证明不等式常用的五种方法.

1 比较两个函数的最值

证明问题等价于证明＋∞)),令f(x)＝xlnx,则f′(x)＝1＋lnx,当x∈时,f′(x)＞0,所以f(x)在时,f′(x)＜0,当上单调递减,在上单调递增,故为f(x)的唯一极小值点,则

2 构造函数证明不等式

证明令,则,令,则在x＞0上恒成立,所以r(x)在(0,＋∞)上单调递增,又,所以存在x0∈(1,e),使得r(x0)＝0,即,所以当x∈(0,x0)时,r(x)＜0,h′(x)＜0,h(x)单调递减,当x∈(x0,＋∞)时,r(x)＞0,h′(x)＞0,h(x)单调递增,则

3 赋值法

证明令f(x)＝ln(x＋1)－x2－x,则f′(x)＝.令f′(x)＞0,得－1＜x＜0.令f′(x)＜0,得x＞0,当x变化时,f′(x),f(x)变化情况如表1所示.

表1

f(x)≤f(0)＝0,即ln(x＋1)≤x2＋x(当且仅当x＝0时取等号).

4 换元法

证明依题意两式相减得(m＋1)(x1－x2)－(lnx1－lnx2)＝0,所以

5 分析法

证明要证只需证lnx,又易证ex＞x＋1(0＜x＜1),所以只需证明

而当0＜x＜1 时,2x2－x＋1＞0 恒成立,所以g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上单调递减,故当x∈(0,1)时,g(x)＞g(1)＝0,即,因而

(完)