解题教学应在学生“卡壳处”下功夫

何雪冰

江苏省江浦高级中学 (211800)

近期，笔者在高三复习中选用了一道解析几何题，试题的难度适中，但学生们的得分情况让人大跌眼镜，与之前的预想大相径庭.本文是笔者对该题教学的点滴思考，与大家分享.

1 试题呈现

(济南市2022年1月高三学情调研检测第22题)已知P为圆M:x2+y2-2x-15=0上一动点，点N(-1,0)，线段PN的垂直平分线交线段PM于点Q.

(1)求点Q的轨迹方程；

(2)设点Q的轨迹为曲线C，过点N作曲线C的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分別为E，F，过点N作直线EF的垂线，垂足为点H，是否存在定点G，使得|GH|为定值？若存在，求出点G的坐标；若不存在，说明理由.

2 考题分析

该题第(1)问考查椭圆的定义和简单的平面几何性质；该题第(2)问考查直线与椭圆的位置关系，通过对H点的分析可以发现，点H在一个定圆上，从而将问题转化为研究直线EF经过一个定点，该定点需要自行分析问题发现，我们暂且把这种类型的问题称为“隐藏定点”问题，这种类型的问题在高考中时常出现.本题考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，考查方程的思想、同构的思想、转化与化归思想.

学生在解答此题时容易卡在以下几点处：(1)未能预知直线EF过定点，导致无从下手；(2)已经求出点E，F坐标，但无法求出直线EF方程；(3)未能梳理清晰算理，不断地绕弯路，导致耗时太久、解题失败.

3.1 解法探究

3.2 “卡壳处”微探究

从学生得到的点E、F坐标出发，再做微探究得到下面解法.

既然已经预判直线EF过定点，那为何不尝试猜想该定点呢？

评注：该解法以退为进，先利用特殊值探求定点后再去证明定点，将探索定点问题转化为证明定值问题，从而解题有目标，证明有方向，起到了化繁为简，减少运算之功效.华罗庚先生的“退步解题法”告诉我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.

3.3 “卡壳处”再探究

正因为直线EF难求，那为何不设而不求呢？从学生卡壳处再做微探究得到下面解法.

评注：该解法避开求直线EF的方程，利用两条直线与椭圆相交的平等关系得到两个同构式，由此转化为二次方程根与系数关系，轻松求得直线EF的截距与斜率的关系，从而得到定点，大大简化了运算与思维过程.此解法给人一种耳目一新的感觉.

4 感悟心得

在解析几何教学中，经常遇到学生列出式子解不下去的情形，教师应该多反思平时教学时是否关注学生所需要的，是否过问学生卡壳处在哪里，是否用“显然”、“易得”等代替引导学生挖掘卡壳点、突破卡壳点.因此，教师在解题教学中应多在学生卡壳处下功夫，多钻研，帮助、引导学生真正解决问题，解决真问题.解析几何中的问题探究无穷尽，需要师生坚持不懈的探索与反思！