指向深度学习的深度教学*——以圆锥曲线定义法求最值问题为例

刘璇燕

广东省广州市番禺区实验中学 (511400)

数学深度教学是帮助学生“通过数学会思维”，学会总结反思和“再认识”，强调通过“联系的观点”帮助学生更好地学会学习，深入学习，从而真正成为学习的主人的教学.单元复习教学中，围绕教学中的重难点，通过对相关题目的背景分析、解法思考等追溯题目的根源，变式拓展探寻题目本质内涵，找寻学生解题能力生长的轨迹，是很好的复习策略.本文以圆锥曲线定义法求最值问题为例，谈谈自己对“深度教学”的感受和思考.

1 问题呈现

例1 抛物线y2=4x的焦点为F，定点Q(2，1)，P为抛物线上动点，则|PF|+|PQ|的最小值为.

分析：本题考查抛物线的定义、简单几何性质和数形结合思想，是一道基础题.由点Q在抛物线内侧，作图(略)，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，但是在课前练习中只有一半的学生能够求出正确答案3.分析作业情况主要原因有三个：缺乏数形结合意识，没有判断定点与抛物线的位置关系；不能灵活运用抛物线定义进行转化；对于能够运用抛物线定义转化写出正确答案的部分学生，问其思路原因时，都说是印象中就是这样解题的，但却不清楚为什么要进行转化.针对这种情况，笔者进行了以下的变式练习探寻题目本质内涵.

变式1 抛物线y2=4x的焦点F，定点Q(3，4)，P为抛物线上动点，则|PF|+|PQ|的最小值为.

设计意图：由例题出发，改变点Q的位置，定点Q在抛物线的外侧，焦点F在抛物线的内侧，不需要通过定义转化，可以直接求解；与例1形成对比，引起认知冲突，揭示学生学习中的问题，引导思考例1用定义转化距离的原因，是因为求动点到两个定点距离之和最小值时，需要把同侧距离(定点在动点的同侧)转化为异侧距离(定点在动点的异侧)，然后利用三角形的两边之和大于第三边，当三点共线时距离之和取得最小值，提升数形结合思维.

变式2 抛物线y2=4x上一动点P到直线x=-1的距离为d，定点Q(1，1)，则d-|PQ|的最大值为.

分析：定点Q在抛物线的内侧，直线在抛物线的外侧，作图(略)，运用抛物线定义将点到准线的距离转化为到焦点的距离d=|PF|，d-|PQ|=|PF|-|PQ|≤|QF|=1.

设计意图：例1和变式1都是求距离之和最小值问题，变式2引出了求距离之差的最大值问题，需要把异侧距离转化为同侧距离，然后利用三角形中两边之差小于第三边，当三点共线时同侧距离之差取得最大值，激发逆向思维.

2 变式探究

教师提问1：以上是关于抛物线上的动点到定点或定直线的距离之和(差)的最值问题，同学们能否小组合作，探究在其他的曲线上是否也有这种最值问题呢？

学生探究1：其他圆锥曲线上的动点到定点的距离之和(差)的最值.

教师请学生上台展示探究结果，整理如下：

图1

教师提问2：上面的展示题还可以有其它变式吗？

学生1：可以改变定点P的位置，由曲线外变为曲线内.

学生2：可以把左焦点换为右焦点.

教师提问3：这些都是很好的变式，那刚才例题中我们研究了抛物线上的动点到定点和定直线的距离之和(差)的最值，同学们在双曲线、椭圆上已经研究了到定点的距离之和(差)的最值，那能不能考虑定直线呢？

学生探究2：圆锥曲线上的动点到焦点和到某定直线的距离之和(差)的最值.

设计意图：由动点在抛物线上变化到双曲线、椭圆上，培养类比迁移思维，灵活运用圆锥曲线定义实现同侧距离异侧距离相互转化；然后数形结合利用三角形中两边之和大于第三边，可以求异侧距离之和的最小值，利用三角形中两边之差小于第三边，可以求同侧距离之差的最大值，进一步提升学生的类比思维和数形结合能力.

教师提问4：动点如果在圆上呢？情况是否类似？

学生回答：圆上任意一点到定点或者定直线的距离最值可以转化到圆心的距离与半径的关系求解.

教师提问5：对，其实也是用了圆的定义转化.那动点如果在直线上呢？请同学们画图试试.

学生画图后纷纷回答，这是初中学过的“将军饮马”问题.

设计意图：通过改变动点的轨迹，追溯根源，找到此类题型的数学模型“将军饮马”，揭示知识间的联系，减轻学生的学习负担，激发探究兴趣.

图2

教师总结：前面的题目都是研究曲线上的一个动点的问题，下面我们来看两道多个动点的问题.

分析：如图2，双曲线左右焦点F1,F2分别为两个圆的圆心，|PM|≤|PF1|+2，|PN|≥|PF2|-1，所以|PM|-|PN|≤|PF1|-|PF2|+3=5.

图3

分析：由渐近线方程可得b2=12，如图3，由双曲线定义得|MF|=2a+|MF1|，|MN|≥|MQ|-r(Q为圆心，r为半径)，|MN|+|MF|≥|MQ|-r+2a+|MF1|≥|F1Q|+3=8.

设计意图：涉及圆的多动点的距离和差最值问题，一般运用圆的定义，到圆上动点距离最值可以转化到圆心(定点)和半径的关系求解，进一步体会圆锥曲线定义在相互转化中(动点转化为定点、同侧距离转化为异侧距离)的作用.

延伸探究问题：学生课后把双曲线换为其他的圆锥曲线再进行探究.

3 教学反思

在单元复习教学中，从某个小知识点切入，通过改变题目条件，暴露学生解题中的疑惑点和易错点，尊重学生的认知规律，顺应学生的思维，通过教师的引导逐步深入，学生参与变式探究，对题型不断深入挖掘，追根溯源，促进学生深度学习能力，巩固和创新教学方法，有助于减轻学生的解题负担，激发学生的探究兴趣.