注重“四基”凸显“四能”，彰显数学核心素养——以几道2022年平面向量高考题为例

马洪博

广东省东莞市第七高级中学 (523503)

平面向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.具体设计高考命题时，可从几何角度来设置，也可从代数角度来设置，借助平面向量的相关概念、公式及其变形、定理性质、运算等来创设情境，综合相关知识与数学思想方法，考查相关的数学核心素养等；平面向量还可设计运动变化的情境，即运动的点、运动的向量、变化的角等，这样可将向量与最值、定值问题相关联，利用函数、基本不等式、三角函数等工具，探究相关的最值问题.这类问题融基础性、综合性、创新性于一体，较为全面地考查考生数学运算素养、数学抽象素养和直观想象素养等，考查学生的逻辑思维能力.

1.注重平面向量概念，考查数学基础知识

平面向量中涉及向量、模、夹角、数量积等众多概念，借助概念的考查，合理融入数学基本知识，是创设高考数学试题中比较常见的一类创新情境.

分析：根据题设条件，确定平面向量的位置关系并引入平面向量的夹角，结合平面向量的数量积定义及其对应的公式，进一步综合同角三角函数基本关系式来分析与应用，实现参数的确定与求解.

点评：围绕平面向量的数量积定义，是解决与数量积相关问题中最常用的一种技巧方法，关键是确定对应向量的夹角与模，并加以合理综合与应用.借助相关问题的定义，回归对应问题的本质，很好落实数学基础知识等方面的掌握情况.

2.注重平面向量运算，考查数学运算素养

平面向量中涉及线性运算与坐标运算等，同时渗入模、数量积等相关知识，借助不同场景的创设，很好通过基底法或坐标法等数学运算场景来考查数学运算与应用.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析：根据题目条件，利用平面向量的模及其性质，数量积的运算以及性质等，通过平面向量的线性运算的模的平方展开，结合数学运算，借助平面向量的数量积的整体思维进行求解.

点评：围绕平面向量的模与数量积等相关公式及其应用，通过代数式的展开运算与变形，结合运算公式、基本性质等来分析与处理，能很好考查数学运算这一基本素养与能力，这也是高考中重点考查的一个基本点.

3.注重相关公式变形，考查数学抽象素养

平面向量中涉及向量的平行或垂直关系、向量基本定理、数量积公式等，有其自身的内涵与对应的变形公式，在实际应用中，经常借助相关的公式应用或变形公式等来解决问题.

A.-6 B.-5 C.5 D.6

点评：围绕平面向量的数量积的变形公式，结合两个不同向量夹角的余弦值的变形公式来构建，这也是解决此类问题中比较常用的一种技巧方法.合理借助变形公式构建关系式，利用方程(组)的建立来解决一些相关的应用问题.

4.注重代数几何结合，考查直观想象素养

借助创新情境设置，熟悉对应的应用情境并具备较强的平面几何的解题意识，从中抽象出关键平面几何图形，合理进行知识迁移，运用图形性质解决对应的平面向量问题.

A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]

分析：根据题设条件，构建对应的平面几何图形，借助线段中点的确定，利用平面向量中的极化恒等式加以转化，进而通过基底的变形，借助三角函数的图象性质来确定对应向量的数量积的取值范围问题.

图1

点评：围绕平面向量所对应的平面几何图形实质，构建对应的平面几何图形，串联起平面向量的数量积、线性运算与对应的平面几何图形中的长度、角度等之间的联系，从而有效实现平面向量向几何、代数的巧妙结合与合理转化.

5.注重思想方法应用，考查解决问题能力

平面向量问题中，结合对应的几何或代数特征，可以很好渗透数形结合思想、函数与方程思想、一般与特殊思想等思想方法方面的应用，很好落实解决问题的能力与应用.

图2

分析：结合题设条件，从一般与特殊思想入手，巧妙构建特殊平面几何图形——直角三角形，综合相关信息，合理直观形象地构建起对应的数学模型，利用数学模型的直观来转化与处理.

点评：围绕一般与特殊思维，借助与之相关的元素(涉及函数、向量、图形等，这里是特殊图形)构建，合理数学建模，巧妙综合应用.这里利用特殊平面几何图形，“数”与“形”相结合，直观形象分析，减少数学运算，优化逻辑推理.

平面向量试题注重数学基础知识和基本技能的考查，主要考查平面向量运算及其几何意义、用平面向量的数量积判断两个向量的垂直关系，以及平面向量与其他知识、思想方法相关联的问题等，能充分体现考生对解题经验与技巧方法的积累程度，以及数学运算与直观想象核心素养的水平.