素环上广义(θ,θ)-导子的性质

路春雪

(吉林师范大学 研究生院,吉林 长春 130000)

沿着Posner[1]的研究路线,2018年,Emine[2]等证明了:设R是2-扭自由素环,Z(R)是R的中心,U是R的非零平方封闭Lie理想,F,G是R上的广义导子,d和h是其伴随导子,对于u,v∈U,若F,G满足以下条件之一:

(1)F(u)u=±uG(u);

(2)[F(u),v]=±[u,G(v)];

(3)[F(u),v]=±u°G(v).

则U⊆Z.

本文在Emine[2]的定理的基础上将素环的Lie理想上广义导子的性质推广到广义(θ,θ)-导子上,并将条件稍加改变.证得了Lie理想在环的中心的性质.

1 预备知识

定义1设R是结合环.若aRb=0,a,b∈R有a=0或b=0,则R为素环.

定义2设R是环,与环R中所有元素可交换的元素所构成的集合叫做环R的中心,表示为Z(R).即Z(R)={r∈R|rx=xr,x∈R}.

定义3如果环R为2-扭自由素环,则对任意的a∈R,若2a=0,则必有a=0.

定义4设R是结合环,d:R→R是R上的可加映射.若对于任意的x,y∈R,有d(xy)=d(x)y+xd(y),则称d为R上的导子.

定义5设R为结合环,θ为R上的恒等自同构,若对于任意的x,y∈R,F为可加映射,有F(xy)=F(x)θ(y)+θ(x)d(y),则F是广义(θ,θ)-导子.

定义6设R是环,U是R的加法子群,如果对于任意的u∈U,r∈R均满足[u,r]∈U,则称U是R的Lie理想.

基本恒等式

[x,y]=xy-yx,x,y∈R.

x°y=xy+yx,x,y∈R.

[x,yz]=[x,y]z+y[x,z],x,y,z∈R.

[xy,z]=[x,z]y+x[y,z],x,y,z∈R.

(xy)°z=x(y°z)-[x,z]y=(x°z)y+x[y,z],x,y,z∈R.

x°(yz)=(x°y)z-y[x,z]=y(x°z)+[x,y]z,x,y,z∈R.

2 主要结果

引理1[3]R是2-扭自由素环,Z(R)是R的中心,U是R的Lie理想,且U⊄Z(R).若存在a,b∈R满足aUb=0,那么a=0或b=0.

引理2[4]R是2-扭自由素环,Z(R)是R的中心,U是R的非零Lie理想,如果[U,U]=0,那么U⊂Z(R).

引理3[5]R是2-扭自由素环,Z(R)是R的中心,U是R的平方封闭Lie理想,d是R上的非零(θ,θ)-导子.若d(U)⊂Z(R),则U⊂Z(R).

定理1R是2-扭自由素环,Z(R)是R的中心,U是R的平方封闭Lie理想,F,G是R的广义(θ,θ)-导子,d,h是其伴随(θ,θ)-导子.若F(u)θ(u)=±θ(u)G(u),u∈U,则U⊂Z(R).

证明 假设U⊄Z(R).

由题设有

F(u)θ(u)=θ(u)G(u),u∈U.

对上式作线性化,有

F(u+v)θ(u+v)=θ(u+v)G(u+v),u,v∈U.

则

F(u)θ(v)+F(v)θ(u)=θ(u)G(v)+θ(v)G(u),u,v∈U.

(1)

在式(1)中用2vu,u,v∈U替换v,因为R是2-扭自由的,可得

F(u)θ(v)θ(u)+F(v)θ(u)θ(u)+θ(v)d(u)θ(u)=θ(u)G(v)θ(u)+θ(u)θ(v)h(u)+θ(v)θ(u)G(u)=0,u,v∈U.

(2)

式(1)右乘θ(u),可得

F(u)θ(v)θ(u)+F(v)θ(u)θ(u)=θ(u)G(v)θ(u)+θ(v)G(u)θ(u),u,v∈U.

(3)

联立式(2)和式(3),可得

θ(v)d(u)θ(u)+θ(v)G(u)θ(u)=θ(u)θ(v)h(u)+θ(v)θ(u)G(u),u,v∈U.

即

θ(v)[G(u),θ(u)]+θ(v)d(u)θ(u)=θ(u)θ(v)h(u),u,v∈U.

(4)

在式(4)中用2vw,v,w∈U替换v,因为R是2-扭自由的,可得

θ(vw)[G(u),θ(u)]+θ(vw)d(u)θ(u)=θ(u)θ(vw)h(u),u,v,w∈U.

θ(v)θ(w)[G(u),θ(u)]+θ(v)θ(w)d(u)θ(u)=θ(u)θ(v)θ(w)h(u),u,v,w∈U.

(5)

由式(4),可得

θ(w)[G(u),θ(u)]+θ(w)d(u)θ(u)=θ(u)θ(w)h(u),u,v,w∈U.

(6)

式(6)左乘θ(v),可得

θ(v)θ(w)[G(u),θ(u)]+θ(v)θ(w)d(u)θ(u)=θ(v)θ(u)θ(w)h(u),u,v,w∈U.

(7)

联立式(5)和式(7),可得

[θ(u),θ(v)]θ(w)h(u)=0,u,v,w∈U.

(8)

对式(8)左右两端取θ-1,可得

[u,v]wθ-1(h(u))=0,u,v,w∈U.

即

[u,v]Uθ-1(h(u))=0,u,v∈U.

(9)

由引理1,可得

[u,v]=0,u,v∈U或θ-1(h(u))=0,u∈U.

若

[u,v]=0,u,v∈U.

由引理2,可得,U⊂Z(R).与假设矛盾.

若

θ-1(h(u))=0,u∈U.

(10)

对式(10)左右两端取θ-1,可得

h(u)=0,u∈U.

由引理3可得,U⊂Z(R).与假设矛盾.

综上,U⊂Z(R).

证毕.

定理2R是2-扭自由素环,Z(R)是R的中心,U是R的平方封闭Lie理想,F,G是R的广义(θ,θ)-导子,d,h是其伴随(θ,θ)-导子.若[F(u),θ(v)]=±[θ(u),G(v)],u,v∈U,则U⊂Z(R).

证明 假设U⊄Z(R).

由题设有

[F(u),θ(v)]=[θ(u),G(v)],u,v∈U.

(11)

在式(11)用2vu,u,v∈U替换v,因为R是2-扭自由的,可得

[F(u),θ(vu)]=[θ(u),G(vu)],u,v∈U.

[F(u),θ(v)θ(u)]=[θ(u),G(v)θ(u)]+[θ(u),θ(v)h(u)],u,v∈U.

则

[F(u),θ(v)]θ(u)+θ(v)[F(u),θ(u)]=[θ(u),G(v)]θ(u)+[θ(u),θ(v)]h(u)+θ(v)[θ(u),h(u)],u,v∈U.

(12)

式(11)右乘θ(u),可得

[F(u),θ(v)]θ(u)=[θ(u),G(v)]θ(u),u,v∈U.

(13)

联立式(12)和式(13),可得

θ(v)[F(u),θ(u)]=[θ(u),θ(v)]h(u)+θ(v)[θ(u),h(u)],u,v∈U.

(14)

在式(14)中用2wv,w,v∈U替换v,因为R是2-扭自由的,可得

θ(w)θ(v)[F(u),θ(u)]=[θ(u),θ(w)]θ(v)h(u)+θ(w)[θ(u),θ(v)]h(u)+θ(w)θ(v)[θ(u),h(u)],

u,v,w∈U.

(15)

式(14)左乘θ(w),可得

θ(w)θ(v)[F(u),θ(u)]=θ(w)[θ(u),θ(v)]h(u)+θ(w)θ(v)[θ(u),h(u)],u,v,w∈U.

(16)

联立式(15)和式(16),可得

[θ(u),θ(w)]θ(v)h(u)=0,u,v,w∈U.

(17)

对式(17)左右两端取θ-1,可得

[u,w]vθ-1(h(u))=0,u,v,w∈U.

(18)

即

[u,w]Uθ-1(h(u))=0,u,v,w∈U.

由引理1,可得

[u,w]=0,u,w∈U或θ-1(h(u))=0,u∈U.

若

[u,w]=0,u,w∈U.

由引理2,可得,U⊂Z(R).与假设矛盾.

若

θ-1(h(u))=0,u∈U.

(19)

对式(19)左右两端取θ-1,可得

h(u)=0,u∈U.

由引理3可得,U⊂Z(R).与假设矛盾.

综上,U⊂Z(R).

证毕.

定理3R是2-扭自由素环,Z(R)是R的中心,U是R的平方封闭Lie理想,F,G是R的广义(θ,θ)-导子,d,h是其伴随(θ,θ)-导子.若[F(u),θ(v)]=±θ(u)°G(v),u,v∈U,则U⊂Z(R).

证明 假设U⊄Z(R).

由题设有

[F(u),θ(v)]=θ(u)°G(v),u,v∈U.

(20)

在式(20)用2vu,u,v∈U替换v,因为R是2-扭自由的,可得

[F(u),θ(vu)]=θ(u)°G(vu),u,v∈U.

[F(u),θ(v)]θ(u)+θ(v)[F(u),θ(u)]=(θ(u)°G(v))θ(u)+(θ(u)°θ(v))h(u)-θ(v)[θ(u),h(u)],u,v∈U.

(21)

式(20)右乘θ(u),u∈U,可得

[F(u),θ(v)]θ(u)=(θ(u)°G(v))θ(u),u,v∈U.

(22)

联立式(21)和式(22),可得

θ(v)[F(u),θ(u)]=(θ(u)°θ(v))h(u)-θ(v)[θ(u),h(u)],u,v∈U.

(23)

在式(23)中用2wv,w,v∈U替换v,因为R是2-扭自由的,可得

θ(w)θ(v)[F(u),θ(u)]=θ(w)(θ(u)°θ(v))h(u)+[θ(u),θ(w)]θ(v)h(u)-

θ(w)θ(v)[θ(u),h(u)],u,v,w∈U.

(24)

式(23)左乘θ(w),可得

θ(w)θ(v)[F(u),θ(u)]=θ(w)(θ(u)°θ(v))h(u)-θ(w)θ(v)[θ(u),h(u)],u,v,w∈U.

(25)

联立式(24)和式(25),可得

[θ(u),θ(w)]θ(v)h(u)=0,u,v,w∈U.

由定理2的证明可得

U⊂Z(R).

证毕.

3 结 语

本文研究了2-扭自由素环的Lie理想上的广义(θ,θ)-导子的性质,对进一步研究广义(θ,θ)-导子有一定帮助.