基于分光计测量不同介质折射率的探究性研究＊

李一诺，袁 烁，梁小蕊，金靓婕，张纪磊

（海军航空大学航空基础学院，山东 烟台 264001）

0 引言

分光计是一种用于精确测量光线偏转角度的典型光学仪器，光学研究中许多直接或间接与光线偏转角度有关的光学量或光学性能如光波波长、折射率、色散特性、光栅常数、光谱特性等的测量，都可以利用分光计来实现[1-5]。其中折射率是表征物质重要物理属性的光学参数，折射率的精确测量对于科学研究和工业生产都具有十分重要的意义。在前沿科技领域，液体折射率的高精度测量也是国内外重要的研究课题[6-11]。大学物理实验课程中，我们通常基于分光计，采用最小偏向角法测得几种谱线的折射率，但这种方法常常会由于最小偏向角的精确位置判断不准确，而引入一定的误差，难以得到高精度的测量结果，并且这种方法通常只能用于三棱柱状固体材料的折射率测量[12-13]。而对于液体折射率的高精度测量，国内外通常依赖于高精尖的设备或者要求较为苛刻的测试环境[8-11]，这就导致测量成本大大增加。

针对以上问题，本着降低测量成本并且提高测量精度的原则，本文应用现有基本教学设备JJY 型分光计，探索了任意入射角与偏向角法测量折射率，将实验结果与最小偏向角法的结果进行比较，发现任意入射角与偏向角法测得的折射率具有更高的精度，因此选择了任意入射角与偏向角法测量不同液体的折射率。此项研究采用等厚玻璃制成的空心三棱镜作为容器，来实现不同液体折射率的高精度测量。

1 分光计测量折射率基本原理

1.1 最小偏向角法测量折射率的原理

如图1 所示，一束单色光以i1角入射到AB 面上，经棱镜两次折射后，从AC 面出射，出射角为i2´，入射光与出射光之间的夹角δ称为偏向角。当棱镜顶角A 一定时，偏向角δ的大小随入射角i1的变化而变化。而当i1=i2´时，δ为最小，这时的偏向角称为最小偏向角，记为δmin。三棱镜折射率n与最小偏向角δmin的关系为：

图1 最小偏向角法原理图

由此可知，测量出顶角A 和最小偏向角δmin的值，即可求得棱镜材料的折射率n[14]。

1.2 任意入射角与偏向角法测量折射率的原理

图2为任意入射角入射时的光路图，由图2 几何关系可计算出任意入射角经三棱镜两次折射后所形成出射角和偏向角的值。

图2 任意入射角与偏向角法原理图

也可得到AB面折射角与AC面入射角的关系为：

由AB 面折射定律可得：

由AC 面折射定律可得：

偏向角与任意入射角的关系式[14]

因此，测量出多组任意入射角i1，及其对应的偏向角δ，即可求得介质的折射率n。

1.3 空心三棱镜测量液体折射率原理

由参考文献[15]中陈新，李维晖等人的研究结果可知，用空心三棱镜测量液体折射率是可行的。本实验采用的空心三棱镜是用折射率相同的等厚玻璃制成的，其截面为等边三角形。将空心三棱镜放置在调平的分光计载物台上，当光线从平行光管发出后，会经过空心三棱镜的两个侧面，并在两侧玻璃上发生折射，光线会有所偏移，但与通过固体实心三棱镜的出射光线平行，相应偏向角的角度不变，因此仍可用式（2）～（8）求得液体折射率（如图3 所示为测量光路图）。

图3 测量液体折射率光路图

图4 实验仪器

1.4 柯西色散公式

柯西色散公式最初是由法国物理学家Augustin-Jean Fresnel 和法国数学家Augustin-Louis Cauchy 分别独立发现的经验公式。它是描述介质的折射率与真空中入射光波长的数学关系，可以表示为：

式中a，b，c是三个柯西色散系数，因介质的不同而不同。

该公式可以精确预测不同波长的光在不同介质中的折射率，当光线从一种介质传播到另一种介质时，不同介质对入射光的波长会有不同的影响，导致光线的折射角发生变化，折射率随之发生变化。在这种情况下，柯西色散公式可以准确计算出不同波长的光通过不同介质的折射率[1,16-17]。

2 实验部分

2.1 试剂与仪器

试剂：蒸馏水、国药分析纯试剂蓖麻油（折射率1.477-1.481）。

实验仪器：JJY 型分光计、实心三棱镜（40×40×40×40mm）、空心三棱镜（40×40×40×33mm，厚度2mm）、汞灯（波长404.66nm、435.84nm、546.07nm、579.07nm）、氢灯（波长486.13nm、656.28nm）、氦灯（波长447.15nm、501.57、587.56、667.82）。其中分光计的读数系统可精确到1 分。全部实验均在室温25℃下进行。

2.2 最小偏向角测量三棱镜折射率

利用各调一半法将所用实验设备JJY 型分光计调平。转动游标盘使三棱镜AC 面正对望远镜，记下两游标处的读数θ1和θ2。再转动游标盘，使AB 面正对望远镜，记下两游标处的读数和。同一游标两次读数之差求和取平均即载物台转过的角度φ，则三棱镜顶角A=π-φ。

将平行光管狭缝对准前方光源，通过转动游标盘及望远镜找出棱镜出射的各种颜色的光谱线。再转动游标盘改变入射角i1，各色谱线随之移动，直至谱线开始要反向移动为止，即为光线以最小偏向角射出的方向。记下此时两游标处的读数θ1和θ2，取下三棱镜，转动望远镜对准平行光管以确定入射光的方向，再记下两游标处的读数则二者求和取平均即为待测谱线的最小偏向角δmin的值如式（10）所示。

将δmin和测得的三棱镜顶角A 平均值带入式（1），可计算出折射率n。重复此步骤分别计算不同谱线的折射率n。

2.3 任意入射角与偏向角法测量三棱镜折射率

2.3.1 角度测量

将平行光管狭缝对准光源，将三棱镜放置在调平的载物台上。望远镜对准平行光管，使其分划板上的中心竖线对准出射光，记下此时两游标处的读数θ11和θ21。

转动望远镜，找出三棱镜出射的各色光谱线，使分划板上的中心竖线对准待测谱线，各色光谱线如图5 所示，记下两游标处的读数，参照式（10）计算得到任意偏向角δ。

将望远镜向另一方向旋转至一定角度，找到反射光线，使分划板上的中心竖线对准反射光，记下两游标处的读数。如图6 所示，入射光与反射光的夹角为β，

图6 测量反射光的光路图

图7 反射光谱线

根据图6 中几何关系可求得入射角i1。

转动游标盘改变入射角i1，然后转动望远镜，使分划板上的中心竖线再次对准入射光，记下两游标处的读数θ12和θ22。重复上述步骤，即可测量并记录若干组任意入射角i1k的值，及对应待测谱线的若干组任意偏向角值δ（kk=1，2，3……）的值。

2.3.2i-δ非线性拟合，计算折射率

对于一条待测谱线其任意入射角i与对应偏向角δ之间的关系为（8）式，利用上述方法测量得到了不同波长谱线的8 组（i，δ）数据，列于表1 中。用MATLAB 程序对表1 中的数据进行非线性拟合，如图8 所示（以587.56nm氦灯黄色谱线为例），可得到待测谱线的折射率n。按此方法可分别得到不同波长谱线的i-δ关系曲线，进而计算出不同波长的光对应的折射率n[18]。

表1 不同波长的光对于三棱镜的任意入射角与偏向角测量结果

图8 氦灯黄色谱线对于三棱镜的任意入射角与偏向角关系图

2.4 任意入射角与偏向角法测量液体折射率

用空心三棱镜作为容器盛装蒸馏水和蓖麻油两种液体，测得不同波长的光通过两种不同介质的折射率n（测量方法与步骤同2.3）。得到不同波长的光对应的角度数据分别列于表2 和表3 中。

表2 不同波长的光入射蒸馏水的入射角与偏向角测量结果

表3 不同波长的光入射蓖麻油的入射角与偏向角测量结果

3 结果与讨论

3.1 最小偏向角法和任意入射角与偏向角法测三棱镜折射率的比较

采用最小偏向角法测得的不同波长的光入射实心三棱镜的折射率实验数据列于表4。

表4 最小偏向角法测得不同波长的光入射三棱镜的折射率

用MATLAB 程序将表4 中的数据（n，λ）进行非线性拟合，得到拟合曲线及柯西色散方程如图9 所示。

图9 最小偏向角法测量实心三棱镜折射率的柯西色散方程拟合曲线（左）

利用任意入射角与偏向角的方法测量了不同波长的光入射实心三棱镜的入射角与偏向角，将表1 中的数据用MATLAB 程序进行拟合，将拟合得到的不同波长光入射不同介质的折射率及对应的波长数据列于表5 中。再将表5 中的数据（n，λ）进行非线性拟合，n与λ符合柯西色散公式，拟合结果如图10 所示。

表5 任意入射角与偏向角法测得不同波长的光入射三棱镜对应的折射率

图10 任意入射角与偏向角法测量实心三棱镜折射率的柯西色散方程拟合曲线（右）

比较图9 和图10 的拟合结果可知，用最小偏向角法得到的柯西色散方程拟合曲线，其相关系数达到99.60%，而用任意入射角与偏向角法得到的柯西色散方程的拟合相关系数达99.93%，可见采用任意入射角与偏向法的实验结果更为可靠。并且589.3nm 钠黄光通过实心三棱镜的折射率真值为1.5161，而用最小偏向角法和任意入射角与偏向角法得到的拟合曲线上其折射率分别为1.5150 和1.5165，计算可得两种方法的相对误差分别为：0.073%和0.026%。由此可见，用任意入射角与偏向角法测得的折射率相对误差更小，结果更为精确，因此本文采用该方法进一步测量液体折射率。

3.2 液体折射率的测量及柯西色散公式

用任意入射角与偏向角的方法测量了不同波长光入射蒸馏水和蓖麻油两种液体的入射角与偏向角，将表2、表3 中的数据用MATLAB 程序进行拟合，将拟合得到的不同波长光入射不同介质的折射率及对应的波长数据列于表6、表7 中。

表6 任意入射角与偏向角法测得不同波长的光入射蒸馏水对应的折射率

表7 任意入射角与偏向角法测得不同波长的光入射蓖麻油对应的折射率

再将表6、表7 中的数据（n，λ）进行非线性拟合，n与λ符合柯西色散公式，拟合曲线及相应的柯西色散公式如图11、图12 所示。

图11 蒸馏水折射率的柯西色散方程拟合曲线

图12 蓖麻油折射率的柯西色散方程拟合曲线

通过测量实心三棱镜的折射率比较最小偏向角和任意入射角与偏向角两种测量方法，根据实验结果得出了任意入射角与偏向角法测量的折射率具有更高测量精度的结论。进一步利用该方法，以等厚玻璃制成的空心三棱镜作为容器，测量了不同波长的光通过蒸馏水和蓖麻油两种液体的折射率，测得的结果更具有统计学的优势，得到了较为稳定可靠的折射率值。

由上述结果可得，波长为589.3nm 的光经过蒸馏水的折射率为1.3323，与文献[19]中水的高精度折射率测量结果1.3325072 非常接近，相对误差仅为0.016%，说明此方法用于液体折射率的测量同样具有较高精度。

3 结语

本文利用基础教学设备JJY 型分光计，以汞灯、氢灯和氦灯作为光源，选取对应光源中确定波长，并且清晰可见的10 条谱线作为观察对象。对于测量数据的处理，本实验通过MATLAB 程序对测得的不同介质中的折射率与对应波长进行了数据的非线性拟合，发现任意入射角与偏向角法对于不同介质的柯西色散方程拟合的相关系数都较高，进一步验证了任意入射角与偏向角这种方法的可靠性。本实验所研究的方法既提高了折射率测量结果的精度，又大大降低了测量液体折射率的成本，对大学物理实验教学中分光计的使用、折射率测量方法的拓展研究具有一定的指导意义。