孤立导体电场线作图规范探讨＊

邓文官，钟文虎，张 殷†，文艺臻

（1.广西师范大学物理科学与技术学院，广西 桂林 541004；2.桂林市第十八中学，广西 桂林 541004）

0 引言

电场线可以使电场很多抽象或隐含的信息形象化，这种可视化的图示手段可以让学生获得与实体对象相同的直观感受，看到“思维”的演变过程，方便对电场概念及特征、规律的理解，提升学生抽象思维能力。借助电场线的图示，能够考查学生定性分析问题的能力，所以电场线对学生理解电场这一概念有着至关重要的作用，故电场线的绘制要十分严谨。但在一些试题中，出现了同一孤立导体不同的电场线的情况。孤立导体的电场线到底该怎么画呢？影响导体表面电场线的因素是什么呢？

本文针对以上问题，对不同形状孤立带电导体的电场线进行研究，用头发丝模拟电场线，并借助软件COMSOL 定性绘制孤立带电导体的电场线图像，对比仿真模拟实验与真实实验的结果。

1 常见的电场线图

下列图1 和图2 是某些试题中常见的孤立导体电场线图像，都是相似的孤立导体，但是两端的电场线情况却大有不同，课本上写着导体外表面，越尖锐的位置，电荷的密度（单位面积的电荷量）越大，周围的电场强度越大[1]。但是图1孤立导体的左端并非平坦，电场线的密度却是最小的，这对学生的学习带来了极大的困扰。那么到底这样的孤立导体的电场线是什么样的呢？

图1 孤立带电导体电场线图

图2 孤立带电导体电场线图像

2 理论模型

接下来将依据高斯定理推导出电场分布规律，进而得出卵形带电导体表面上的电场分布。

2.1 电场分布规律

如图3 在带电导体外部电场中，任取一个等势面，在其上截取一小面积元，面积为S，并设S面的两个主曲率半径为和，设S面的法线方向即为电场线的方向，外移一段线元dz，得到一个新等势面的面积元，面积为S+dS，由高斯定理可知，通过面积元S和dS的电通量相同[2]，即电通量的增量为零：

图3 微小高斯面S

ρ为曲面的平均曲率半径。

将公式（3）（8）结合起来，得到

公式（9）即为等势面的曲率与场强沿电场线方向变化率之间的关系式。由公式可知，在电场中任意一点，沿场强方向每单位长度的电场强度的相对变化率，与该点处等势面的平均曲率半径成反比。

3.2 卵形带电导体表面上的电荷分布

如图4 所示，令导体凸端A 的曲率大于凸端B，在任一等势面上（如图4中的C、C'）相对于A 端部分的曲率都大于B端。

图4 卵形孤立导体

在导体附近的等势面形状和导体表面相似，而离导体足够远处等势面形状近似为球面。

由公式（9）可知，当等势面为凸面时，电场线发散，发散程度与曲率成正比。因此，从A 端发出的电场线，发散程度处处大于从B端发出的电场线的发散程度，在球形等势面上，电场线密度是相同的，由电场线连续性可知，在凸端A附近，同样数目的电场线所通过的等势面的面积较小，而在凸端B附近，同样数目的电场线所通过的等势面的面积较大，即A端的场强或电荷面密度大于B端的，而且导体凸端越尖，电荷面密度越大。

由上述讨论可知，导体表面电荷密度分布，是由电场线发散的情况所决定的。而其在空间某处发散的程度是由所在处的等势面的曲率决定。因此，导体的电荷面密度分布问题，并不只取决于导体表面所讨论点的曲率，而且与导体外和讨论点对应的沿电场线方向一系列等势面曲率分布的总体情况有关。

由公式（10）可知，在已知电场中某点的场强后，导体表面附近的场强Eo沿电场线方向，是对一系列曲率各不相同的等势面进行空间积分的结果。

如图5 所示，对于导体表面的平面或球面部分来说，各自的曲率虽然保持不变但每一部分的两个不同点，它们在导体外沿电场线方向所对应的等势面曲率分布却不同，因此，这两点的电荷面密度并不相同。以上讨论可以看出，导体表面电荷面密度分布与表面曲率半径并非存在简单的对应关系。

图5 凸起导体表面电场线与等势面

由公式（10）可知，当满足以下两个条件，即

（1）导体表面所讨论部分近似为球面的一部分；

（2）在所讨论部分等势面都是近似为与导体表面同心的球面。

这时，导体表面电荷面密度才与表面曲率半径成正比关系，但上述两个条件，对于一般导体来说实际上是难以满足的。

3.3 数值模拟

COMSOL 软件是以有限元法为基础，通过求解偏微分方程的多物理场仿真软件。拥有强大的绘图功能，在物理仿真中具有明显的优势。

本实验用到的卵形几何模型由一端半径较大的半圆和一端半径较小的半圆组合而成，如图6 所示。

图6 卵形导体几何模型

根据公式（9）进行数值模拟，在COMSOL 软件中绘制卵形导体的等势面与电场线图像如图7 所示。从图7 中可以看到，卵形导体中部曲率半径较大的地方电场线较稀疏，电场强度较小，尖端曲率半径较小的部分电场线较密集，电场强度较大。仿真实验的结果与理论公式推导情况一致。

图7 卵形导体电场线与等势面仿真模拟图

3 发丝模拟实验

在教材中，采用了在蓖麻油中放入发丝来模拟电场线的分布，本研究将按照教材中的方法对卵形带电导体的电场线分布进行模拟。

首先，在玻璃槽内倒入深度约为1cm 的蓖麻油，在油中放一些碎头发并搅拌均匀。玻璃槽旁有接线柱，接线柱与玻璃槽中心的导体相连。实验装置如图8 所示。将维式起电机的放电杆与接线柱连接，匀速转动起电机，中心孤立导体会在周围产生电场，在电场中碎头发被极化，碎头发分子的正负电荷中心会发生偏移，不再重合[3]。整个碎头发的一端就带正电，另一端带负电，极化的碎头发在电场中受电场力，无数碎头发在电场中排列起来的形状，能够形象反映出电场的大小和方向，这时就用无数碎头发在电场中排列起来的形状表示电场线。

图8 实验装置图

卵形孤立导体表面的电场线分布情况如图9 所示，导体中部曲率半径较大的地方头发丝较稀疏，电场强度较小，尖端曲率半径较小的部分头发丝较密集，电场强度较大。这一实验现象与理论公式推导的结果一致。

图9 实验模拟电场线

在一些考察电场线分布规律的试题中，常常会出现随意改变带电导体比例的情况。比如，以下习题来源于网络复习资料，用的是同一题干，两个不同的电场线图，分别为图10 和图11。

图10 错误的电场线图

图11 错误的电场线图

习题1：两个不规则的带电体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d 为电场中几个点，并且a、d 为紧靠带电体表面的两点，以无穷远处为零电势点，则（）。

A.电场强度大小关系有Eb＞Ec

B.电势大小关系有φb＞φd

C.将一负电荷放在d点时其电势能为负值

D.将一负电荷由a点移到d 点的过程中电场力做正功

带电导体中曲率半径小的部分电场线应较密集，但图10 和图11 的部分区域，曲率半径小的区域电场线稀疏，电场线绘制随意。可见，命题者改变了带电导体的形状，却没有根据电场分布规律绘制电场线，电场线没有严格与等势面垂直，出现了科学性的错误。

改编一道试题比新命一道试题的难度要小很多，且易操作。所以有许多教师以书中的例题、习题为基础改编试题，通过改变原题的题设条件、设问角度考查目标、题型形式等方式进行改编，但若随意改变，常会出现科学性错误。

4 结语

《普通高中物理课程标准（2017 年版，2020 年修订）》（以下简称《课标》）在命题建议中提出，命题应依据学业质量标准和课程内容，要充分考虑对教学的积极引导作用。如果教师在命制试题时，就不够严谨，又怎么能期待学生能够从中体会到物理的科学性，又如何能培养出严谨的科学家态度。综上所述，在命制试题时，务必严谨准确，科学推理加实验验证，切实帮助学生建立良好的知识体系，帮助提升学生的物理学科核心素养。