面向经管类外招生的线性代数课程教学改革探讨

廖子菊

（暨南大学数学系 广东 广州 510632）

线性代数是经济管理类各专业本科生的公共必修课程，通过本课程的学习，可有效培养学生的代数思维模式，并为其学习后续课程及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础[1-2]。暨南大学的“线性代数（经管类）”课程于本科阶段第三学期面向全校经管类学生开设，每年约有1500名学生修读，其中内招生和外招生约各占一半。这里内招生是指国内通过普通高考录取进入暨南大学就读的本科生，外招生则指华侨学校自主命题联招的港、澳、台和海外地区的学生[3]。我们对内、外招生采用相同的教学内容，采用相同的教学大纲，期末考试则分开出题，一般情况下外招生试卷的难度会降低一个等级。尽管如此，近些年的教学实践情况显示，外招生班级的期末成绩呈现出方差较大、不合格率偏高等难以令人满意的情况。

通过分析总结，我们认为原因是多方面的。从学生角度来说，外招生来自不同境外地区，他们的数学基础参差不齐，方差很大，其中部分同学的学习基础较为薄弱；此外也有一些学生对数学课程的重要性认识不足，产生蒙混过关的想法，不愿花力气认真学习。从教师的角度来说，由于学生基础、能力差异较大，在教学进度和教学内容上很难兼顾全部学生，容易使部分跟不上教学进度的学生对课程缺乏兴趣或者产生畏难情绪。最后，从师生交流的角度，由于采用大课教学，每个班级人数在百人以上，加上教师授课班级通常不止一个，因此无法仔细了解学生的学习情况，课堂下交流也较少，很难形成良性互动。

基于以上问题，对线性代数课程进行面向外招生的教学改革，更新教学理念及改进教学方法，加强学生对基础数学知识的理解，培养学生的创新和实践能力，更好地达到教学目的，从而实现价值塑造、能力培养、知识传授三位一体的育人目标，是非常有必要且急迫的。

1 教学改革探讨

目前关于线性代数的课程教学改革国内已积累了很多优秀成果[4-6]，但这些成果是主要基于内招生展开的，这里我们主要面向外招生并基于课程的特点，从教学设计、教学方法和教学反馈与评价三个方面谈我们的一些想法与实践。

1.1 教学设计

经过多年的教学实践，线性代数的内容体系及教材编写都是按照行列式、矩阵、向量组、线性方程组、矩阵的特征值、二次型、线性空间与线性变换的顺序讲授。这种组织方式完全符合学科逻辑体系，然而在教学中容易产生两个问题。一是行列式的定义相对比较复杂，其计算量也较大，学生在高中阶段没有接触过行列式的相关知识和应用，对行列式的概念感觉陌生和抽象，因此从行列式开始讲，对基础较差的学生而言不容易迅速进入课程的思维逻辑中；二是每个章节都有相对独立的研究对象，课程各个模块之间缺乏联系纽带，学生不容易理解各章节的内在逻辑，对课程的内容难有整体上的把握。实际上，我们知道，线性代数这门学科最初是从求解线性方程组发展而来的，因此，从线性方程组开始入手，一方面很容易将课程各模块的知识点串联起来，另一方面线性方程组与中学所学知识联系密切，更便于学生理解。因此，我们对课程内容体系重新进行了组织，如图1所示。由线性方程组的表示方法与Gauss-Jordan消元法，可以自然地引出矩阵及其初等行变换的概念；由线性方程组解的判别与解的表达式，可以引出行列式的定义及应用；由线性方程组解的表达以及无穷多解时解的结构，可以引出向量组及向量空间等相关知识。这样，线性代数课程的内容就可由线性方程组求解的计算和理论进行融合，知识结构更加清晰，学生对课程整体内容也更加容易理解。至于其他内容，特征值与二次型问题可以视作矩阵内容的延伸及应用（相似及合同），线性空间与线性变换则为向量空间的进一步拓展。

图1 线性代数课程知识体系

1.2 教学方法

线性代数课程的主要特点是概念及运算律多，因此对逻辑思维能力的要求较高。在教学过程中，我们发现学生容易对某些概念模糊不清，对相似知识点无法区别和联系，无法做到举一反三、融会贯通。通过在教学实践中总结与分析这些问题，我们主要从以下几个方面进行教学方法的改进：

首先要高度重视概念教学。线性代数的许多概念具有丰富的内涵与广泛的外延，需要分成若干个层次进行讲解，逐步提高和加深学生的认识。比如线性代数的核心概念“秩”，几乎贯穿于整门课程的内容中。对于矩阵来说，它的秩即其行阶梯形矩阵的非零行的行数；对于行列式而言，矩阵的秩可以由其最高阶非零子式的阶数来定义；对于向量组而言，它的秩即其极大线性无关组的向量个数。又如对于线性方程组而言，其解的判定需要依赖于其系数矩阵与增广矩阵的秩；从线性空间与线性变换的角度，矩阵的秩实质上也是其组成向量所张成的线性空间的维度，而当将矩阵视作线性算子时，它的秩即为像空间的维度。因此，这类概念需要来回反复地给学生讲解清楚，逐步加深学生对概念的理解。同时还要重视概念之间的逻辑关联。例如n阶矩阵可逆（非奇异）、矩阵的行列式不为零、矩阵的等价标准形为单位阵、矩阵的行（列）向量组线性无关、矩阵满秩、矩阵相应的线性方程组有唯一解、矩阵的特征值全部非零、矩阵的行（列）向量构成n维向量空间的一组基这些相关的命题实际上都是等价的，要重视引导学生掌握这些等价性背后的逻辑关联。

其次，化抽象为具体，善于运用简单的例子阐述复杂的问题。在线性代数课程的讲解中，应理论与实例相结合，抽象与具体相结合，以加强学生对知识点的接受和理解。例如在讲解行列式的定义时，先介绍二阶和三阶行列式的对角线法则，从这些公式中总结出运算规律，然后推广至n阶行列式的一般定义，使学生经历由具体到抽象的一个思维过程；在讲解逆矩阵的计算公式时，先求得二阶矩阵的逆矩阵的一般计算公式作为一个可以记住的特例，然后再进行高阶矩阵逆的求解；在讲解伴随矩阵时，采用三阶矩阵来验证分析有关的性质，而不是用教材中的n阶矩阵进行证明。再如，在讲述相关定理时，既要给出必要的严谨证明，也要多使用通俗的语言去解释该定理的含义。如在介绍向量组线性相关的判别定理时，可以用简短的语言总结出规律，如“加长向量组不改变线性无关”“截短向量组不改变线性相关”等，便于学生记忆。举例是教师在讲授疑难知识点时应重点运用的教学方法。

再次，引导学生进行知识点的串联和归纳。在线性代数课程的教学过程中，应适时引导学生的发散性思维，对知识点进行总结。例如线性方程组解的情况的判别，既可以用克莱姆法则来判别解的存在唯一性，也可以通过系数矩阵与增广矩阵的秩来判别；行列式的求解有多种方法，包括定义、矩阵的初等变换、使用代数余子式按行（列）展开进行降阶、利用归纳与递推等方法；又如矩阵的等价（相抵）、相似、合同出现在课程的不同章节，它们既有区别又有联系，同样需要对其相关性质和判别方法等知识点进行总结归纳。只有通过对现有知识的思考、总结和再加工，学生才能真正地把课本上的知识变成自己的知识，进而学以致用。

最后，重视线性代数课程与经管类专业课程的联系。在每个章节适当引入与线性代数知识相关的经济及管理应用实例，可更好地引起学生对课程的重视，从而提升他们的学习兴趣。如矩阵是经济数据处理的一个常用工具，可用矩阵清晰地记录货物调运方案、企业各种产品各个季度的产值、每个产品消耗原材料的定额等经济活动数据，便于后续的数据分析和处理；讲解线性方程组的解法时，可以介绍列昂惕夫（Leontief）投入产出模型，该数学模型最终归结到线性平衡方程组的求解；讲解矩阵的相似对角化时，可以以动物种群增长模型为例引入等。通过这些应用实例的讲解，将线性代数的计算方法与具体问题的数学模型进行结合，拓展了学生的知识面，使得课程的内容更加丰富。

1.3 教学反馈与评价

一门好的课程应当是使全部学生都能有所收获，并尽可能满足不同层次学生的求知欲。因此教师应在教学过程中及时跟踪学生的学习情况和反馈，以便对教学过程进行动态调整。我们采取了如下一些手段。一是采用线上和线下混合的教学模式。通过创建课程群等方式，建立学生与教师沟通的渠道，鼓励学生课后问问题，对学生提出的各种疑问耐心地解答。同时注意筛选网络平台的教学资源，挑选出与课程目标相契合的辅助教学内容，并在课程群中进行推送，供学有余力的同学学习；此外，可自行录制疑难知识点的补充讲解视频，发送给学生进行预习或者自学，努力开拓第二学习课堂。二是加强作业和测试的反馈管理。在作业提交后，教师应总结学生在练习中出现的常见错误并进行重点讲解；同时通过对学生作业完成度的检查，了解班级学风，对学习态度不认真或者懈怠的现象进行及时的纠正，保证所有同学能跟随课程进度及时消化课程内容。最后，在测试方面，可充分利用雨课堂等教学平台，合理地在课堂教学中设置一些选择题给学生用手机进行答题，既增强了师生之间的互动又能及时了解所有学生对知识点的掌握情况，以便实时地调整授课内容与节奏。在完成一个模块的学习之后，应进行课堂测试，并作为平时成绩重要的一部分计入最终的总评成绩。

2 结语

本文针对经管类外招生跟内招生在知识基础、教育背景等方面存在差异，数学抽象思维能力相对偏弱的问题，对经管类外招生线性代数课程的教学改革实践进行了总结，从教学内容设计、教学方法和教学反馈与评价等方面进行了探讨。从教学实践结果来看，这些措施产生了良好的效果，学生的积极性得到了提高，期末成绩整体上也有一定的提升。当然，线性代数的教学改革是一项系统工程，需要我们数学教育工作者不断地研究、探讨和改进，以帮助学生更加高效地领会大学数学的知识体系，进而提高其逻辑思维能力和运用数学知识的实践能力。