基于随机微分方程的易逝性高科技产品更新时机研究

鲁 芳，王 芹，张 蓓

（1.中南林业科技大学智慧物流技术湖南省重点实验室；2.中南林业科技大学物流与交通学院，湖南长沙 410004）

易逝性高科技产品的更新换代既可以使得高新技术生产企业保持优势，又能够用作获得市场先机的手段。但高新技术生产企业换代过快会使消费者产生逆反心理，减弱消费者对易逝性高科技产品的忠诚度，从而影响了企业产品的销售，无规则的更新换代更会加大这种效应。例如，在2019年iPhone11系列产品的推出，打破了苹果公司史上季度最高出货量，由于苹果公司更新时机的问题，然而在2020年第一季度iPhone12的出货量降幅达到10%。由此可见，企业要科学有效地规划易逝性高科技产品的更新迭代。对于高新技术生产企业来说，投放于市场中易逝性高科技产品更新时机是企业进行科学更新迭代的关键一环，它对于易逝性高科技产品过时程度的把握和新产品的销售具有重要影响，合适的更新时机可以平衡科技研发投入与产出的关系，更好地确定换代产品投放的大致时间，巩固高新技术生产企业的市场份额，同时获得长期利润。因此，伴随着互联网信息技术的发展与成熟，高科技产品短暂的生命周期特性加之产品价值易逝的产品特性，高新技术生产企业要慎重考虑正在使用的易逝性高科技产品的更新时机问题，以抢占市场先机，避免更新换代过快而产生的“泛替代障碍”问题，减少高新技术生产企业经营的不确定性。

1 文献述评

易逝性高科技产品的更新换代问题已引起国内外学者的高度关注。目前从易逝性与高新技术性的研究出发，在更新期、生命周期以及更新时机等3个方面细致分析，探讨了更新换代策略、企业收益管理以及库存策略等相关问题，例如王永朵等[1]和包宁等[2]基于更新期对易逝性高科技产品的模糊更新策略进行了研究，官振中等[3]从易逝性高科技产品更新期的角度研究企业收益最大化时易逝性高科技产品最优定价策略，徐飞[4]基于产品的更新期探讨新产品的最佳库存策略问题；Bass[5]则从易逝性高科技产品生命周期的角度进行研究，分析了易逝性高科技产品的特殊之处，提出了扩散和替代模型。刘靓晨等[6]和杨勇等[7]进一步研究易逝性高科技产品的成长期、衰退期的更新换代策略。Gökçe等[8]和徐杰等[9]基于电子产品生命周期角度就回收时机对回收率的影响以及回收价格的影响分别进行探讨；在对易逝性高科技产品更新时机的研究方面，赵晓旻等[10]和Huang等[11]探讨了在合适的时机推出新产品以避免过早推出造成自噬效应或过迟而延误最佳销售时机问题，但未进行定量分析新产品的最佳更新时机。虽然关于易逝性高科技产品更新换代问题的研究取得了一些显著成果，但是对于更新时机问题的解决，有的学者只是从新产品的推出时机的角度进行研究，对于正在使用的易逝性高科技产品更新换代时机问题还有待进一步探究。

在人们的日常生活和科学研究中处处充满了各种确定性或随机性的现象。随机微分方程作为研究随机过程与预测分析中解决内外部随机因素的一种方法，具有很强的应用价值，为时间以及成本的优化问题的解决提供了有效研究手段，如李志民等[12]、毕俊娜等[13]用随机微分方程中的布朗运动刻画资金以及市场不确定性因素的变化，为金融行业进行风险的控制提供了参考。Deng等[14]利用随机微分方程构建了连续时间模型，该模型考虑了市场环境不确定性以及产品的价格，该研究为我国高新技术企业的发展和工程应用价值的实现提供了一定参考。以上研究表明最优控制理论或方法对于随机问题的解决具有重要借鉴价值。

鉴于此，本文将随机控制问题的解决方法与易逝性高科技产品的更新时机问题相结合，综合考虑技术进步与价值易逝等外部因素对易逝性高科技产品更新时机的干扰情况，构建技术进步和价值易逝影响下易逝性高科技产品更新时机波动率模型，为企业对易逝性高科技产品更新时机进行决策分析时提供一定的参考。

2 问题描述与假设

对于高新技术生产企业来说，易逝性高科产品的更新时机不仅要考虑易逝性高科技产品的性能状况，还要关注企业的技术进步情况以及价值的易逝程度等外部因素，通过综合考虑产品的影响因素，才能更精准地预测易逝性高科技产品更新的最佳更新时机，做到科学有效地规划易逝性高科技产品的更新换代。在时机问题的解决方法中，随机微分方程广泛应用于高新技术产品使用寿命的问题研究之中。对于时机的控制来说，传统的微分方程只是解决易逝性高科技产品本身性能情况的更新时机，然而易逝性高科技产品的更新时机还受价值易逝性以及技术进步等外部因素的共同影响，并且技术与价值易逝程度对时机的影响具有不稳定性。与传统的微分方程所构造的模型相比，随机微分方程可以综合考虑易逝性高科技产品性能状况以及价值与技术的影响程度，做到更加准确地判断更新时机。为此，本研究基于随机微分方程来构建易逝性高科技产品更新时机模型预测易逝性高科技产品的最佳更新时机。此外，为了突出该方法的不同之处，先基于传统微分方程来解决易逝性高科技产品的时机问题，然后利用随机过程来解决外部因素对易逝性高科技产品更新时机的影响。最后得到基于随机微分方程的易逝性高科技产品更新时机模型。基于对上述问题的分析，此更新问题解决的具体步骤如下：

（1）第一步是基于高新技术生产企业对一般产品更新换代时机问题的考虑，先集中解决不考虑技术进步与价值易逝等外部因素干扰下的易逝性高科技产品使用寿命。在产品更新换代问题的解决中，由于威布尔分布能够很好地反映产品的状态以及使用时间的情况。由此，易逝性高科技产品寿命问题的解决使用威布尔分布和多项式逼近来构建产品使用寿命基准模型。

（2）第二步将易逝性高科技产品的特性融入产品使用寿命基准模型之中，分析技术性与易逝性等外部因素对易逝性高科技产品更新时机的影响。在此，本文通过将随机微分方程布朗运动引入到易逝性高科技产品更新时机模型之中，利用随机过程构建外部因素影响下的易逝性高科技产品更新时机波动率模型。由于技术研发具有高度的不确定性，使得易逝性高科技产品的技术进步程度以及价值易逝程度具有随机性，技术性与价值易逝性都是外部因素对更新时机的影响。在此为了简化模型，对易逝性高科技产品更新时机的外部影响强度记为σ，即易逝性高科技产品更新时机波动的强度系数。综合上述两部分得到最终易逝性高科技产品更新时机模型。基于研究的情景，本文作如下假设：

假设1：易逝性高科技产品的性能状况基于易逝性高科技产品维护费用进行判断。

假设2：借鉴Deng等人[14]研究，技术进步水平和价值易逝性程度对更新时机的影响程度系数认为是在一个均值点附近随机波动，且波动始终是独立和稳定的。

假设4：技术性和价值易逝性对易逝性高科技产品更新时机的影响期望为零。

3 基于随机微分方程的易逝性高科技产品更新时机模型构建与分析

3.1 易逝性高科技产品更新时机模型构建

3.2 易逝性高科技产品更新时机模型求解与分析

4 案例分析

4.1 案例背景

近年来，苹果公司在高新技术行业处于领先地位。苹果公司的产品科技含量高、种类繁多以及更新换代频繁，与本研究的高新技术生产企业背景相符。因此，从数据的可获得性以及实际问题出发，以iPad 9内存256 GB为研究对象，利用本文所构建的易逝性高科技产品更新时机模型对更新时机进行研究以验证模型的应用价值。

4.2 数据来源

采购价格来源于苹果官方网站（https://www.apple.com/shop/iPad），购置后维护费用来源于此网站（http://www.squaretrade.com/pages/iPadreliability-1109），经计算后所得到相关数据如下表1所示。

表1 iPad 9性能衰退值

（1）利用MATLAB对上述收集的数据进行仿真计算，求得参数值为同时，为了避免外部因素对易逝性高科技产品更新时机结果的影响，现将波动强度系数赋值为 ，下面将对不同波动强度对更新时机的影响进行具体分析，将以上数据代入易逝性高科技产品更新时机模型式子（5）从而求得 iPad 9更新时机模型为：

同样地，将数据带入性能可靠度函数式子（8）可进一步求得：

（2）借助MATLAB对式（12）和（13）仿真分析，得到结果如下图1所示。

图1 iPad 9的性能可靠度曲线

（3）从图1中的性能可靠度曲线可以看出，当性能可靠度阈值取0.92时，此时iPad 9的使用寿命为2～3年，在此之后iPad 9的性能可靠度出现了急剧下降。基于此可以判定当iPad 9性能可靠度阈值低于0.92时，可考虑更换新产品。

（4）为了更清晰地分析高技术性与价值易逝性等外部因素对易逝性高科技产品更新时机的影响关系，用MATLAB仿真分析外部因素对易逝性高科技产品更新时机的影响情况，仿真结果如下图2所示。

图2 外部因素对iPad 9更新时机的影响

4.3 案例分析结果

根据上述案 例分析得到如下结果:

（1）根据图中曲线可以看出，当阈值为0.92时iPad 9的可靠度发生显著变化，基于此可得到iPad 9的最佳更新时机为2023—2024年，苹果公司可选择此时推出新产品以获得市场份额。

（2）在前2年的使用时间内，iPad 9的性能状况没有显著变化，此研究结果表明，iPad 9的更新不宜太频繁；否则，会使得过度更新的情况发生而导致企业的利润受损。

（3）从图1中曲线可以看出，iPad 9性能可靠度的变化不是一条光滑曲线，而是一条上下波动的曲线，这充分反映了外部因素对iPad 9更新时机的影响波动情况，显然影响程度取决于波动系数的大小，企业可根据新一代产品的创新程度来判断易逝性高科技次产品的更新时机。

（4）从图2可以看出，外部因素影响下的更新时机波动强度系数σ是一个关于时间的递减函数。同时，外部因素的影响程度越大，产品性能衰退的速度越快，进而导致iPad 9产品的更新时机会越提前，这与式（11）易逝性高科技产品更新时机波动的强度系数σ与易逝性高科技产品性能状况变化所反映的关系相一致。

5 结论与展望

本文 以易逝性高科技产品为研究对象，从高新技术生产企业的角度首先建立了易逝性高科技产品使用寿命模型，而后在此基础上建立考虑外部因素影响下的易逝性高科技产品更新时机波动率模型，最终确定了易逝性高科技产品更新时机模型，该模型准确地刻画了易逝性高科技产品性能状况以及时间的变化关系，可为企业在解决易逝性高科技产品的更新时机问题时提供科学的思路与方法。对于高新技术生产企业来说，易逝性高科技产品何时更换的问题，回归本源还是取决于易逝性高科技产品的性能状况以及外部因素的干扰程度情况。这一研究结果表明，企业可在合适的时机进行更新产品的更新换代以充分利用企业自己的资源和技术优势，如企业的新产品创新程度较大且新产品的价格又较低时，可尽早推出新产品加快易逝性高科技产品更新换代的步伐，以更换正在使用的产品来获取收益，同时保持产品在市场上的技术优势。此外，研究易逝性高科技产品更新时机问题不仅丰富了电子电器产品的生命周期理论，还有 助 于企业更加准确地了解消费者的需求，同时获得市场竞争优势，抢占市场先机。本文研究的不足之处在于对更新时机问题的影响因素考虑不够全面。现实生活中，竞争环境日益激烈，可进一步探究高新技术企业相互竞争时的更新时机。此外，本研究在构建模型时未考虑政府的市场监管行为对更新时机的影响，下一步可考虑政府补贴或惩罚展开更深入的探究，更好地揭示经济社会中的现象。