两类亚循环群之间的同态数量

王佳俊，高百俊，2*

（1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁 835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁 835000）

0 引言

1993年，T.Asai和T.Yoshida［1］将文献［2］中的主要定理推广为T.Asai和T.Yoshida猜想，开启了有关有限群同态数量猜想研究的序幕.之后，不少群论研究者将目光投向了有限群同态数量的研究［3-6］.文献［7］计算了拟二面体2-群之间的同态数量，纠正了文献［4］的定理证明错误并验证了拟二面体2-群是满足T.Asai和T.Yoshida猜想的；文献［8］计算了一类由n阶循环群通过2p阶亚循环群扩张的2np阶亚循环群Gn,2p之间的同态数量，并验证了这类亚循环群是满足T.Asai和T.Yoshida猜想的；文献［9］以Gn,2p［8］为研究对象之一，计算了Gn,2p［8］到二面体群、拟二面体群、四元数群以及模群之间的同态数量，得到了它们也是满足T.Asai和T.Yo‐shida猜想的.Mp(n,m)是内交换亚循环p-群，在p-群的同构分类中有着重要的作用.本文将以内交换亚循环2-群M2(2，m)为研究对象，计算它与亚循环群Gn,2p［8］之间的同态数量，进一步验证这两类群是满足T.Asai和T.Yoshida猜想的.

为了叙述方便，我们先给出这两类群的结构：

文中φ表示Euler函数，其他记号参见文献［11］.

1 预备知识

引理1［10］设内交换亚循环2-群m＞2 是正整数，则

引理2设M2(2，m)记号如上，则

（1）a2bj=bja2，0 ＜j＜2m；

（2）abj=bja3，a3bj=bja，0 ＜j＜2m且j为奇数；

（3）abj=bja，a3bj=bja3，0 ＜j＜2m且j为偶数.

证明：由M2(2，m)定义易得（1）（2）（3）成立.

引理3设M2(2，m)记号如上，则

（2）o(abj)=o(a2bj)=o(a3bj)=o(bja)=o(bja3)=2m，0 ＜j＜2m且j为奇数；

（3）o(abj)=o(a3bj)=o(bja)=o(bja3)=[4,o(bj)]，o(a2bj)=[2，o(bj)]，其中0 ＜j＜2m且j为偶数.

证明：由有限群元素阶的性质和引理2易得（1）（2）（3）成立.

证明：任取aibj，asbt∈M2(2，m)，其中0 ≤i，s＜4，0 ≤j，t＜2m.下面分4种情况讨论：

（1）当j为偶数且t为偶数，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=1；

（2）当j为偶数且t为奇数，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a-2i；

（3）当j为奇数且t为奇数，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a2(i-s)；

（4）当j为奇数且t为偶数，[aibj，asbt]=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a2s.

特别地，若j=p，则o(xi yj)=2，若j≠p，则o(xi yj)=2p；

引理7设Gn,2p记号如上，则

（1）xi yj=yjx-i，yjxi=x-i yj，0 ≤j＜2p且j为奇数；

（2）xi yj=yjxi，yjxi=xi yj，0 ≤j＜2p且j为偶数.

证明：由Gn,2p定义易得（1）（2）成立.

引理8设Gn,2p记号如上，当4∣n时是Gn,2p中的四阶元.

证明：设o(xi yj)=4，其中0 ≤i＜n，0 ≤j＜2p.当j为奇数时，由引理7 可知，(xi yj)4=y4j=1，根据已知条件可知此j不存在；当j为偶数时，由引理7可知，(xi yj)4=x4i y4j=1，由Gn,2p的定义可得，x4i=1 且y4j=1，于是i=因此，当4∣n时是Gn,2p中的四阶元.

2 主要定理及其应用

定理1n为正偶数，m是大于2的整数，p是奇素数，则

（1）当4∣n时，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=6n+2α+1，α∈Z且2 ＜α≤m；

（2）当4 ∤n时，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=5n+4.

定理2设n为正奇数，m是大于2的整数，p是奇素数，则|Hom(M2(2，m),Gn,2p)|=3n+1.

证明：设θ∈Hom(M2(2，m)，Gn,2p)，因为(a4)θ=(aθ)4=1，所以o(aθ)∣4，进而o(aθ)∣(4，2np).由于n为正奇数，于是o(aθ)∣2.由引理6 可知，aθ∈{1}⋃{xi yp|0 ≤i＜n}.又(b2m)θ=(bθ)2m=1，所以o(bθ)∣2m，进而o(bθ)∣(2m，2np).而n为正奇数，于是o(bθ)∣2.由引理6可知，bθ∈{1}⋃{xj yp|0 ≤j＜n}.

首先令aθ=1，若bθ=1，此时，θ为平凡同态且只有1 种选择；若bθ=xj yp，0 ≤j＜n，则由定理1（1）中bθ=xj yp，aθ=1可知，群同态θ有n种选择.

最后令aθ=xi yp，且0 ≤i＜n，若bθ=1，则由定理1（1）中bθ=xu，这里0 ≤u＜n且o(xu)∣2α，α∈Z且2 ＜α≤m，aθ=xi yp可知，令u=0 时θ为群同态，此时，θ有n种选择；若bθ=xj yp，这里0 ≤j＜n，则可断定θ为群同态当且仅当i=j，同样由定理1（1）的证明可知，群同态θ有n种选择.

综上所述，当n为正奇数时，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=3n+1.

定理3设n为正偶数，m是大于2的整数，p是奇素数，则|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|=16.

综上所述，当n为正偶数时，|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|=16.

定理4设n为正奇数，m是大于2 的整数，p是奇素数，则|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|=4.

3 应用

T.Asai和T.Yoshida猜想［2］：设A，G是两个有限群，A′是A的换位子群，则|Hom(A，G)|≡0(mod(|A/A′|，|G|))成立.

下面，验证群M2(2，m)与群Gn,2p之间的同态数量满足T.Asai和T.Yoshida猜想.

推论1设n为正整数，m是大于2 的整数，则|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|≡0(mod(M2(2，m)/M′2(2，m)|，|Gn,2p|)).

证明：已知|M2(2，m)|=2m+2，由引理5知，|M2(2，m)/M′2(2，m)|=2m+1.下面分两种情况讨论：当n为正偶数时，则(|M2(2，m)/M′2(2，m)|，|Gn,2p|)=(2m+1，2np)，即(2m+1，2np)=2α，α∈Z 且2 ≤α≤m+1，由定理1知，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|≡0(mod(|M2(2,m)/M′2(2,m)|,|Gn,2p|))；当n为正奇数时，则(|M2(2，m)/M′2(2，m)|，|Gn,2p|)=(2m+1，2np)，即(2m+1，2np)=2，由定理2知，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|≡0(mod(|M2(2,m)/M′2(2,m)|,|Gn,2p|)).综上，推论1成立，即群M2(2，m)到群G2np的同态个数满足T.Asai和T.Yoshida猜想.

推论2设n为正整数，m是大于2的整数，则|Hom(Gn,2p，M2(2m))|≡0(mod(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)).

证明：已知|Gn,2p|=2np，由引理6 知，|Gn,2p/G′n,2p|=np.下面分两种情况讨论：当n为正偶数时，则(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)=(np，2m+2)，即(np，2m+2)=2β，β∈Z 且1 ≤β≤m+2，由定理3 可知，|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|≡0(mod(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|))；当n为正奇数时，则(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)=(np，2m+2)，即(np，2m+2)=1，由定理4知，|Hom(Gn,2p，M2(2，m))|≡0(mod(|Gn,2p/G′n,2p|，|M2(2，m)|)).综上，推论2成立，即群Gn,2p到群M2(2，m)的同态个数满足T.Asai和T.Yoshida猜想.