浅探“任意性”或“存在性”问题的解法

徐清杰

山东省惠民县第一中学

近几年来，高考数学试题及各省市模拟题中，含逻辑量词的“任意性”或“存在性”问题多有出现，涉及此类问题，学生们多有困惑，现结合个人的教学体会，将其整理归纳为五种情形，与大家共同探讨此类问题的解法，以便于今后的学习实践.

1 一个“任意”、一个“存在”，两个不同函数

此类试题的特点是含有一个“任意”和一个“存在”，分属两个不同的变量，来自两个不同的范围(有时两个范围也可以相同)，分别针对两个不同的函数.

分析：题中的“存在”“任意”等价于：f(x)中至少存在一个x0使得f(x0)小于g(x)值域中的任意一个实数，即f(x)min

归纳：(1)∀x1∈D1,∃x2∈D2，f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.(适用于f(x),g(x)最值存在的情况，以下同.)

剖析：① 若f(x)的最小值不存在，f(x)∈(m,n)，则m≥g(x)min；②若g(x)的最小值不存在，g(x)∈(m′,n′)，则f(x)min>m′；③若f(x)，g(x)的最小值同时不存在，则m>m′.(注：若f(x)，g(x)的最小值不存在时，可以用其值域的左端点替代，但需要验证等号是否能取到.)

(2)若∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)≤g(x2)成立，则f(x)max≤g(x)max.

剖析：若f(x)，g(x)的最大值不存在时，可以用其值域的右端点替代，同样需要验证等号是否能取到，情况与上述剖析类似，不再一一阐述.

(3)若∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)=g(x2)，则f(x)的值域是g(x)的值域的子集.

2 两个“任意”，两个不同函数

此类试题的特点是含有两个“任意”，分属两个不同的变量，来自两个不同的范围(有时两个范围也可以相同)，分别针对两个不同的函数.

分析：题中两个“任意”，说明f(x)的值域中任意一个实数都不小于g(x)值域中任意一个实数，即f(x)min≥g(x)max.

故a的取值范围为[1，+∞).

归纳：(1)若∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)max.

(2)若∀x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)≤g(x2)成立，则f(x)max≤g(x)min.

3 两个“存在”，两个不同函数

此类试题的特点是含有两个“存在”，分属两个不同的变量，来自两个不同的范围(有时两个范围也可以相同)，分别针对两个不同的函数.

故a的取值范围为(-2,0).

归纳：(1)若∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)≥g(x2)，则f(x)max≥g(x)min.

(2)若∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)≤g(x2)，则f(x)min≤g(x)max.

(3)若∃x1∈D1,当x2∈D2,f(x1)=g(x2)，则f(x)的值域与g(x)的值域的交集是非空集.

点评：此类两个不同的x值，满足两个不同函数的求参数范围问题，通常有两种解法.①求出两边各自的最值，再解两最值的不等式，如例1、例3；②有时一边的最值不易求出，而另一边的最值容易求出时，可借助于求出的最值，对不等式进行同解变形，构造一个与背景函数相关的辅助新函数，再将不等式分离参数，如例2；也可对参数进行分类讨论.

4 一个“任意”，两个不同函数

此类试题的特点是含有一个“任意”，连接一个变量，分别针对两个不同的函数.

例4已知函数f(x)=ex-1，g(x)=ax2+x，若对任意x∈[0,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围.

分析：可先考虑分离参数法;如果参数不易分离，再考虑构造新函数法，即∀x∈[0,+∞)，f(x)-g(x)≥0恒成立，令h(x)=f(x)-g(x)，只需h(x)min≥0即可.

归纳：(1)若∀x∈D,f(x)≥g(x)恒成立，可先考虑分离参数法；后考虑构造新函数法，设h(x)=f(x)-g(x)，则h(x)min≥0.

(2)若∀x∈D,f(x)≤g(x)，解法同上(或分离参数法；或h(x)max≤0).

5 一个“存在”，两个不同函数

此类试题的特点是含有一个“存在”，连接一个变量，分别针对两个不同的函数.

分析：可以先考虑分离参数法解决问题；如果不易分离参数，可直接转化为∃x∈(0,+∞)，f(x)-g(x)+ex≤0成立，令h(x)=f(x)-g(x)+ex，则只需证明h(x)min≤0.

归纳：(1)若∃x∈D,f(x)≥g(x)成立，可先考虑分离参数法；后考虑构造新函数法，设h(x)=f(x)-g(x)，则h(x)max≥0.

(2)若∃x∈D,f(x)≤g(x)，解法同上(或分离参数法；或h(x)min≤0).

点评：此类一个x值，满足两个不同函数的问题，若条件中含有参数，需要求参数的取值范围时，可考虑两种解法.①若参数容易分离，可将参数与其他变量分离，构造一个新函数，转变为求新函数的最值，如例5；②若参数不易分离，可通过不等式的同解变形，构造一个与背景函数相关的新函数，常需对参数进行分类讨论，如例4.若证明不等式成立时，通常也有两种证明方法.一是通过不等式的同解变形，将不等式转化为两个函数的最值进行比较，如例6；二是通过不等式的同解变形，构造一个新函数证明不等式，如例7.

总结：两个不同的x值x1,x2针对两个不同的函数f(x1),g(x2)的“任意性”或“存在性”问题，根据上述两个不同x值的不同情况，分别求出f(x),g(x)相应的最值，然后比较大小；有时也会只求一个函数的最值，重新加以整合，或分离参数法，或构造一个新函数进行分类讨论.同一个x值针对两个不同的函数f(x),g(x)的“任意性”或“存在性”问题，根据上述同一个x值的不同情况，或分离参数法，或构造一个关于f(x),g(x)差的新函数，再求相应的最值.Z