澳洲VCE教材中关于非线性数据的回归分析

林佳青

数据分析作为数学核心素养之一，要求学生具有基于数据表达现实问题的意识和较强的数据处理能力．本文以研究澳洲VCE课程（Victoria Certifi-cate of Education）高中数学教材中关于非线性数据的回归分析为切入点，探討数据分析与图形计算器的运用，进而在现实情境中提出探究性问题，旨在通过海外教材中有关数据处理的教学内容和特点的分析，为国内高中数学课程中相关板块的实际课堂教学提供借鉴，也为今后结合本土教育教学特色进行有效融合与创新提供思路．

1 一元线性回归分析

回归分析（regression analysis）是一种统计分析方法，用于确定两种或两种以上变量之间的定量关系．根据涉及的变量数量，分为一元回归和多元回归分析．根据自变量和因变量之间的关系类型，回归分析可分为线性回归分析和非线性回归分析．在高中阶段，主要学习一元回归分析．

对于一元线性回归分析，基于最小二乘法原理，可以用形式为的直线来进行拟合．利用图形计算器输入已知数据，可以较容易地获得拟合直线，通过相关系数或者拟合优度判定系数的大小来判断直线拟合的程度．越接近1或者越接近1，说明拟合程度越高．计算器一般会在每次函数拟合后自动算出对应的相关系数和拟合优度判定系数．

2 一元非线性回归分析

在统计离散数据时，往往利用散点图（scatter-plot）呈现数据之间的关系．一些数据之间的关系并非是线性的，如果单单依靠线性拟合来表征，往往并不准确．澳洲教材在处理一元非线性数据时，利用函数变换和化归的数学思想，化曲为直来进行数据的拟合．相比于单纯使用图形计算器来解决拟合问题，这样的处理方式能够锻炼学生运用数学工具进行分析及解决问题的能力．

2.1 非线性数据的变换处理

澳洲教材中在处理非线性数据时，首先利用散点图呈现数据间的关系．散点图的形状不同，对应的数据关系也不同，因此需要运用合理的变换以达到“化曲为直”的效果．值得注意的是，同一种非线性的数据形态会有多种不同的变换处理方式．如图1，左上角的散点图对应的变换可以是． y2，lgx，1/x

这里澳洲教材只讨论单调递增或者单调递减的非线性数据回归分析，这也与国内高中阶段对于数据统计的教学要求较一致．以教科书中的平方变换、对数变换和倒数变换为例（见表1），解释说明其变换对于非线性数据“化曲为直”的原理．

2.2 图形计算器在非线性回归中的运用

在解决实际应用问题时，通常需要确定变量并收集一定数量的数据，然后根据数据绘制出相应的散点图．之后根据绘制后的散点图形态选择合适的函数，建立函数关系式并进行回归分析，最终得到回归方程．对于回归方程，还需进行相关性检验．这整个过程需要大量的计算和时间，容易让学生感到繁琐和重复．

作为传统教学方式的一种补充，图形计算器能够有效地实现曲线拟合与数学其它分支的多元联系，突破了曲线拟合教学的瓶颈．因此，图形计算器在教学中发挥着重要作用．表2列举了12个国家人口平均寿命（年）和国内生产总值GDP（亿美元）的数据：

（1）根据表2中各组对应的数据，能否找到一种关系式，使它能够近似反映人口寿命（用表示）关于国内生产总值（用表示）的关系？试写出一个人口寿命关于国内生产总值的关系式（系数保留三位有效位数）．

（2）若一个国家的国内生产总值GDP为20000亿美元，利用（1）问求得的关系式，推测其人口的平均寿命（保留一位小数位数）．

（3）查询相关统计数据，分析其他影响人口寿命的因素，进一步探究其关联程度，概括总结出报告；预测近一年我国的人口平均寿命，讨论可能产生偏差的成因．

在以往课堂教学活动中，对于问题（1），容易想到先画出表2数据的散点图（如图2），利用图象直观分析数据的变化规律，适当选择函数用以描述人口寿命与国内生产总值的关系．之后借助图象计算器快捷地拟合出函数解析式．最后根据拟合优度判定系数r 2，其值越接近于1拟合度越高．

相比之下，澳洲教材用数据的变换角度来解决这个非线性拟合问题：首先从原始散点图直观上观察到点的分布呈现凹的递增形状，可以利用y2，lgx或x/1等非线性变换使数据线性化，即化曲为直．这里我们不妨使用变换，也就是把横坐标标度调整为对数标度lg（GDP）：，使得原本呈曲线形态的散点图变换成近似线性形态（如图3）．

此时人口寿命y与国内生产总值的常用对数lgx呈近似线性形态，即y x lgx），问题化归为一元线性回归分析问题，于是基于最小二乘法原理，采用直线y = a lg（x）+b来进行拟合（如图4）．最后得到关系式：lifespan = 54.3+5.59×lg（GDP）．对于问题（2），只需令x = 20000，代入上式可得lifespan = 54.3+5.59×1g（20000）= 78.3years ，因此，当国内生产总值GDP为20000亿美元时，人口平均寿命的预测值为78.3岁.

当然，也可选择其他类型的变换进行拟合，根据拟合优度判定系数，选择较优模型进行预测．

问题（3）是开放型试题，可以作为一个挑战性的学习主题．学生们能够在现实情境中查找资料，获取信息，并经历数学建模的过程．这类问题有助于培养学生以数学的视角观察世界，运用数学思维思考世界，以及用数学语言表达世界．因此，这类问题对于学生的综合素养提高有着积极的促进作用．另外数据来源于真实世界，并非人为拼凑，学生在建立模型、数据分析之后所得的结果并非完美，也能够进一步促使学生思考、修正、探究数据背后的信息．这也符合数学课程跨学科融合的大趋势，值得借鉴．

3 启示与思考

作为上海市“试点高中国际课程”的一线数学教师，笔者致力于在不同教学模式中找到契合点，寻找有利于国内培养核心素养的元素，当然在本文关于非线性数据回归教学中也有着进一步的反思．

3.1 信息技术与数学课程的深度融合

数学教学应注重信息技术的运用，优化课堂教与学的方式．进一步地，教师应为学生提供理解概念所需的背景，并引导学生课后自主获取资源．教师和学生可以共同探索利用信息技术探索算法，进行大规模计算，从数据库中获取数据，实现传统教学方式难以达到的效果．因此，信息技术在数学教学中的应用有着重要的意义，可以为学生和教师提供更丰富、更高效的教学资源和方法． 3.2 在综合情境中阐释科学规律

高中数学教育的目标不仅是传授数学知识，更要培养学生的综合素养和实践能力，提升他们的思维水平和创新能力．数学教学中的实际应用问题可以激发学生的兴趣和动力，帮助他们理解数学知识与现实世界的联系，开拓视野和思维．相信在“双新”背景下的教学将来更加开放与多元．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[S]．北京：人民教育出版社，2018

[2]Peter Jones，Kay Lipson，Michael Evans．General Mathematics[M]． Melbourne：Cambridge University Press，2022