巧借深度学习催生素养落地

程丽雲 张新全

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：“高中数学教学以发展学生数学核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质．”[1]数学学科核心素养集中体现了数学学科的育人价值，它是学生在接受数学教育中逐渐形成的，以适应个人终身发展及社会需要的一种必备品格和关键能力．落实数学学科核心素养已成为当下中学数学教师关注的核心问题和数学教育研究者关注的热点．数学学科核心素养的落实要具体到数学课堂中，基于深度学习的数学教学深度契合以数学学科核心素养为目标的新课程理念，是落实课改、发展核心素养的有效途径．因此，教师应在数学课堂教学中引导学生进行深度学习，提升综合能力、培养高阶思维、促进数学学科核心素养落地生根．

1 深度学习的内涵与特征

深度学习也称深层学习或深层次学习，原是机器学习领域中的一种模式分析方法的统称．1976年瑞典哥德堡大学研究者Ference Marton和Roger Saljo在基于学习本质的层级理论中首次提出了教育领域的深层次学习概念，2005年国内学者黎加厚将深度学习引入国内．目前关于深层次学习的内涵，学界没有统一界定，不同学者有不同的理解．基于对学术界影响力较大的观点进行分析综合，笔者认为教育中的深度学习是学生在教师指导下，在原有认知结构的基础上，积极主动地理解知识，批判性地学习新知，并最终能够迁移应用解决新的实际问题，由此获得未来必备素养的学习．

依据深度学习的内涵，结合数学学科的特点，本文将数学学科深度学习概括为以下六点特征：

（1）关注学习者主动投入式的学习；

（2）注重学习过程，关注学习体验；

（3）强调对学习内容的深度加工；

（4）把握数学学科体系与内容的整体结构；

（5）关注对学习过程的构建反思；

（6）强调迁移应用与问题解决．

2 借深度学习促素养落地教学实践

培养学生的数学学科核心素养从理念走向行动需要从深度学习走向深度教学．本文将学习理论与中学数学课堂教学进行深度融合，以人教A版高中数学教材必修2“直线与平面垂直的判定”为例，通过具体的教学案例对如何在课堂教学中开展深度学习，促进学生数学核心素养发展的课堂教学实践进行示范，以提升學生的思维和问题解决能力，寻求达成落实数学学科核心素养培养目标的有效路径．

2.1激活旧知，初成图示

问题1 我们刚刚完成了空间中直线与平面平行这百花园的游览，大家都收获满满．请回顾空间中直线与平面有哪几种位置关系？

师生活动 学生将自己课前梳理的结构展示出来（如图1），通过小组代表交流，达成共识，形成空间中直线与平面的位置关系．

问题2 类比直线与平面平行的研究思路，你认为对于直线与平面垂直要研究哪些内容？按怎样的线索展开研究？研究方法是什么？

师生活动 先让学生尝试，教师帮助分析，共同完善直线与平面垂直的研究思路（如图2）．教师引导学生回忆将立体几何“平面化”的“降维”思想，强化空间位置关系的常用研究方法：空间问题平面化，即降维化归，得到立体几何认知的研究内容：“定义—判定—性质—应用”与研究路径：“实例—抽象—概括—论证”．

设计意图 通过思维导图或概念图的方式对知识点进行梳理、串联、贯通，使学生对章节的知识脉络了解得更加清晰，帮助学生从整体角度去建立知识之间的联系，形成“单元化的知识”，促进学生融会贯通，真正理解知识、掌握知识．首先，借助思维导图让学生从整体上认识空间中直线和平面的位置关系；其次，类比直线与平面平行形成直线与平面垂直的研究思路和方法，通过概念图帮助学生达成结构化意识和思维的意愿，并把数学思想、研究方法贯穿在知识生成过程中．

2.2探究新知，深度加工

2.2.1 实例导入，模型抽象

实例1 “一桥飞南北，天堑变通途．”港珠澳大桥被称为是“世界七大奇迹之一”，桥墩地基是支撑桥体的重要力量，在水下建造桥墩时，工程师需要精确测量出桥墩与海平面垂直．

实例2 我国拥有世界上规模最大的高铁网络．高铁被誉为“新四大发明之一”，高速铁路多以高架桥的形式修建，在建造高铁桥墩时，工程师需要精确监测出高铁桥墩与地面垂直．

问题3 从以上两个实例中可以抽象出直线和平面的哪种位置关系？直线与平面垂直在我们的生活中还有许多直观的感知，试举例说明．

设计意图 通过具体的生活实例，让学生感悟中国特色社会主义制度的优越性，激发民族自豪感，坚定爱国主义情怀，并直观感知直线与平面垂直的几何关系，抽象出数学模型，形成猜想，学会用数学的眼光观察世界，进而培养学生直观想象和数学抽象等数学核心素养．

2.2.2 新知探究，深度理解

任务1建构直线与平面垂直的定义

教师利用信息技术呈现我国古代计时仪器日晷（如图3），并向学生介绍其基本结构和计时原理．

问题4 请同学们观看日晷的图片，图中有哪些让你印象深刻的数学画面和数学元素？思考晷针与晷盘之间有何种位置关系？

追问 思考在阳光下，随着时间的变化，晷针及其投影所在直线与晷盘所在平面有何位置关系？晷针所在直线是否与晷盘内所有直线都垂直？请说明理由．

师生活动教师借助GeoGebra软件对日晷的计时过程进行数学抽象，动态模拟影子试验（如图4）．学生通过观察易得在任意时刻晷针及其投影所在直线与晷盘所在平面均保持垂直．然后，教师引导学生通过平移得到晷针所在直线与晷盘内所有直线都垂直．

设计意图 结合生活模型创设问题情境，驱动学习，引导学生用数学的眼光看问题，在将实际问题数学化的过程中提升数学抽象能力．

问题5 试用简洁的语言归纳出直线与平面垂直的定义．

追问 试辨析定义中的“任意”能否替换为：“所有的”“全部”“每一条”“无数条”？

师生活动 教师引导学生归纳概括直线垂直于平面的定义：直线垂直于平面内的任意一条直线，则其与该平面垂直．接着，教师引导学生列举反例，辨析概念，加深学生对“任意一条”的理解，如图5．

设计意图 对其中的重点词汇做近似替换，加以区分，有助于学生深入理解，并掌握定义的本质．

问题6 为便于研究和表达，还需要建立哪些辅助性的概念？试分别用图形语言和符号语言表示直线与平面垂直的定义．

追问 运用已学过的逻辑用语我们还能怎么解释定义？

师生活动 学生探究思考后回答：为研究和表述方便还需要建立垂面，垂足等辅助性概念．接着，教师引导学生借助逻辑用语进一步理解线面垂直的定义，最后，教师出示表1，并解释相关概念．

设计意图 数学学习中数学语言的应用是必要的，尤其在立体几何问题中图形语言是重要的数学语言．让学生尝试图形语言的表述，加强对数学语言的转化，同时巩固直线与平面垂直的定义，培养学生直观想象的核心素养．

2.2.3 分析综合，新知整合

任务2 探索直线与平面垂直的判定定理

问题7 古人在制作日晷时，如何准确判断晷针与晷盘垂直？

追问 定义法是判定直线与平面垂直的一种方法，解决实际问题时易操作吗？

师生活动 教师通过询问学生，古人如何判断晷针是否与晷盘垂直？让学生感受证明“任意一条”的不可操作性．

设计意图 合理设置问题情境，既起到了承上启下的作用，又让学生体会到寻求线面垂直判定新方法的必要性，更坚定了学生简化定义中“任意一条”的想法．

问题8 类比线面平行的判定定理，对于直线与平面垂直的判定是否有简便可行的方法？通过直线与平面内有限条直线垂直能否判定直线与平面垂直？

追问 在前面我们已经学过了平面向量的相关内容，试解释：直线与平面内的两条相交直线垂直，则该直线与平面垂直．

师生活动 首先，教师对学生的每一种想法进行辨析，得出关于线面垂直判定定理的猜想．其次，教师引导学生通过实验探究来证实猜想，教师让学生取出三角形的纸片，并做以下试验：过三角形的顶点翻折纸片，得到折痕AD（记作：直线l），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（纸片底边与桌面接触）．引领学生在观察中比较，在比较中发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，且BDC，，不在同一直线上时，翻折之后折痕AD所在直线l与桌面所在平面α形成垂直关系，如图6所示．否则，不能使AD与桌面垂直．教师借助GeoGebra软件进行演示，增强学生的直观体验，引导学生将线面垂直的判定简化为直线与平面内两条相交直线垂直，即：线不在多，相交则行．最终教师引导学生回忆平面内的任意向量都可以用两个不共线的非零向量表示，以验证线面垂直判定定理的合理性．

问题9 试分别用图形语言和符号语言表示直线与平面垂直的判定定理．

追問 你认为定理的条件由几部分组成？定理推导过程，体现了数学的哪些思想和方法？

师生活动 经过实验探究，学生对线面垂直的判定定理有了模糊的认知，教师此时给出严谨的定理，并引导学生进行自然语言、图形语言和符号语言三种语言的转换，得到线线垂直?线面垂直，体现数学的规范与严谨，促进学生对判定定理的理解，为发展逻辑思维能力奠定基础，教师通过对定理中的关键词及推导过程中体现的数学的思想方法展开剖析，深化学生对定理本质的理解，彰显数学的结构美．

设计意图通过“操作实物—数学模型—剖析定理”的过程，使学生能基于认知结构逐步构建新的知识体系，实现难点突破，促进深度理解．线面垂直的判定定理具有抽象性，为使学生深入理解定理的本质，先让学生操作实物，再借助GeoGebra

软件的可视化的特点，将实物抽象成数学模型，最后利用三种语言的表达形式刻画线面垂直的判定定理．

2.2.4 思维迸发，应用迁移

任务3 运用定义和定理，深化理解

求证 两条平行直线中的一条直线垂直于平面，则另一条直线也垂直于该平面． 师生活动 教师引导学生与学生共同分析论证思路，规范论证过程，学生按题意绘制示意图，将文字语言转换为符号语言，归纳出证明线面垂直的又一方法．

设计意图 在此过程中，学生掌握了证明线面垂直的又一方法，增强了思维的灵活性．

2.2.5 新知同化，素养展现

问题10 如图7，在四棱锥P-ABCD中，已知侧棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形．求证：CD⊥PD．

问题11 如图8，长方体ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是正方形，点E在AA棱上，证明：BE⊥平面EBC．

师生活动 学生对条件和结论进行分析论证、合理选择方法，自主解答，教师板书演示解题过程．

设计意图 考查学生能否灵活运用线面垂直的判定定理，藉此提高学生分析和解决问题的能力．

3 教学反思

指向深度学习的课堂教学改变了孤立、浅层、碎片化的学习方式，实现了关联整合的学习，强调学生在学习中的主体地位，促进学习朝着本质把握和问题解决的方向发展，从而实现迁移和创新．基于此，本教学设计在课堂实施时取得了较好的效果．首先，主题单元教学，宏观把握全局．在整体中进行有序的知识整合，建构结构化的知识体系；其次，巧用思维导图，建构知识体系．遵循知识主线，帮助学生理清思维脉络，从整体上认识空间中直线和平面的位置关系，促进学生联系整合，迁移应用和批判反思能力的形成；再者，以问题驱动，培养高阶思维．立足于学生最近发展区的问题链的设计引发学生深度思考，驱动学生参与交流探究，实现学习过程中的深度互动，让学生真正参与到直线与平面垂直的判定中，并领悟立体几何知识的内容主线：“定义—判定—性质—应用”与研究路径：“实例—抽象—概括—论证”；最后，借助信息技术，促进深度理解．信息技术的恰当运用优化了教学的效果，GeoGebra软件的使用有效突破了直线与平面垂直这一内容的抽象性和学生已有知识的局限性，使得直线与平面垂直的探究过程能够丰富地展开．总之，教师在课堂教学中需考虑如何提升学习过程的体验、互动和创造性，以促进深度学习，从而培养学生的数学核心素养．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定．普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S]．北京：人民教育出版社，2020

[2]温佳赢．促进深度学习的高中数学教学策略研究[D]．吉林：东华理工大学，2022

[3]严婷．构建深度学习课堂，提升数学核心素养——以“直线与平面垂直”教学为例[J]．中学数学研究，2022（2）：13-16

[4]李洋．构建基于深度学习的高中数学智慧型课堂的策略[J]．牡丹江基于学院学报，2022（10）：112-114

[5]李珍，马文俊．创设问题情境，关注生成过程，提升核心素养——“直线与平面垂直的判定”教学实践与思考[J]．中学数学研究，2022（4）：06-09 [6]宋建辉．指向深度学习的高三复习教学策略——以2022年新高考全国Ⅰ卷数学试卷第17题为例[J]．中学数学研究，2023（1）：52-54

（本文系合肥师范学院2023年研究生创新基金项目（2023yjs029）、合肥基础教育研究院2022年度研究项目（2022YJY47）、2021年度安徽高校自然科学研究重大项目（KJ2021ZD0112）的研究成果之一）