基于培养学生创新能力的高等数学教学改革*

张 娜 谢斌锋 李元林

（江西理工大学 理学院 江西赣州 341000）

高等数学作为一门逻辑严密，系统完整的学科，不仅是其他数学分支的重要基础，而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多方面中获得了十分广泛的应用，是理工类和经济管理类以及其他许多专业最重要的数学基础课，也是学生在后续学习中学习其他数学相关课程，如线性代数、概率论与数理统计、复变函数、微分方程等的敲门砖，是一门重要的高校数学基础课程。因此，大多数的高校选择在大学一年级开设高等数学课程，从而学好高等数学课程对学生在高校之后的学习是至关重要的。通过对高等数学的学习，学生一方面可以获得必需的微积分知识，学会应用变量数学的方法分析研究数量关系等；另一方面，也可以培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学思维能力等。总之，高等数学课程学习过程中所蕴含的逻辑推理能力和科学思维能力，能够帮助学生形成以后在科学研究中所需要的科学思维方法，培养学生提出创新性问题和解决实际问题的能力。

目前，在高等数学的教学过程中有着众多亟待解决的问题以及需要优化的方案，本文通过总结近几年江西理工大学高等数学教师在教授高等数学实践过程中所得的经验以及通过总结学生在学习该课程中体现出的问题，提出了以下几点在高等数学课程教学实践过程中的遇到的重点问题。

一、高等数学课程教学实践中的重点问题

1.“大课堂”模式下的高等数学课程的学习，忽略了学生对知识理解与掌握能力的不一致性，导致学生对知识的掌握参差不齐

以江西理工大学近几年的高等数学教学实践为例，教学班级人数一般在90-150之间，人数众多且该课程的学习时间紧、学习任务重。大多数情况下，同一个大班级中的学生对知识的理解速度和掌握能力是有很大偏差的，这一现象在高等数学的学习过程中尤为明显。因此“大课堂”模式下高等数学的教学过程中，很多同学出现了学习“脱节”的现象，这也影响了学生对后续课程的学习。普遍的情况是，高等数学考试中出现不及格的同学，在此后的线性代数、概率论与数理统计等的学习过程中也很难取得好的成绩甚至再次出现挂科。虽然考试成绩并不能全面地体现学生的学习效果，但这也在某一程度上说明了学好高等数学对高校学生来讲是至关重要的。

2.高等数学课程所讲授知识大多从数学理论出发，较少与学生所学的专业知识相结合，缺乏知识的应用背景，很难激发学生内在的自主学习意识

就目前的高等数学知识概况而言，在内容上缺乏学科特点和当前科技应用的背景介绍，主要侧重于数学理论的严密性，在教学体系方面形式单一，教学过程比较乏味。具体情况是：一方面，教师为了完成教学任务，机械地讲解理论知识，疏于介绍这些知识与学生专业课程及其他科学技术之间的关系，阻碍了学生的学习兴趣；另一方面，这些内容对于初学者而言过于晦涩枯燥，增加了学生的畏难情绪，使学生产生排斥甚至厌学心理。事实上，严密的定义和理论推导虽然有助于为学生打造坚实的理论基础和扎实的数学功底，但就效率而言，牺牲了知识的广度，有可能导致学生对整个高等数学知识体系缺乏总体的框架式理解。

对于非数学专业学生来讲，其中学习高等数学根本性目的不是为了对于数学进行研究，而是为了能够促使数学知识在现实生活当中得到更加良好应用。通过采取数学当中方法和知识解决自己平时所遇到的各种现实问题。课堂讲课过程当中，教师不仅仅需要充分帮助学生掌握基本定理、定义以及计算技巧，更为关键是要让学生通过数学观点以及意识去表述、解释或者观察现实问题，让学生可以将现实生活当中所存在问题转变成为数学问题，并且通过采用数学知识构建数学模型，应用数学促使问题得到解决。对于目前数学教师来讲，关键是需要加强学生运用数学意识的培养。

3.高等数学课程的教学过程基本在课堂完成，缺失了培养学生在实践中学习和应用的能力

高等数学的教学基本上采取课堂教学的方式，教师对于授课内容准备充分、准确，但限于学时，难以对重难点展开叙述，授课方式不够形象和直观。当前，以PPT加板书为基础的教学模式已日益成熟，但是这种平面式的教学方式不利于帮助学生理解高等数学中众多抽象的概念和方法，也无法培养学生在实践中学习知识和运用所学知识解决实际问题的能力。

4.高等数学课程的教学模式基本以教师为主，形式单一，对学生自主学习能力的培养和内在驱动力的开发不够

“教师讲，学生听”是高等数学教学过程中的常见模式，甚至可以说是固定模式。这种教学方式在当下的学习中有很多的弊端，比如学生的思维模式完全来源于讲授课程的老师，随着时间的推移学生很难再去主动思考问题、解决问题等。另外，多数情况下，老师与学生、学生与学生在课上和课下鲜有讨论问题的过程。长此以往，学生几乎失去了主动思考的能力以自主学习的能力。对于当前学生来讲，由于受到传统应试教育重大影响，所以大部分学生对于教师存在着比较大的依赖性，在学习的过程当中过于被动，所以，需要教师能够进一步加强学生自学能力培养，否则很难让学生顺利完成学业。

高等数学的学习与初高中数学学习的不同之处就在于需要学生不断地思考、发现与理解；需要学生在探索问题的过程中思考问题、分解问题，进而掌握逻辑思维的方法以及解决问题的能力；也需要学生在解决问题之后发现问题的本质，进而丰富自己的知识、提升自我的能力。所有这些都需要学生主动学习、主动思考以及主动总结。只有拥有了主动学习能力的学生才能拥有前进的内在驱动力，才能学得更加深入和透彻。因此，培养学生的主动学习能力，引导其主动思考是教师在高等数学教学过程中的主要任务之一。

5.高等数学课程的教学过程缺少创新，不能激发学生的学习兴趣以及学习主动性

目前高校普遍依赖于用考试成绩来判断学生的学习效果。在此情况下，学生学习的目标就是不挂科、顺利通过考试，因此容易产生学生应付考试的情况。在此学习氛围中，专心学习、潜心研究数学问题的学生寥寥无几。不单考试重要，教学过程也同样重要。改革教学方式手段，不仅可以提高学生分数，更重要的是能培养学生的数学能力。学生缺乏学习动力的另外一个原因是，教师对高等数学知识之外的知识掌握有限，缺少高等数学在当下的实际应用，从而导致学生认为学习高等数学知识是没有用的，只是为了修学分而已。因此，为了提高高等数学的教学效果，教师应该在针对不同的知识点给予合适的教学呈现方式，以激发学生的学习兴趣和主动性。

二、高等数学教学的改革方案

针对以上我们所提出的高等数学教学过程中所呈现出的问题，学校或者教师层面给出了如下一些解决的方案。

1.“分层次”教学模式可以在某种程度上解决学生对知识理解与掌握能力的不一致性问题

在学生正式开始高等数学学习之前进行数学摸底考试，然后将学生按照考试中展现出的对数学知识理解能力的不同情况重新进行分班，之后，按照不同类型的班级制定教学计划。这种分班方式在一定程度上解决了学生对所学知识的理解能力和掌握能力不同的问题。同时，针对数学学习能力格外突出的同学建立“强化班”，在教学过程中适当地加大学习难度，甚至加入考研题目为例题，促使这部分同学学习得更加丰富，这种方法使得部分具有数学造诣的同学能够更加深入地学习高等数学知识，这一举措可以让很多热爱学习数学的同学得到更好的发展。

2.调整和优化高等数学课程的教学内容，将所教授的知识与学生所学专业知识相结合

调整压缩目前数学课中一些不常用的内容，弱化不常用的概念、定理及其证明过程，以理解为基本要求，会用为最终目标。以同济大学数学系编著的《高等数学》（第七版）上册为例，接近五十多个定义和定理，其中虽然过半的定义定理直接或间接涉及极限的概念，但没有一个涉及极限的定义语言[1]。因此，极限代表了一种思维方式，而不仅仅是严格的定义，对大部分专业而言，极限定义都可简单叙述为：“给定严苛的误差条件，只要时间足够长时都能满足这一条件，那么极限存在”。所以，应该将学习的重点转为对概念的理解和方法的掌握。同时，寻找高等数学知识与生活、科技及学生专业方向的联系与应用作为教学中的经典案例，以此培养学生的科学思维方式和提高学生解决实际问题的能力[2]。比如，对经济学专业的学生讲解数列及其极限时，可以采用复利问题作为例子；在对机电工程专业的学生的教学中，可以将导数与积分跟电势和磁通量等概念联系起来进行讲解；对物理专业的学生讲解反常积分时，可与火箭发射过程中的第二宇宙速度相结合；对通信专业学生讲解傅立叶级数时，可将授课内容置于信号处理下傅立叶变换的大环境中进行，让学生明白高等数学中的定义、定理在本学科中的具体解释和应用方法等。

3.运用信息化技术丰富高等数学课程知识的呈现方式，增强学生的学习兴趣，提高学生的学习效率

高等数学传统的教学模式大多只能通过文字将知识静态地传授给学生，不能将具体的变化过程动态地呈现出来。教师可运用信息技术，将某些概念、定理和证明等制作成动画，动态地显示这些内容，使抽象的概念理论变得生动、直观和自然，使学生一目了然，进而提升学习效果。比如，在教授定积分求曲边梯形的面积时，可将分解过程模拟为动画，加深学生对定积分概念的理解及记忆。此外，还可以引入MATLAB等计算优化软件的语法习惯和编写方法以案例的形式穿插在日常的高等数学课程中，课下可要求学生利用这些软件对课堂内容进行仿真和验证。一方面，可以激发学生学习的积极性，培养学生自主学习的能力；另一方面，对课堂内容的重复既帮助了学生记忆知识和理解问题，也提升了学生的思维和动手能力。比如，学生对泰勒公式这部分内容普遍掌握得不好，但如果要求学生对泰勒公式实现编程和验证，则会发现学生在编程之后通常都可以理解泰勒公式代表了怎样一个结论。

此外，教师可以通过建立或者利用一些网络教学平台中的教学资源，如慕课、超星等充实自己的学习内容，拓展学生的学习视野，同时满足不同学生的学习需求，让学生能够在众多的教学方式中选择适合自己的。

4.采用情境式引入，开放式讨论等形式，开启教师为主导，学生为中心的探究式教学方法

为了提高学生的自主学习能力，教师可以在教学过程中增加课堂讨论、小组讨论、研究型学习、专题讲座等环节。一方面，教学方式灵活多变，可以增加学生的学习兴趣。另一方面，通过问题驱动的方式让学生自主学习和分析问题，从而解决问题，加深并提高学生对知识点的理解。在讨论过程中，教师应不断提高学生分析问题、解决问题的能力，从而提高学生的数学素养。比如，在学习函数求导法则时有一类求解幂指函数导数的问题，教材中对此问题的解决是通过取对数的方法来给出的，那请问还有没有其他方法来求幂指函数的导数呢？此时，教师可以引导学生学习如何在学校的图书馆查阅和下载相关资料。正所谓“授人以鱼不如授人以渔”。教师教授给学生知识的同时应该更加注重引导学生进行自主学习。

针对某些知识点，教师可根据真实情景提出问题，然后让学生以小组方式进行讨论，最后由老师总结知识所在。这样以老师为主导方向，以学生为主体的学习方式可以加深学生对所学知识的理解并开启研究型学习的模式[3][4][5]。比如，在学习曲率时，可以以工厂中打磨如图1所示的工件为例引出，应该要用多大半径的砂轮来打磨下面这样一个椭圆形工件呢？左边的砂轮太大，会出现过度打磨或者打磨不到的地方，右边的砂轮又太小，那么打磨的时间会较长。那应该用多大的砂轮才最好呢?事实上，砂轮半径大小的选取与工件边缘的弯曲程度有关，而用来描述曲线弯曲程度的量就是曲率。然后探讨曲线的曲率会跟哪些因素有关系呢？我们该如何来表示曲率呢？通过这样的情景引入和探究式的学习过程让学生进行自主思考，培养其自主思考和解决问题的能力[6]。

图1 砂轮打磨工件

在课堂讨论或小组讨论时，及时发现问题并提醒学生，引导学生自主发现问题并解决。教师在学生掌握了基础知识之后，组织学生开展研究性学习，使学生掌握解决每一类问题的基本方法，并体验获得知识的过程和发现问题，分析问题并且创造性地解决问题的能力。通过个体研究和小组学习的方式，培养学生独立思考的能力及精诚合作的团队意识和精神。如果有可能，鼓励学生参与科学研究课题。如大学生创新训练项目，大学生数学竞赛、数学建模竞赛等。

5.把高等数学的课堂教学与研究性活动有机结合，提高学生的学习兴趣，挖掘学生的创新能力

高等数学的每一次课都需要介绍新的概念、定理等，这些概念和定理在建立之初都有许多背景和渊源，但这一部分在教材中是没有什么体现的，所以应该让学生了解所学知识的历史渊源，创设情景模型，这样可以提高学生的学习兴趣，引导学生自主探索[7]。比如，关于定积分的起源是：500多年前，天文学家J.Kepler认为行星绕着太阳运动的轨道是椭圆，而连接行星和太阳之间的焦半径在相等的时间内扫过相等的面积，要验证这点，就要计算一些不规则图形的面积，J.Kepler只能计算这些图形面积的近似值，那如何计算出这些图形面积的精确值呢?教师可以通过小组讨论的方式先让学生自己给出这个问题的解决思路和方法。

三、高等数学教学改革方案的实施及反思

在上述所提出的措施中，我们进行了分层次教学，并取得了一定的成果，学生成绩明显得到提升，部分学生也在数学学习方面得到了很好的发展。我们还建立了网上在线学习资源，并建立了相应的“线上线下混合式学习”模式，使学生的学习可以多样化。

有些措施或者未能实施，或者实施过程困难重重，导致其结果并不理想。比如，课程与专业知识的结合，若要将所学习的高等数学知识与所教授学生的专业完全的结合是很难实施的，一方面，教授高等数学的教师缺乏相应的专业知识，需要具有相应专业知识教师的配合；另一方面，将高等数学知识与专业的融合需要大量的时间和精力，导致实施过程非常缓慢。另外，开放式和讨论式学习的实施需要配套的评价体系，即如何将学生在此过程中展现的成果进行量化，需要授课教师花费大量的时间和精力去完成，既要体现个人的公平化，又要体现团队的公平化，以目前我校的评价体系很难完成。反思我们的措施，有合理部分也有实施困难的部分，这也让我们更加地意识到好的改革方案还需要好的办法来实施，这也将成为我们以后探索的目标。