从“只见树木”到“俯瞰森林”*——解题教学案例

孔维娜 陈惠汝 冷 悦

（黄冈师范学院 湖北黄冈 438000）

一、背景信息

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚（George Polya，1887-1985）为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是分析解题的思维过程得到一张“怎样解题”表，该表包括“了解问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”四个步骤。波利亚曾说“掌握数学就意味着善于解题”，解题教学是中学数学教学的重要组成部分，它不仅是实现数学课堂教学目标的手段，而且对培养学生分析问题和解决问题的能力具有非常重要的作用。通过解题教学理论学习与教学实践，能够实现对数学及数学教学本质的进一步认识。

本案例源于一次模拟题，将其作为教学案例，是因为它突出了学生数学思维的训练，全面渗透了波利亚“怎样解题表”的过程，教学设计具有典型，具有推广的价值。通过设计解题教学，解决了三角函数中一道看似无从下手的求余弦值题目。教师认为学生已经掌握了三角函数的性质、定理以及垂线的定理、向量的计算。但是学生对于题目中给出的垂线条件却无法应用，于是出现了教与学思维不同步以及学生之间认知冲突的矛盾，经过教师的启发式教学，学生将已有的概念进行整合，利用向量的数量积实现问题的转化，不仅解决了这道问题，而且通过举一反三，学生的数学思维得到进一步提升。

G老师任教于南京普通高中多年，教学经验丰富。他的这节解题教学案例选用的是一次模拟考试，在考试结束后他发现有道题的检测结果非常不理想，正确率只有9%。该题目显示在△ABC中，已知是的垂心（三角形三条高所在直线的交点），，求cos∠BAC的值。

老师反思：为什么这么多的学生都不会做这道题甚至毫无头绪呢？而关于三角函数的性质、定理，向量的计算都教过了，课后习题掌握的也不错，但是学生为什么无法解出这道题呢？

教师通过合理地设计解题教学，有效地组织解题教学，可以发展学生的思维能力，提高他们的数学教学基本素养。基于此，老师发现波利亚的解题理论和这一题目相契合，因此编制了关于本题的解题教学设计。

二、案例正文

在上课前，G老师把测试卷发放到同学们手中，并和该题正确的学生进行了短暂的交流。上课开始的时候，G老师表明今天这节课的学习目标就是解决一道正确率极低的题，随后，将本题写到了黑板上，让大家仔细审题。

【教学片段1】

1.已知和未知弄清楚了吗？

师：请大家说说看，解题之前要做什么？

生1：明白已知和未知。

师：数学家波利亚曾经说过：“回答一个尚未弄清的问题是愚蠢的”。我相信大家都不愿意成为一个愚蠢的人，那我们先来看看这道题所包含的已知信息和未知信息有哪些？

生1：已知：

未知的是cos∠BAC的值。

师：已知的H和向量AH有什么特征？

生1：已知的H是△ABC的垂心且知道向量的关系式。

师：那你能从已知得到什么呢？

教师自评：在开展本次案例教学之前，我听过几位教师的同题讲解，有的教师直接省略审题环节，对例题进行讲解，节省了大把的时间，但不利于学生养成良好的解题习惯。因此，我毫不犹豫地带领学生从审题环节入手，让学生通过审题抓住题目中的关键信息，进而为解决问题打好基础。

2.解题思维如何产生？

在完成初步的审题之后，G老师带领学生进行解题方法的探索。

【教学片段2】

G老师给了同学们10分钟独立思考的时间。他在教室转了一圈，发现大多数同学的状态是紧锁眉头，仰视着黑板，没有什么思路的样子。个别同学在纸上写出了一些关系式，根据关系式得出了一个式子，但大多数同学止步于此，再无其他进展。G老师便开始询问同学们在解题的过程中遇到了哪些困难？好多同学反映：结论要求cos∠BAC就需要知道△ABC中边角关系，将两边平方，平方后虽然出现了cos∠BAC，但也出现了无法处理，也就没办法解题。这时，G老师启发学生们将各种数学知识联系起来。

师：这道题考察什么样的方法，源头在哪里？教材中有没有此类方法的例子？大家找找看课本中是否有这样的例子。同学可以小组合作。5分钟过后，G老师请各小组代表汇报本组的讨论进展。

组1：回归教材（苏教版）必修5第13页余弦定理的证明。教材中对向量等式两边平方证得余弦定理。我们这个方法，将两边进行了平方，却没有办法做下去。

在这里教师询问1组的学生，那么你们有什么条件没有用到呢？是不是一定要平方才能得到边角关系呢？在教师的提问下，其他小组得到了启发。

组2：小组2在教师的启发下，回归教材（苏教版）必修5第6页正弦定理的证法2，在△ABC中，不妨设∠C为最大角，过点A做AD⊥BC于D。

师：大家找的都很好，我们通过对余弦定理和正弦定理的回归学习，理解了“向量的数量积是将向量等式转化为数量等式的常用工具”。同时发现原题目中H是△ABC的垂心这一条件，可以将向量关系转化为数量关系解决问题。请各小组继续讨论，数量积应该怎么转化？

2.钟后，小组3的同学们举手，跃跃欲试，G老师请他们分享结果。

组3：老师，我们可以利用H是△ABC的垂心这一条件，知道，同理我们可得，通过两个垂直的条件利用数量积的转化可得出cos∠BAC的值。师：很好，请说出你的推导过程。

师：这个解法很漂亮。那是怎么想到的呢？

组3：我们就是根据回顾的正弦和余弦定理的证明过程得知的，通过把向量积的问题转化为数量关系，进而求出∠ BAC 的余弦值。

师：一个好的解题方式就这样产生了，哪个同学愿意分享一下自己的收获呢？

生2：在解题思路的探索过程中，我发现了转化思想的重要性，将一个未知的问题转化成自己所学过的知识，降低解题的难度。另外，通过本题的学习，我还知道好的念头是解决成功的法宝，在本题中数量积是很有用的一个工具。

师：这位同学总结得很好。

教师自评：“H是△ABC的垂心”这个条件怎么用是解决这个问题的关键所在。在整个解题的过程中，我觉得解题的目标重在引导学生学会如何思考构建数学思维是非常重要的，强调转化思想更为重要。只有将已学的各个部分有机地联系起来，才能够成功地将题目中的已知条件转化，即形成初步的数学思维，使问题迎刃而解。波利亚告诉我们：“一个好念头的基础是过去的经验和已知的知识，仅仅到记忆不足以产生好的念头。”因此，我觉得鼓励学生将已有知识和现有的知识连接起来是很重要的。

3.解题计划的实施过程

与同学们一起制定解题计划之后，G老师安排生3到黑板上书写解题过程，并要求其他同学在草稿纸上完成。

【教学片段3】

师：请大家看黑板，说一说生3的解题过程是不是很完整？

生4：他在计算时，虽然将两种情况都写了出来，但是没有将两个结论联系起来，故没有得出的余弦值。

师：那我们应该怎么解决这个问题呢？

生5：应该将（2）中得出的结论代入到（1）式中才能得出正确的结论。

师：数学是一门非常严谨的学科，相较于其他学科，数学对人的考验更大。在条件不充分的情况下就不能下结论，具有整体的联系观念也是非常重要的。如果解题不规范，就不能算是完整的解题。通过这一点，波利亚告诉了我们，相比拟定解题计划，实施计划要容易得多。但在这一过程中，最主要的就是耐心！耐心写出每一步，确保每一步计算的准确性，而且要学会将解出的答案进行前后联系。

G老师利用实物投影仪展示了其他四个同学的解题过程，对他们的解题过程进行了评价，对他们忽略的细节进行补充。

教师自评：在解题的过程中，学生认为对问题有了解题的思路且算出结果就是完成任务了。但是他们对解题过程的规范性却不够重视，常常出现会做的题目拿不到满分的情况，或是因为书写问题导致失分现象严重，这些都不利于学生数学素养的培养。因此，我觉得解题教学中的书写环节是非常重要的，要求学生必须在黑板上或者笔记本上规范的写出解题过程，进而及时的发现他们的错误进行纠正，让他们产生深刻的印象。解题计划的实施是培养学生严谨性的重要环节，是不能忽视的。

4.反思过程是必要的吗？

完成了前面三个教学环节之后，解题回顾与反思还有必要吗？老师通过下面的教学片段充分体现了回顾和反思在解题教学中的重要性。

【教学片段4】

师：请大家先不要收起草稿本，你们有没有在解题结束之后回头再看看解题过程呢？也许你会有意想不到的发现。

（听到老师发问之后，同学们一个个瞪大了双眼，在同学写的解题过程中寻找。）

生6：老师，我发现这道题很典型，知道∠BAC的余弦值，如果再给定一个条件，关于正弦的，也可以求出它的正弦值，知道正弦值和余弦值之后，同样也可以得出正切值。

师：很好，我发现同学们真正的掌握了这节课所要达到的目标。

生7：老师，我发现只要是与向量有关，均可将向量积转化为数量积，将复杂的数学问题转化为简单的问题。

师：是不是很有趣？你有什么感悟呢？

生8：很多题目之间都是有关联的，举一反三的思维是非常重要的。

师：是的。当我们做完一个题目后，一定要学会检查与回顾，解题的最大收益不在于做的题多，而在于质量，“题海战术”是我们现在最不提倡的。

教师自评：在教学的过程中，很多老师往往最容易忽略的是检验与回顾。波利亚在《怎样解题》中指出：解题“最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答”，解题教学的举一反三是必要的。