一类非齐次椭圆方程组非常弱解的正则性

陈淑红

一类非齐次椭圆方程组非常弱解的正则性

陈淑红

（武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300）

研究一类非齐次项是-Laplace算子的椭圆方程组非常弱解的正则性。结合Hodge分解以及偏微分方程正则性理论的证明技巧，建立了具有-Laplace型椭圆方程组的非常弱解与经典意义下的弱解之间的关系。

-Laplace型；非常弱解； Hodge分解；正则性

0　引言

考虑一类非齐次项具有-Laplace算子的椭圆方程组

本文主要研究非齐次椭圆方程组（式（1））非常弱解的正则性。在著名数学家Hilbert于1904年提出的20个公开问题中，涉及解的正则性问题的就有2个，可见正则性研究的重要性，因此也吸引了研究者的广泛关注和探索，并取得了丰硕的成果［1-5］。

正则性理论的研究大多是在方程（组）存在弱解的情况下进行的，然而，很多具体形式、特定形式的方程（组）在已有研究方法下尚无法获得经典意义上的弱解，如具有奇异对流的方程组［6］、具有-Laplace型非齐次项的椭圆方程［7］等。

解的存在性仍然是一个悬而未决的问题。

幸运的是，1992年，IWANIEC［9］偶然发现在广义积分意义下，解的可积性指标在一定程度上可低于自然增长指标，由此提出了在经典意义下的弱解，即在更广泛的空间内定义方程弱解，并将其定义为非常弱解。

1　基本引理

2　正则性证明

令

由引理3，可得

由式（9）和式（11），可推得

代入式（13），得

由式（2）和式（3），得

由引理2和等式（10），可以发现

其中，

由式（10）、Young不等式以及Poincare不等式，有

再利用Young不等式和Poincare不等式，可得

重复上述过程，则由引理4，可得定理1成立。

推论1获证。

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Regularity of very weak solutions for a class of inhomogeneous elliptic equations

CHEN Shuhong

（，，354300，，）

In this paper, we study the regularity theory of very weak solutions for a class of elliptic equations which inhomogeneous terms are-Laplace operators. Combining Hodge decomposition and the regularity theory of partial differential equations, the relation between the very weak solution of-Laplacian elliptic equations and the weak solution in the classical sense is established.

-Laplace type; very weak solution; Hodge decomposition; regularity

O 175.2

A

1008⁃9497（2023）01⁃025⁃05

2021⁃09⁃09.

国家自然科学基金资助项目（11571159）；武夷学院引进人才科研启动项目（YJ202118）.

陈淑红（1979—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-6648-6486，女，博士（后），教授，主要从事偏微分方程研究，E-mail：shiny0320@163.com.